Test No.1

Vektörler. Yüksek cebirin elemanları

1-20. Ve ve vektörlerinin uzunlukları bilinmektedir; bu vektörler arasındaki açıdır.

Hesaplayın: 1) ve, 2) .3) Ve vektörleri üzerine kurulu bir üçgenin alanını bulun.

Çizim yapmak.

Çözüm. Vektörlerin nokta çarpımının tanımını kullanarak:

Ve skaler çarpımın özellikleri: ,

1) vektörün skaler karesini bulun:

yani O zaman .

Benzer şekilde tartışarak şunu elde ederiz:

yani O zaman .

Bir vektör çarpımının tanımı gereği: ,

gerçeğini dikkate alarak

Vektörler üzerine kurulu bir üçgenin alanı şuna eşittir:

21-40. Üç köşenin koordinatları biliniyor A, B, D paralelkenar ABCD. Vektör cebiri sayesinde şunlara ihtiyacınız vardır:

A(3;0;-7), B(2;4;6), D(-7;-5;1)

Çözüm.

Bir paralelkenarın kesişme noktasındaki köşegenlerinin ikiye bölündüğü bilinmektedir. Bu nedenle noktanın koordinatları e- köşegenlerin kesişimleri - parçanın ortasının koordinatları olarak bulun BD. Bunları ile belirtmek X e ,sen e , z e bunu anladık

Anlıyoruz.

Noktanın koordinatlarını bilmek e- diyagonal orta noktalar BD ve uçlarından birinin koordinatları A(3;0;-7), formüllerle tepe noktasının istenen koordinatlarını belirleriz İLE paralelkenar:

Yani üst.

2) Bir vektörün bir vektöre izdüşümünü bulmak için şu vektörlerin koordinatlarını buluruz: ,

aynı şekilde . Bir vektörün bir vektör üzerine izdüşümünü aşağıdaki formülle buluruz:

3) Paralelkenarın köşegenleri arasındaki açı, vektörler arasındaki açı olarak bulunur.

Ve skaler çarpımın özelliğine göre:

Daha sonra

4) Paralelkenarın alanı vektör çarpımının modülü olarak bulunur:

5) Piramidin hacmi, vektörlerin karışık çarpımının modülünün altıda biri olarak bulunur, burada O(0;0;0), o zaman

Daha sonra istenilen hacim (kübik birim)

41-60. Matris verileri:

VC -1 +3A T

Tanımlar:

Öncelikle C matrisinin tersini buluyoruz.

Bunu yapmak için determinantını buluyoruz:

Belirleyici sıfır değildir, bu nedenle matris tekil değildir ve bunun için ters matris C -1'i bulabilirsiniz.

Formüle göre cebirsel tümleyenleri bulalım; burada elemanın küçüğü bulunur:

Daha sonra , .

61–80. Doğrusal denklem sistemini çözün:

Cramer'in yöntemi; 2. Matris yöntemi.

Çözüm.

a) Cramer yöntemi

Sistemin determinantını bulalım

Çünkü sistemin benzersiz bir çözümü var.

Katsayılar matrisindeki birinci, ikinci ve üçüncü sütunları sırasıyla serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirerek determinantları ve determinantlarını bulun.

Cramer'in formüllerine göre:

B)matris yöntemi (ters matrisi kullanarak).

Bu sistemi matris formunda yazıyoruz ve ters matris kullanarak çözüyoruz.

İzin vermek A bilinmeyenler için katsayıların matrisidir; X bilinmeyenlerin sütun matrisidir X, sen, z Ve H serbest üyelerin bir sütun matrisidir:

Sistemin (1) sol tarafı matrislerin çarpımı, sağ tarafı ise matris olarak yazılabilir. H. Bu nedenle matris denklemimiz var

Matris determinantından beri A sıfırdan farklıysa ("a" maddesi) matris A ters matrise sahiptir. Eşitliğin soldaki her iki kısmını (2) matris ile çarparak şunu elde ederiz:

Nereden beri e birim matristir ve , o zaman

Tekil olmayan bir A matrisimiz olsun:

Daha sonra ters matris aşağıdaki formülle bulunur:

Nerede A ben- bir elemanın cebirsel tamamlayıcısı A ben matris determinantında A(-1) i+j ile minörün (determinant) çarpımı olan n-1 silinerek elde edilen sipariş i-thçizgiler ve j-th A matrisinin determinantındaki sütunlar:

Buradan ters matrisi elde ederiz:

Sütun X: X=A -1 H

81–100. Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme

Çözüm. Sistemi genişletilmiş bir matris biçiminde yazıyoruz:

Dizelerle temel dönüşümler gerçekleştiriyoruz.

