Sorun 1. ABC üçgeninin köşelerinin koordinatları verilmiştir: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Bul: 1) AB kenarının uzunluğunu; 2) AB ve BC kenarlarının denklemleri ve bunların yamaçlar; 3) iki basamak doğrulukla radyan cinsinden B açısı; 4) CD yüksekliği ve uzunluğu denklemi; 5) ortanca AE'nin denklemi ve bu ortancanın CD yüksekliği ile kesiştiği K noktasının koordinatları; 6) K noktasından AB kenarına paralel geçen düz bir çizginin denklemi; 7) CD düz çizgisine göre A noktasına simetrik olarak yerleştirilmiş M noktasının koordinatları.

Çözüm:

1. A(x 1 ,y 1) ve B(x 2 ,y 2) noktaları arasındaki d mesafesi aşağıdaki formülle belirlenir

(1)’i uygulayarak AB kenarının uzunluğunu buluruz:

2. A(x 1 ,y 1) ve B(x 2 ,y 2) noktalarından geçen doğrunun denklemi şu şekildedir:

(2)

A ve B noktalarının koordinatlarını (2)'de değiştirerek AB tarafının denklemini elde ederiz:

Y için son denklemi çözdükten sonra, AB tarafının denklemini açısal katsayılı düz bir çizgi denklemi biçiminde buluyoruz:

Neresi

B ve C noktalarının koordinatlarını (2)'de değiştirerek BC düz çizgisinin denklemini elde ederiz:

Veya

3. Açısal katsayıları sırasıyla eşit olan iki düz çizgi arasındaki açının tanjantının formülle hesaplandığı bilinmektedir.

(3)

İstenilen B açısı, açısal katsayıları bulunan AB ve BC düz çizgileriyle oluşturulur: (3)'ü uygulayarak şunu elde ederiz:

Ya da sevindim.

4. Belirli bir noktadan belirli bir yönde geçen düz bir çizginin denklemi şu şekildedir:

(4)

CD yüksekliği AB kenarına diktir. CD yüksekliğinin eğimini bulmak için doğruların diklik koşulunu kullanırız. O zamandan beri (4)'e C noktasının koordinatlarını ve bulunan açısal yükseklik katsayısını koyarak şunu elde ederiz:

CD yüksekliğinin uzunluğunu bulmak için önce AB ve CD düz çizgilerinin kesişme noktası olan D noktasının koordinatlarını belirleriz. Sistemi birlikte çözmek:

bulduk onlar. D(8;0).

Formül (1)'i kullanarak CD yüksekliğinin uzunluğunu buluruz:

5. Ortanca AE'nin denklemini bulmak için önce BC kenarının ortası olan E noktasının koordinatlarını bir parçayı iki eşit parçaya bölme formüllerini kullanarak belirleriz:

(5)

Buradan,

A ve E noktalarının koordinatlarını (2)'de değiştirerek medyan denklemini buluruz:

CD yüksekliği ile ortanca AE'nin kesişme noktasının koordinatlarını bulmak için denklem sistemini birlikte çözeriz

Bulduk.

6. İstenilen doğru doğru AB kenarına paralel olduğundan açısal katsayısı AB doğrusunun açısal katsayısına eşit olacaktır. (4)'te bulunan K noktasının koordinatlarını ve elde ettiğimiz açısal katsayıyı yerine koyarsak

3x + 4y – 49 = 0 (KF)

7. AB düz çizgisi CD düz çizgisine dik olduğundan, CD düz çizgisine göre A noktasına simetrik olarak yerleştirilen istenen M noktası AB düz çizgisi üzerinde yer alır. Ayrıca D noktası AM segmentinin orta noktasıdır. Formülleri (5) kullanarak istenen M noktasının koordinatlarını buluruz:

ABC üçgeni, CD yüksekliği, ortanca AE, KF düz çizgisi ve M noktası, Şekil 2'deki xOy koordinat sisteminde oluşturulmuştur. 1.

Görev 2. Belirli bir A(4; 0) noktasına ve belirli bir x=1 doğrusuna uzaklıkları 2'ye eşit olan noktaların geometrik yeri için bir denklem oluşturun.

Çözüm:

xOy koordinat sisteminde A(4;0) noktasını ve x = 1 düz çizgisini oluşturuyoruz. M(x;y) noktaların istenen geometrik konumlarının rastgele bir noktası olsun. MB dik açısını verilen x = 1 doğrusuna indirelim ve B noktasının koordinatlarını belirleyelim. B noktası verilen doğru üzerinde bulunduğundan apsisi 1'e eşittir. B noktasının ordinatı M noktasının ordinatına eşittir. Bu nedenle B(1;y) (Şekil 2).