2. satırdan ilk satırın 2 ile çarpımını çıkarıyoruz. 3. satırdan ilk satırın 4 ile çarpımını çıkarıyoruz. 4. satırdan ilk satırı çıkarıyoruz, matrisi elde ediyoruz:

Daha sonra sonraki satırların ilk sütununda sıfır alıyoruz, bunun için üçüncü satırı ikinci satırdan çıkarıyoruz. Üçüncü satırdan ikinci satırın 2 ile çarpımını çıkarıyoruz. Dördüncü satırdan ikinci satırın 3 ile çarpımını çıkarıyoruz. Sonuç olarak, aşağıdaki formun matrisini elde ediyoruz:

Üçüncüyü dördüncü satırdan çıkarın.

Sondan bir önceki ve son satırları değiştirin:

Son matris denklem sistemine eşdeğerdir:

Sistemin son denkleminden şunu buluyoruz.

Sondan bir önceki denklemi değiştirerek şunu elde ederiz: .

Sistemin ikinci denkleminden şu sonuç çıkıyor:

İlk denklemden x'i buluyoruz:

Cevap:

2 Numaralı Sınav

Analitik Geometri

1-20. Üçgenin köşelerinin koordinatları verildiğinde ABC. Bulmak:

1) kenar uzunluğu AİÇİNDE;

2) yan denklemler AB Ve Güneş ve yamaçları;

3) açı İÇİNDE radyan cinsinden iki ondalık basamağa kadar;

4) yükseklik denklemi CD ve uzunluğu

5) medyan denklem AE

yükseklik CD;

İLE kenara paralel AB,

7) bir çizim yapın.

A(3;6), B(15;-3), C(13;11)

Çözüm.

(1)’i uygulayarak kenar uzunluğunu buluruz AB:

2) yan denklemler AB Ve Güneş ve eğimleri:

Düz bir çizginin denklemi noktalardan geçen ve forma sahip

Noktaların koordinatlarını (2)'ye koymak A Ve İÇİNDE, yan denklemi elde ederiz AB:

(AB).

(M.Ö).

3) açı İÇİNDE radyan cinsinden iki ondalık basamağa kadar.

Eğim katsayıları sırasıyla eşit olan iki düz çizgi arasındaki açının tanjantının formülle hesaplandığı bilinmektedir.

İstenilen açı İÇİNDE doğrudan oluşturulan AB Ve Güneş açısal katsayıları bulunan: ; . (3)’ü uygulayarak şunu elde ederiz:

; , veya

4) yükseklik denklemi CD ve uzunluğu.

C noktasından AB çizgisine olan mesafe:

5) medyan denklem AE ve bu medyanın kesiştiği noktanın K noktasının koordinatları

yükseklik CD.

BC'nin orta tarafı:

O halde AE ​​denklemi:

Denklem sistemini çözüyoruz:

6) bir noktadan geçen düz çizginin denklemi İLE kenara paralel AB:

İstenilen çizgi kenara paralel olduğundan AB, sonra onu eğim doğrunun eğimine eşit olacaktır AB. Bulunan noktanın koordinatlarını (4)'e koyarsak İLE ve açısal katsayıyı elde ederiz

; (KF).

Paralelkenarın alanı 12 metrekaredir. birimleri, köşelerinden ikisi noktadır A(-1;3) Ve B(-2;4). Köşegenlerinin kesişme noktasının x ekseninde olduğu biliniyorsa, bu paralelkenarın diğer iki köşesini bulun. Çizim yapmak.

Çözüm. Köşegenlerin kesişme noktasının koordinatları olsun.

O zaman açıktır ki

dolayısıyla vektörlerin koordinatları.

Paralelkenarın alanı formülle bulunur

O halde diğer iki köşenin koordinatları şöyledir.

51-60. problemlerde noktaların koordinatları A ve B. Gerekli:

Verilen noktalardan geçen bir hiperbolün kanonik denklemini yazın A ve B hiperbolün odakları x ekseninde bulunuyorsa;

Bu hiperbolün yarı eksenlerini, odaklarını, dışmerkezliğini ve asimptot denklemlerini bulun;

Merkezi bir daire olan bir hiperbolün tüm kesişme noktalarını bulun Menşei eğer bu daire hiperbolün odak noktalarından geçerse;

Bir hiperbol, asimptotları ve bir daire oluşturun.

A(6;-2), B(-8;12).

Çözüm. İstenilen hiperbolün kanonik formdaki denklemi yazılır

Nerede A hiperbolün gerçek yarı eksenidir, B- hayali aks. Nokta koordinatlarını değiştirme A Ve İÇİNDE bu denklemde şu yarı eksenleri buluyoruz:

- hiperbolün denklemi: .

Yarı eksenler a=4,

odak uzaklığı Odaklar (-8,0) ve (8,0)

Eksantriklik

Asiptotlar:

Çember orijinden geçerse denklemi

Odaklardan birini değiştirerek daire denklemini de buluruz

Hiperbolün ve dairenin kesişme noktalarını bulun:

Bir çizim oluşturmak:

61-80 problemlerinde kutupsal koordinat sistemindeki fonksiyonu noktalara göre çizin,  aralığında  değerleri verin /8 (0   2). Dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminde doğrunun denklemini bulun (appsisin pozitif yarı ekseni kutup ekseniyle çakışır ve kutup orijinle çakışır).

Çözüm. Daha önce değerler tablosunu ve φ'yi doldurarak noktalara göre bir satır oluşturalım.

Sayı	φ ,	φ, derece			Sayı	φ , memnun	derece
								3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 - 3 bu denklemin bir elipsi tanımladığı sonucuna varıyoruz: Verilen puanlar A,İÇİNDE , C, D . Bulmak için gerekli: 1. Düzlemin denklemi (Q), noktalardan geçerek A, B, C D uçakta (Q); 2. Düz bir çizginin denklemi (BEN) noktalardan geçerek İÇİNDE ve D; 3. Düzlem arasındaki açı (Q) ve doğrudan (BEN); 4. Düzlemin denklemi (R), bir noktadan geçmek Açizgiye dik (BEN); 5. Düzlemler arasındaki açı (R) Ve (Q) ; 6. Düz bir çizginin denklemi (T), bir noktadan geçmek A yarıçap vektörü yönünde; 7. Düz çizgiler arasındaki açı (BEN) Ve (T). A(9;-8;1), B(-9;4;5), C(9;-5;5),D(6;4;0) 1. Düzlemin denklemi (Q), noktalardan geçerek A, B, C ve noktanın yalan olup olmadığını kontrol edin D düzlemde bulunan formülle belirlenir: 1) . 2) Kare paralelkenar, inşa edilmiş Açık Ve. 3) Paralelyüzün hacmi, inşa edilmiş Açık vektörler, Ve. Kontrol İş Bu konuda " Elementler doğrusal uzaylar teorisi... Yeterlilik için lisans yazışma dersleri için testlerin uygulanmasına ilişkin yönergeler 080100. 62 yönünde Yönergeler Paralel boru ve piramidin hacmi, inşa edilmiş Açık vektörler, Ve. Çözüm: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2).. . . . . 4. GÖREVLER KONTROL İŞLER Bölüm I. Doğrusal cebir. 1 – 10. Dana...

Bu yazımızda iki vektörün çapraz çarpımı kavramı üzerinde duracağız. Gerekli tanımları vereceğiz, bir vektör çarpımının koordinatlarını bulmak için bir formül yazacağız, özelliklerini listeleyip gerekçelendireceğiz. Daha sonra iki vektörün çapraz çarpımının geometrik anlamı üzerinde duracağız ve çeşitli tipik örneklerin çözümlerini ele alacağız.

Sayfada gezinme.

Bir vektör çarpımının tanımı.

Çapraz çarpımın tanımını vermeden önce, üç boyutlu uzayda sıralı bir vektör üçlüsünün yönelimini ele alalım.

Vektörleri bir noktadan erteleyelim. Vektörün yönüne bağlı olarak üçlü sağ veya sol olabilir. Vektörden en kısa dönüşün nasıl olduğunu görmek için vektörün sonundan bakalım. En kısa dönüş saat yönünün tersine ise, vektörlerin üçlüsü denir Sağ, aksi takdirde - sol.

Şimdi doğrusal olmayan iki vektörü alalım ve . Vektörleri bir kenara koyun ve A noktasından itibaren. Aynı anda ve'ye dik olan bir vektör oluşturalım. Açıktır ki, bir vektörü oluştururken, ona bir yön veya ters yön vererek iki şey yapabiliriz (resme bakın).

Vektörün yönüne bağlı olarak sıralı vektör üçlüsü sağ veya sol olabilir.

Böylece vektör çarpımının tanımına yaklaştık. Üç boyutlu uzayın dikdörtgen koordinat sisteminde verilen iki vektör için verilmiştir.

Tanım.

İki vektörün vektör çarpımıÜç boyutlu uzayın dikdörtgen koordinat sisteminde verilen ve, öyle bir vektör olarak adlandırılır ki

Vektörlerin çapraz çarpımı ve ile gösterilir.

Vektör çarpım koordinatları.

Şimdi, verilen vektörlerin koordinatlarından koordinatlarını bulmamızı sağlayan bir vektör çarpımının ikinci tanımını veriyoruz.

Tanım.

Üç boyutlu uzayın dikdörtgen koordinat sisteminde iki vektörün çapraz çarpımı Ve bir vektördür ve burada koordinat vektörleri vardır.

Bu tanım bize koordinat biçiminde çapraz çarpımı verir.