Sorunun koşullarına göre |MA|: |MV| = 2. Uzaklıklar |MA| ve |MB| problem 1'in formül (1)'inden şunu buluyoruz:

Sol ve sağ tarafların karesini alırsak, şunu elde ederiz:

veya

Ortaya çıkan denklem, gerçek yarı eksenin a = 2 ve sanal yarı eksenin olduğu bir hiperboldür.

Bir hiperbolün odaklarını tanımlayalım. Bir hiperbol için eşitlik sağlanır.Bu nedenle ve – abartı hileleri. Gördüğünüz gibi verilen A(4;0) noktası hiperbolün sağ odağıdır.

Ortaya çıkan hiperbolün dışmerkezliğini belirleyelim:

Hiperbol asimptotlarının denklemleri ve şeklindedir. Bu nedenle, veya ve bir hiperbolün asimptotlarıdır. Bir hiperbol oluşturmadan önce asimptotlarını oluştururuz.

Sorun 3. A(4; 3) noktasına ve y = 1 düz çizgisine eşit uzaklıktaki noktaların konumu için bir denklem oluşturun. Ortaya çıkan denklemi en basit biçimine indirin.

Çözüm: M(x; y) noktaların istenilen geometrik yerinin noktalarından biri olsun. MB dik noktasını M noktasından bu y = 1 düz çizgisine bırakalım (Şekil 3). B noktasının koordinatlarını belirleyelim. Açıkçası, B noktasının apsisi M noktasının apsisine eşittir ve B noktasının ordinatı 1'e eşittir, yani B(x; 1). Sorunun koşullarına göre |MA|=|MV|. Sonuç olarak, istenilen geometrik noktalara ait herhangi bir M(x;y) noktası için aşağıdaki eşitlik doğrudur:

Ortaya çıkan denklem, noktasında tepe noktası olan bir parabolü tanımlar.Parabol denklemini en basit haline getirmek için y + 2 = Y'yi ayarlayalım, o zaman parabol denklemi şu formu alır:

Kullanarak sorunları çözmeyi nasıl öğrenebilirim? analitik geometri?
Düzlemdeki üçgenle ilgili tipik problem

Bu ders, düzlem geometrisi ile uzay geometrisi arasındaki ekvatora yaklaşım üzerine oluşturulmuştur. Şu anda biriken bilgilerin sistematik hale getirilmesi ve çok önemli bir sorunun yanıtlanması gerekiyor: Analitik geometrideki problemleri çözmeyi nasıl öğrenebilirim? Buradaki zorluk, geometride sonsuz sayıda problemle karşılaşabilmenizdir ve hiçbir ders kitabı bu kadar çok ve çeşitli örnekleri içermeyecektir. Değil bir fonksiyonun türevi beş türev alma kuralı, bir tablo ve çeşitli tekniklerle….

Bir çözüm var! Bir tür görkemli teknik geliştirdiğim hakkında yüksek sesle konuşmayacağım, ancak bence söz konusu soruna etkili bir yaklaşım var, bu da tam bir kuklanın bile iyi ve mükemmel sonuçlar elde etmesine olanak tanıyor. En azından geometrik problemlerin çözümüne yönelik genel algoritma kafamda çok net bir şekilde şekillendi.

BİLMENİZ VE YAPABİLMENİZ GEREKENLER
Geometri problemlerini başarıyla çözmek için?

Bundan kaçış yok - burnunuzla rastgele düğmelere basmamak için analitik geometrinin temellerine hakim olmanız gerekir. Bu nedenle geometri çalışmaya yeni başladıysanız veya tamamen unuttuysanız lütfen derse başlayın. Aptallar için vektörler. Vektörlere ve onlarla yapılan eylemlere ek olarak, özellikle düzlem geometrisinin temel kavramlarını bilmeniz gerekir. düzlemdeki bir doğrunun denklemi Ve . Uzayın geometrisi makalelerde sunulmaktadır Düzlem denklemi, Uzayda bir çizginin denklemleri, Düz bir çizgi ve düzlemde temel problemler ve diğer bazı dersler. İkinci dereceden kavisli çizgiler ve uzamsal yüzeyler biraz ayrı duruyor ve bunlarla ilgili çok fazla spesifik sorun yok.