Vektör çarpımını, ilk satırı ort, ikinci satırı vektörün koordinatlarını ve üçüncü satırı da vektörün koordinatlarını içeren üçüncü dereceden bir kare matrisin determinantı olarak göstermek uygundur. Belirli bir dikdörtgen koordinat sistemi:

Bu determinantı ilk satırın elemanları kadar genişletirsek, vektör çarpımının koordinatlardaki tanımından eşitlik elde ederiz (gerekirse makaleye bakın):

Çapraz çarpımın koordinat formunun bu makalenin ilk paragrafında verilen tanımla tamamen tutarlı olduğuna dikkat edilmelidir. Ayrıca çapraz çarpımın bu iki tanımı eşdeğerdir. Bu gerçeğin kanıtı makalenin sonunda belirtilen kitapta bulunabilir.

Vektör çarpımı özellikleri.

Koordinatlardaki vektör çarpımı matrisin determinantı olarak temsil edilebildiğinden, aşağıdakiler kolaylıkla kanıtlanabilir: vektör çarpım özellikleri:

Örnek olarak bir vektör çarpımının antideğişme özelliğini kanıtlayalım.

A-tarikatı Ve . İki satır yer değiştirdiğinde bir matrisin determinantının değerinin tersine döndüğünü biliyoruz; , vektör çarpımının antideğişme özelliğini kanıtlar.

Vektör çarpımı - örnekler ve çözümler.

Temel olarak üç tür görev vardır.

Birinci tip problemlerde iki vektörün uzunlukları ve aralarındaki açı verilir ve çapraz çarpımın uzunluğunun bulunması gerekir. Bu durumda formül kullanılır .

Örnek.

Vektörlerin çapraz çarpımının uzunluğunu bulun ve biliniyorsa .

Çözüm.

Tanımdan, vektörlerin çapraz çarpımının uzunluğunun, vektörlerin uzunluklarının çarpımına ve aralarındaki açının sinüsüne eşit olduğunu biliyoruz, bu nedenle, .

Cevap:

.

İkinci tip görevler, vektör çarpımının, uzunluğunun veya başka bir şeyin verilen vektörlerin koordinatları aracılığıyla arandığı vektörlerin koordinatlarıyla ilişkilidir. Ve .

Burada birçok farklı seçenek mevcut. Örneğin, ve vektörlerinin koordinatları değil, formun koordinat vektörlerindeki açılımları ve , veya vektörleri olup başlangıç ​​ve bitiş noktalarının koordinatları ile belirtilebilir.

Tipik örnekleri ele alalım.

Örnek.

Dikdörtgen koordinat sisteminde iki vektör verilmiştir . Bunların vektör çarpımını bulun.

Çözüm.

İkinci tanıma göre iki vektörün koordinatlarda çapraz çarpımı şu şekilde yazılır:

Determinant üzerinden vektör çarpımını yazsaydık aynı sonuca ulaşırdık.

Cevap:

.

Örnek.

Vektörlerin çapraz çarpımının uzunluğunu bulun ve dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminin ortları nerededir?

Çözüm.

İlk olarak vektör çarpımının koordinatlarını bulun. Belirli bir dikdörtgen koordinat sisteminde.

Vektörler ve sırasıyla koordinatlara sahip olduğundan (gerekirse, dikdörtgen koordinat sistemindeki bir vektörün makale koordinatlarına bakın), o zaman bir çapraz çarpımın ikinci tanımına göre, elimizde

Yani vektör çarpımı Verilen koordinat sisteminde koordinatları vardır.

Bir vektör çarpımının uzunluğunu, koordinatlarının karelerinin toplamının karekökü olarak buluruz (bir vektörün uzunluğu için bu formülü bir vektörün uzunluğunu bulma bölümünde elde ettik):

Cevap:

.

Örnek.

Üç noktanın koordinatları dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminde verilmiştir. Aynı anda ve ona dik olan bir vektör bulun.

Çözüm.

Vektörler ve sırasıyla koordinatlara sahiptir (noktaların koordinatları aracılığıyla bir vektörün koordinatlarını bulma makalesine bakın). Ve vektörlerinin çapraz çarpımını bulursak, o zaman tanım gereği bu hem ikisine hem de ikisine dik bir vektördür, yani problemimizin çözümüdür. Hadi onu bulalım

Cevap:

dik vektörlerden biridir.

Üçüncü tip görevlerde, vektörlerin vektör çarpımının özelliklerini kullanma becerisi kontrol edilir. Özellikler uygulandıktan sonra karşılık gelen formüller uygulanır.

Örnek.

Ve vektörleri diktir ve uzunlukları sırasıyla 3 ve 4'tür. Vektör çarpımının uzunluğunu bulun .

Çözüm.

Vektör çarpımının dağılabilirlik özelliği ile şunu yazabiliriz:

İlişkisel özellik sayesinde, son ifadede vektör çarpımlarının işareti için sayısal katsayıları çıkarıyoruz:

Vektör çarpımları ve sıfıra eşittir, çünkü Ve , Daha sonra .