Öğrencinin analitik geometrinin en basit problemlerini çözme konusunda temel bilgi ve becerilere sahip olduğunu varsayalım. Ama şöyle oluyor: Sorunun açıklamasını okuyorsunuz ve... her şeyi tamamen kapatmak, onu uzak köşeye atmak ve kötü bir rüya gibi unutmak istiyorsunuz. Üstelik bu, temelde niteliklerinizin düzeyine bağlı değil; zaman zaman ben de çözümü açık olmayan görevlerle karşılaşıyorum. Bu gibi durumlarda ne yapmalı? Anlamadığınız bir görevden korkmanıza gerek yok!

İlk önce, kurulmalıdır - Bu “düz” bir sorun mu yoksa mekansal bir sorun mu?Örneğin, koşul iki koordinatlı vektörler içeriyorsa, o zaman elbette bu bir düzlemin geometrisidir. Ve eğer öğretmen minnettar dinleyiciye bir piramit yüklediyse, o zaman açıkça uzayın geometrisi vardır. İlk adımın sonuçları zaten oldukça iyi çünkü bu görev için gereksiz olan büyük miktarda bilgiyi kesmeyi başardık!

Saniye. Durum genellikle sizi bazı geometrik şekillerle ilgilendirecektir. Gerçekten de, kendi üniversitenizin koridorlarında yürüyün; birçok endişeli yüz göreceksiniz.

"Düz" problemlerde, bariz nokta ve çizgilerden bahsetmeye bile gerek yok, en popüler şekil bir üçgendir. Bunu çok detaylı bir şekilde analiz edeceğiz. Daha sonra paralelkenar gelir ve çok daha az yaygın olan dikdörtgen, kare, eşkenar dörtgen, daire ve diğer şekillerdir.

Uzamsal problemlerde, aynı düz şekiller + düzlemlerin kendisi ve paralel yüzlü ortak üçgen piramitler uçabilir.

İkinci soru - Bu rakam hakkında her şeyi biliyor musun? Koşulun bir ikizkenar üçgenden bahsettiğini ve bunun ne tür bir üçgen olduğunu belli belirsiz hatırladığınızı varsayalım. Bir okul ders kitabını açıyoruz ve ikizkenar üçgen hakkında okuyoruz. Ne yapmalı... doktor eşkenar dörtgen dedi, eşkenar dörtgen anlamına geliyor. Analitik geometri analitik geometridir, ancak sorun şekillerin geometrik özellikleriyle çözülecek, okul müfredatından biliyoruz. Bir üçgenin açılarının toplamının ne olduğunu bilmiyorsanız uzun süre acı çekebilirsiniz.

Üçüncü. HER ZAMAN çizimi takip etmeye çalışın(taslakta/bitirilmiş kopyada/zihinsel olarak), durum bunu gerektirmese bile. "Düz" problemlerde Euclid, yalnızca durumu anlamak için değil, aynı zamanda kendi kendini test etmek amacıyla da bir cetvel ve kalem almayı emretti. Bu durumda en uygun ölçek 1 birim = 1 cm'dir (2 dizüstü bilgisayar hücresi). Dikkatsiz öğrencilerden ve mezarlarında dönen matematikçilerden bahsetmeyelim - bu tür problemlerde hata yapmak neredeyse imkansızdır. Uzamsal görevler için, durumu analiz etmeye de yardımcı olacak şematik bir çizim gerçekleştiriyoruz.

Bir çizim veya şematik çizim çoğu zaman bir sorunu çözmenin yolunu anında görmenizi sağlar. Elbette bunun için temel geometriyi bilmeniz ve özellikleri hacklemeniz gerekir. geometrik şekiller(önceki paragrafa bakın).

Dördüncü. Çözüm algoritmasının geliştirilmesi. Birçok geometri problemi çok adımlıdır, dolayısıyla çözüm ve tasarımı noktalara ayırmak için çok uygundur. Çoğu zaman algoritma, koşulu okuduktan veya çizimi tamamladıktan hemen sonra aklınıza gelir. Zorluk durumunda görevin SORUSU ile başlıyoruz. Örneğin “düz bir çizgi çizmelisiniz…” koşuluna göre. Burada en mantıklı soru şudur: “Bu düz çizgiyi inşa etmek için neyi bilmek yeterlidir?” Diyelim ki “noktayı biliyoruz, yön vektörünü bilmemiz gerekiyor.” Şu soruyu soruyoruz: “Bu yön vektörü nasıl bulunur? Nerede?" vesaire.