Vektör çarpımı antideğişmeli olduğundan, o zaman .

Böylece vektör çarpımının özelliklerini kullanarak eşitliğe ulaştık. .

Koşul gereği, ve vektörleri diktir, yani aralarındaki açı eşittir. Yani gerekli uzunluğu bulmak için tüm verilere sahibiz

Cevap:

.

Vektör çarpımının geometrik anlamı.

Tanım gereği, vektörlerin çapraz çarpımının uzunluğu . Ve lise geometri dersinden, bir üçgenin alanının, üçgenin iki kenarının uzunluğu ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımının yarısına eşit olduğunu biliyoruz. Bu nedenle çapraz çarpımın uzunluğu, vektörlerin kenarları olan bir üçgenin alanının iki katına eşittir ve eğer bir noktadan ertelenirlerse. Başka bir deyişle, vektörlerin çapraz çarpımının uzunluğu, kenarları ve aralarındaki açı olan bir paralelkenarın alanına eşittir. Bu nedir geometrik anlamı vektör ürünü.

Bu derste vektörlerle iki işleme daha bakacağız: vektörlerin çapraz çarpımı Ve vektörlerin karışık çarpımı (İhtiyacı olanlar için hemen link). Sorun değil, bazen tam mutluluk için de olur vektörlerin nokta çarpımı giderek daha fazlasına ihtiyaç duyuluyor. Vektör bağımlılığı böyle bir şey. Vahşi doğaya tırmanıyormuşuz gibi görünebilir analitik geometri. Bu yanlış. Yüksek matematiğin bu bölümünde, belki Pinokyo'ya yetecek kadar olanın dışında, genellikle çok az yakacak odun vardır. Aslında materyal çok yaygın ve basittir; aynısından neredeyse hiç zor değildir. skaler çarpım , eşit tipik görevler daha az olacak. Analitik geometride ana şey, birçok kişinin göreceği veya halihazırda görmüş olduğu gibi, HESAPLAMALARDA YANLIŞ YAPMMAKTIR. Büyü gibi tekrarlayın, mutlu olacaksınız =)

Vektörler uzak bir yerde ufuktaki şimşek gibi parlıyorsa sorun değil, dersle başlayın Aptallar için vektörler vektörler hakkındaki temel bilgileri geri yüklemek veya yeniden edinmek. Daha hazırlıklı okuyucular bilgileri seçici olarak tanıyabilirler; sıklıkla bulunan örneklerin en eksiksiz koleksiyonunu toplamaya çalıştım. pratik iş

Seni ne mutlu edecek? Küçükken iki, hatta üç topla hokkabazlık yapabilirdim. İyi sonuç verdi. Artık hokkabazlık yapmaya hiç gerek yok, çünkü dikkate alacağız sadece uzay vektörleri ve iki koordinatlı düz vektörler dışarıda bırakılacaktır. Neden? Bu eylemler böyle doğdu - vektör ve vektörlerin karışık çarpımı tanımlanır ve üç boyutlu uzayda çalışır. Zaten daha kolay!

Bu işlemde skaler çarpımda olduğu gibi, iki vektör. Ölümsüz harfler olsun.

Eylemin kendisi belirtilen Aşağıdaki şekilde: . Başka seçenekler de var, ancak vektörlerin çapraz çarpımını bu şekilde köşeli parantez içinde çarpı işaretiyle belirtmeye alışkınım.

Ve derhal soru: eğer içerideyse vektörlerin nokta çarpımı iki vektör söz konusudur ve burada iki vektör de çarpılır, o zaman fark ne? Her şeyden önce SONUÇ'ta açık bir fark var:

Vektörlerin skaler çarpımının sonucu bir SAYIdır:

Vektörlerin çapraz çarpımının sonucu bir VEKTÖRdür: yani vektörleri çarpıyoruz ve tekrar bir vektör elde ediyoruz. Kapalı kulüp. Aslında operasyonun adı da buradan geliyor. Çeşitli eğitim literatüründe isimler de farklılık gösterebilir, harfi kullanacağım.

Çapraz çarpımın tanımı

Önce resimli bir tanım olacak, sonra yorumlar.

Tanım: Çapraz ürün doğrusal olmayan vektörler, bu sıraya göre alındı, VEKTÖR olarak adlandırılır, uzunluk sayısal olarak paralelkenarın alanına eşit, bu vektörler üzerine inşa edilmiş; vektör vektörlere dik, ve tabanın doğru yönelime sahip olacağı şekilde yönlendirilir:

Tanımı kemiklere göre analiz ediyoruz, pek çok ilginç şey var!

Dolayısıyla aşağıdaki önemli noktaları vurgulayabiliriz:

1) Tanım gereği kırmızı oklarla gösterilen kaynak vektörleri doğrusal değil. Doğrusal vektörler durumunu biraz sonra ele almak uygun olacaktır.