Bazen bir "hata" vardır - sorun çözülmez ve hepsi bu. Durdurmanın nedenleri şunlar olabilir:

– Temel bilgilerde ciddi boşluk. Yani çok basit bir şeyi bilmiyorsunuz ve/veya görmüyorsunuz.

– Geometrik şekillerin özelliklerinin bilinmemesi.

– Görev zordu. Evet, oluyor. Saatlerce buğulamanın, gözyaşlarını mendilde toplamanın hiçbir anlamı yok. Öğretmeninizden veya diğer öğrencilerden tavsiye alın veya forumda bir soru sorun. Dahası, çözümün anlamadığınız kısmı hakkında somut bir açıklama yapmak daha iyidir. “Sorun nasıl çözülür?” şeklinde bir ağlama. pek iyi görünmüyor... ve hepsinden önemlisi, kendi itibarınız açısından.

Beşinci aşama. Karar ver-kontrol et, karar ver-kontrol et, karar ver-kontrol et-cevap verelim. Görevin her noktasını kontrol etmekte fayda var tamamlandıktan hemen sonra. Bu, hatayı hemen tespit etmenize yardımcı olacaktır. Doğal olarak, hiç kimse sorunun tamamını hızlı bir şekilde çözmeyi yasaklamaz, ancak her şeyi yeniden yazma riski vardır (genellikle birkaç sayfa).

Bunlar belki de sorunları çözerken takip edilmesi gereken tüm temel hususlardır.

Dersin pratik kısmı düzlem geometride sunulmaktadır. Sadece iki örnek olacak ama yeterli olmayacak =)

Biraz önce küçük bilimsel çalışmamda baktığım algoritmanın akışına bakalım:

örnek 1

Paralelkenarın üç köşesi verilmiştir. Üstü bul.

Anlamaya başlayalım:

Adım bir: “Düz” bir sorundan bahsettiğimiz çok açık.

İkinci adım: Problem paralelkenarla ilgilidir. Herkes bu paralelkenar figürünü hatırlıyor mu? Gülümsemeye gerek yok, pek çok kişi eğitimini 30-40-50 ve üzeri yaşlarda aldığı için basit gerçekler bile hafızadan silinebiliyor. Paralelkenarın tanımı dersin 3 numaralı örneğinde bulunmaktadır. Vektörlerin doğrusal (bağımsız) bağımlılığı. Vektörlerin temeli.

Adım üç: Bilinen üç köşeyi işaretleyeceğimiz bir çizim yapalım. İstenilen noktayı hemen oluşturmanın zor olmaması komik:

Bunu inşa etmek elbette iyidir, ancak çözümün analitik olarak formüle edilmesi gerekir.

Adım dört: Çözüm algoritmasının geliştirilmesi. İlk akla gelen, doğruların kesişimi olarak bir noktanın bulunabileceğidir. Denklemlerini bilmiyoruz, bu yüzden bu konuyla ilgilenmemiz gerekecek:

1) Karşılıklı kenarlar paraleldir. Puanlara göre Bu kenarların yön vektörünü bulalım. Bu en basit görev sınıfta tartışılan Aptallar için vektörler.

Not: "Bir tarafı içeren bir doğrunun denklemi" demek daha doğru olur, ancak burada ve daha sonra kısaca "bir tarafın denklemi", "bir tarafın yön vektörü" vb. ifadelerini kullanacağım.

3) Karşılıklı kenarlar paraleldir. Noktaları kullanarak bu kenarların yön vektörünü buluruz.

4) Bir nokta ve yön vektörünü kullanarak düz bir çizginin denklemini oluşturalım

1-2 ve 3-4. paragraflarda aslında aynı problemi iki kez çözdük, bu arada dersin 3 numaralı örneğinde de tartışılmıştı. Düzlemde düz bir çizgiyle ilgili en basit problemler. Daha uzun bir rota izlemek mümkündü - önce çizgilerin denklemlerini bulun ve ancak daha sonra yön vektörlerini onlardan "çıkarın".

5) Artık doğruların denklemleri bilinmektedir. Geriye kalan tek şey karşılık gelen doğrusal denklem sistemini oluşturmak ve çözmektir (aynı dersin 4, 5 numaralı örneklerine bakın) Düzlemde düz bir çizgiyle ilgili en basit problemler).

Nokta bulunmuştur.

Görev oldukça basit ve çözümü belli ama daha kısa bir yolu var!