2) Alınan vektörler sıkı bir sırayla: – "a" "olmak" ile çarpılır, "olmak" yerine "a" değil. Vektör çarpımının sonucu mavi renkle gösterilen VEKTÖR'dür. Vektörler ters sırada çarpılırsa, uzunluğu eşit ve yönü zıt olan (kızıl renk) bir vektör elde ederiz. Yani eşitlik .

3) Şimdi vektör çarpımının geometrik anlamını tanıyalım. Bu çok önemli bir konu! Mavi vektörün (ve dolayısıyla kırmızı vektörün) UZUNLUĞU sayısal olarak vektörler üzerine oluşturulan paralelkenarın ALANI'na eşittir. Şekilde bu paralelkenar siyah renkle gölgelendirilmiştir.

Not : çizim şematiktir ve elbette çapraz çarpımın nominal uzunluğu paralelkenarın alanına eşit değildir.

Geometrik formüllerden birini hatırlıyoruz: paralelkenarın alanı bitişik kenarların çarpımına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir. Bu nedenle, yukarıdakilere dayanarak, bir vektör çarpımının UZUNLUĞUNU hesaplamak için kullanılan formül geçerlidir:

Formülde vektörün kendisinden değil, vektörün UZUNLUĞUNDAN bahsettiğimizi vurguluyorum. Pratik anlamı nedir? Ve bunun anlamı, analitik geometri problemlerinde paralelkenarın alanının genellikle bir vektör çarpımı kavramı aracılığıyla bulunmasıdır:

İkinci önemli formülü elde ediyoruz. Paralelkenarın köşegeni (kırmızı noktalı çizgi) onu iki eşit üçgene böler. Bu nedenle, vektörler üzerine kurulu bir üçgenin alanı (kırmızı gölgeleme) aşağıdaki formülle bulunabilir:

4) Eşit derecede önemli bir gerçek de vektörün vektörlere dik olmasıdır, yani . Elbette zıt yönlü vektör (kızıl ok) da orijinal vektörlere diktir.

5) Vektör şu şekilde yönlendirilir: temel Var Sağ oryantasyon. Hakkında bir derste yeni bir temele geçiş hakkında detaylı konuştum düzlem yönelimi ve şimdi uzayın yönünün ne olduğunu bulacağız. Parmaklarınla ​​açıklayacağım sağ el . Zihinsel olarak birleştirin işaret parmağı vektör ile ve orta parmak vektör ile. Yüzük parmağı ve küçük parmak avucunuza bastırın. Sonuç olarak baş parmak - vektör çarpımı yukarı bakacak. Bu sağa odaklı temeldir (şekildedir). Şimdi vektörleri değiştirin ( işaret ve orta parmaklar) bazı yerlerde sonuç olarak başparmak dönecek ve vektör çarpımı zaten aşağıya bakacak. Bu aynı zamanda sağ odaklı bir temeldir. Belki bir sorunuz var: Sol yönelimin temeli nedir? Aynı parmakları "atayın" sol el vektörler ve sol tabanı ve sol uzay yönelimini elde edin (bu durumda başparmak alt vektör yönünde konumlandırılacaktır). Mecazi anlamda konuşursak, bu tabanlar uzayı farklı yönlere "büküyor" veya yönlendiriyor. Ve bu kavram abartılı veya soyut bir şey olarak görülmemelidir - örneğin, en sıradan ayna uzayın yönünü değiştirir ve "yansıyan nesneyi aynadan çıkarırsanız", o zaman genel olarak mümkün olmayacaktır. onu “orijinal” ile birleştirin. Bu arada, üç parmağınızı aynaya getirin ve yansımayı inceleyin ;-)

... bunu artık biliyor olman ne kadar iyi sağ ve sol odaklıçünkü bazı hocaların yönelim değişikliğine dair açıklamaları berbat =)

Doğrusal vektörlerin vektör çarpımı

Tanım ayrıntılı olarak çalışıldı, vektörler doğrusal olduğunda ne olacağını bulmaya devam ediyor. Vektörler eşdoğrusal ise, o zaman tek bir düz çizgiye yerleştirilebilirler ve paralelkenarımız da tek bir düz çizgi halinde "katlanır". Matematikçilerin dediği gibi bunun alanı, dejenere paralelkenar sıfırdır. Aynı şey formülden de gelir - sıfır veya 180 derecenin sinüsü sıfıra eşittir, bu da alanın sıfır olduğu anlamına gelir

Böylece eğer öyleyse Ve . Lütfen çapraz çarpımın kendisinin sıfır vektörüne eşit olduğunu unutmayın, ancak pratikte bu genellikle ihmal edilir ve aynı zamanda sıfıra eşit olduğu yazılır.

Özel bir durum, bir vektörün ve kendisinin vektör çarpımıdır:

Çapraz çarpımı kullanarak üç boyutlu vektörlerin eşdoğrusallığını kontrol edebilirsiniz; diğerlerinin yanı sıra bu sorunu da analiz edeceğiz.

Pratik örnekleri çözmek için gerekli olabilir trigonometrik tablo sinüslerin değerlerini ondan bulmak için.

Peki, hadi ateş yakalım:

örnek 1

a) Aşağıdaki durumlarda vektörlerin vektör çarpımının uzunluğunu bulunuz:

b) Vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın alanını bulun, eğer

Çözüm: Hayır, bu bir yazım hatası değil, koşul öğelerindeki ilk verileri kasıtlı olarak aynı yaptım. Çünkü çözümlerin tasarımı farklı olacak!

a) Şarta göre bulunması gerekir. uzunluk vektör (vektör çarpımı). İlgili formüle göre:

Cevap:

Uzunluk sorulduğundan, cevapta boyut birimlerini belirtiyoruz.

b) Şarta göre bulunması gerekir. kare vektörler üzerine kurulu paralelkenar. Bu paralelkenarın alanı sayısal olarak çapraz çarpımın uzunluğuna eşittir:

Cevap:

Lütfen vektör çarpımı hakkındaki yanıtta hiçbir konuşma olmadığını, bize şunun sorulduğunu unutmayın. şekil alanı sırasıyla boyut birim karedir.

Her zaman koşulun NEYİ bulması gerektiğine bakarız ve buna dayanarak formüle ederiz. temizlemek cevap. Bu, gerçekçilik gibi görünebilir, ancak öğretmenler arasında yeterli sayıda edebiyatçı vardır ve şansı yüksek olan görev, revizyon için iade edilecektir. Bu özellikle zorlayıcı bir kusur olmasa da - eğer cevap yanlışsa, o zaman kişinin basit şeyleri anlamadığı ve / veya görevin özünü anlamadığı izlenimi edinilir. Bu anın her zaman kontrol altında tutulması, yüksek matematikte ve diğer konulardaki herhangi bir problemin çözülmesi gerekir.

Büyük "en" harfi nereye gitti? Prensip olarak çözüme ek olarak yapıştırılabilirdi, ancak rekoru kısaltmak için bunu yapmadım. Umarım herkes bunu anlar ve aynı şeyin tanımıdır.

Kendin yap çözümüne popüler bir örnek:

Örnek 2

Eğer vektörler üzerine kurulu bir üçgenin alanını bulun

Bir üçgenin alanını vektör çarpımı aracılığıyla bulma formülü, tanımın yorumlarında verilmiştir. Dersin sonunda çözüm ve cevap.

Uygulamada görev gerçekten çok yaygındır, üçgenlere genellikle işkence yapılabilir.

Diğer sorunları çözmek için şunlara ihtiyacımız var:

Vektörlerin çapraz çarpımının özellikleri

Vektör çarpımının bazı özelliklerini zaten değerlendirdik, ancak bunları bu listeye dahil edeceğim.

Rastgele vektörler ve rastgele bir sayı için aşağıdaki özellikler doğrudur:

1) Diğer bilgi kaynaklarında bu madde genellikle özellikler açısından ayırt edilmez ancak pratik açıdan çok önemlidir. Bırak olsun.

2) - mülkiyet de yukarıda tartışılmıştır, bazen denir antideğişme. Başka bir deyişle vektörlerin sırası önemlidir.

3) - kombinasyon veya çağrışımsal vektör çarpım yasaları. Sabitler kolayca vektör çarpımının limitlerinin dışına çıkarılabilir. Gerçekten, orada ne yapıyorlar?

4) - dağıtım veya dağıtım vektör çarpım yasaları. Parantezlerin açılmasında da herhangi bir sorun yoktur.

Gösteri olarak kısa bir örnek düşünün:

Örnek 3

Eğer varsa bul

Çözüm: Koşula göre yine vektör çarpımının uzunluğunu bulmak gerekir. Minyatürümüzü çizelim:

(1) Birleşim yasalarına göre, vektör çarpımının sınırlarının ötesindeki sabitleri çıkarıyoruz.

(2) Modül eksi işaretini “yerken” sabiti modülden çıkarıyoruz. Uzunluk negatif olamaz.

(3) Aşağıda ne olduğu açıktır.

Cevap:

Ateşe odun atma zamanı geldi:

Örnek 4

Aşağıdaki durumlarda vektörler üzerine kurulu bir üçgenin alanını hesaplayın:

Çözüm: Formülü kullanarak üçgenin alanını bulun . Sorun, "ce" ve "te" vektörlerinin kendilerinin vektörlerin toplamları olarak temsil edilmesidir. Buradaki algoritma standarttır ve bir şekilde dersin 3 ve 4 numaralı örneklerini anımsatmaktadır. Vektörlerin nokta çarpımı . Netlik sağlamak için bunu üç adıma ayıralım:

1) İlk adımda vektör çarpımını vektör çarpımı üzerinden ifade ediyoruz, aslında, vektörü vektör cinsinden ifade edin. Uzunluğu hakkında henüz bir bilgi yok!

(1) Vektörlerin ifadelerini değiştiriyoruz.

(2) Dağılım yasalarını kullanarak parantezleri polinomların çarpma kuralına göre açın.

(3) Birleşim yasalarını kullanarak vektör çarpımlarının ötesindeki tüm sabitleri çıkarırız. Çok az deneyimle, 2. ve 3. eylemler aynı anda gerçekleştirilebilir.

(4) Hoş özelliğinden dolayı ilk ve son terimler sıfıra (sıfır vektörü) eşittir. İkinci terimde vektör çarpımının antideğişme özelliğini kullanıyoruz:

(5) Benzer terimleri sunuyoruz.

Sonuç olarak, vektörün bir vektör aracılığıyla ifade edildiği ortaya çıktı; bu da başarılması gereken şeydi:

2) İkinci adımda ihtiyacımız olan vektör çarpımının uzunluğunu buluyoruz. Bu eylem Örnek 3'e benzer:

3) Gerekli üçgenin alanını bulun:

Çözümün 2-3 adımları tek satırda düzenlenebilir.

Cevap:

Ele alınan sorun oldukça yaygındır. kontrol işi, işte kendin yap çözümüne bir örnek:

Örnek 5

Eğer varsa bul

Dersin sonunda kısa çözüm ve cevap. Bakalım önceki örnekleri incelerken ne kadar dikkatli davranmışsınız ;-)

Koordinatlardaki vektörlerin çapraz çarpımı

ortonormal bazda verilen, formülle ifade edilir:

Formül gerçekten basit: Koordinat vektörlerini determinantın üst satırına yazıyoruz, vektörlerin koordinatlarını ikinci ve üçüncü satırlara "paketliyoruz" ve şunu koyuyoruz: sıkı bir düzende- önce "ve" vektörünün koordinatları, ardından "double-ve" vektörünün koordinatları. Vektörlerin farklı bir sırayla çarpılması gerekiyorsa çizgiler de yer değiştirmelidir:

Örnek 10

Aşağıdaki uzay vektörlerinin doğrusal olup olmadığını kontrol edin:
A)
B)

Çözüm: Test, bu dersteki ifadelerden birine dayanmaktadır: eğer vektörler doğrusalsa, çapraz çarpımları sıfırdır (sıfır vektör): .

a) Vektör çarpımını bulun:

Yani vektörler doğrusal değildir.

b) Vektör çarpımını bulun:

Cevap: a) doğrusal değil, b)

Burada belki de vektörlerin vektör çarpımına ilişkin tüm temel bilgiler yer almaktadır.

Vektörlerin karma çarpımının kullanıldığı yerlerde çok az sorun olduğundan bu bölüm çok büyük olmayacaktır. Aslında her şey tanıma, geometrik anlama ve birkaç çalışma formülüne bağlı olacaktır.

Vektörlerin karışık çarpımı üç vektörün çarpımıdır:

İşte böyle tren gibi sıraya girip bekliyorlar, hesapları bitene kadar bekleyemiyorlar.

İlk önce yine tanım ve resim:

Tanım: Karışık ürün eş düzlemli olmayan vektörler, bu sıraya göre alındı, denir paralelyüz hacmi Bu vektörler üzerine inşa edilmiş, taban doğruysa "+" işaretiyle, taban soldaysa "-" işaretiyle donatılmıştır.

Çizimi yapalım. Bizim için görünmeyen çizgiler noktalı bir çizgiyle çizilir:

Tanıma geçelim:

2) Alınan vektörler belli bir sırayla yani vektörlerin çarpımdaki permütasyonu tahmin edebileceğiniz gibi sonuçsuz kalmıyor.

3) Geometrik anlam hakkında yorum yapmadan önce bariz gerçeğe dikkat çekeceğim: vektörlerin karışık çarpımı bir SAYIdır: . Eğitim literatüründe tasarım biraz farklı olabilir, ben karma bir ürünü ve hesaplamaların sonucunu "pe" harfiyle belirtirdim.

A-tarikatı karışık ürün paralelyüzlü hacmidir, vektörler üzerine inşa edilmiştir (şekil kırmızı vektörler ve siyah çizgilerle çizilmiştir). Yani sayı, verilen paralel borunun hacmine eşittir.

Not : Çizim şematiktir.

4) Tabanın ve uzayın yönelimi kavramıyla tekrar uğraşmayalım. Son kısmın anlamı ise hacme eksi işareti eklenebilmesidir. Basit kelimelerle, karışık çarpım negatif olabilir: .

Vektörler üzerine kurulu bir paralelyüzün hacmini hesaplama formülü doğrudan tanımdan gelir.