İkinci çözüm:

Paralelkenarın köşegenleri kesişme noktalarına göre ikiye bölünür. Noktayı işaretledim ama çizimi karıştırmamak için köşegenleri kendileri çizmedim.

Kenarın denklemini noktadan noktaya oluşturalım :

Kontrol etmek için, her noktanın koordinatlarını zihinsel olarak veya taslak üzerinde sonuçtaki denklemde değiştirmelisiniz. Şimdi eğimi bulalım. Bunu yapmak için genel denklemi eğim katsayılı bir denklem biçiminde yeniden yazıyoruz:

Böylece eğim:

Benzer şekilde kenarların denklemlerini de buluyoruz. Aynı şeyi açıklamanın pek bir anlamı görmüyorum, bu yüzden hemen nihai sonucu vereceğim:

2) Kenarın uzunluğunu bulun. Bu sınıfta ele alınan en basit problemdir. Aptallar için vektörler. Puanlar için formülü kullanıyoruz:

Aynı formülü kullanarak diğer kenarların uzunluklarını bulmak kolaydır. Kontrol normal bir cetvelle çok hızlı bir şekilde yapılabilir.

Formülü kullanıyoruz .

Vektörleri bulalım:

Böylece:

Bu arada kenar uzunluklarını da bulduk.

Sonuç olarak:

Doğru gibi görünüyor; ikna edici olmak için köşeye bir iletki takabilirsiniz.

Dikkat! Üçgenin açısını düz çizgiler arasındaki açıyla karıştırmayın. Bir üçgenin açısı geniş olabilir, ancak düz çizgiler arasındaki açı olamaz (makalenin son paragrafına bakın) Düzlemde düz bir çizgiyle ilgili en basit problemler). Ancak bir üçgenin açısını bulmak için yukarıdaki dersteki formülleri de kullanabilirsiniz ancak işin püf noktası, bu formüllerin her zaman dar açı vermesidir. Onların yardımıyla bu sorunu taslakta çözdüm ve sonuca ulaştım. Ve son kopyaya ek mazeretler yazmam gerekecekti.

4) Doğruya paralel bir noktadan geçen doğrunun denklemini yazınız.

Dersin 2 numaralı örneğinde ayrıntılı olarak tartışılan standart görev Düzlemde düz bir çizgiyle ilgili en basit problemler. Doğrunun genel denkleminden Kılavuz vektörünü çıkaralım. Bir nokta ve yön vektörünü kullanarak düz bir çizginin denklemini oluşturalım:

Bir üçgenin yüksekliği nasıl bulunur?

5) Yükseklik için bir denklem oluşturup uzunluğunu bulalım.

Katı tanımlardan kaçış yok, bu yüzden bir okul ders kitabından çalmanız gerekecek:

Üçgen yüksekliği Üçgenin köşesinden karşı kenarı içeren çizgiye çizilen dikmeye denir.

Yani tepe noktasından kenara çizilen bir dikme için denklem oluşturmak gerekir. Bu görev dersteki 6, 7 numaralı örneklerde tartışılmaktadır. Düzlemde düz bir çizgiyle ilgili en basit problemler. Denklemden. normal vektörü kaldırın. Bir nokta ve yön vektörünü kullanarak yükseklik denklemini oluşturalım:

Lütfen noktanın koordinatlarını bilmediğimizi unutmayın.

Bazen yükseklik denklemi dik çizgilerin açısal katsayılarının oranından bulunur: . Bu durumda: . Bir nokta ve açısal katsayı kullanarak yükseklik denklemini oluşturalım (bkz. dersin başlangıcı) Düzlemde düz bir çizginin denklemi):

Yükseklik uzunluğu iki şekilde bulunabilir.

Bir dolambaçlı yol var:

a) Bul – yükseklik ve kenarın kesişme noktası;
b) bilinen iki noktayı kullanarak doğru parçasının uzunluğunu bulun.

Ama sınıfta Düzlemde düz bir çizgiyle ilgili en basit problemler bir noktadan bir çizgiye olan mesafe için uygun bir formül düşünüldü. Nokta biliniyor: Doğrunun denklemi de biliniyor: , Böylece:

6) Üçgenin alanını hesaplayın. Uzayda bir üçgenin alanı geleneksel olarak şu şekilde hesaplanır: vektörlerin vektör çarpımı, ancak burada bize düzlem üzerinde bir üçgen veriliyor. Okul formülünü kullanıyoruz:
– Bir üçgenin alanı, tabanı ile yüksekliğinin çarpımının yarısına eşittir.

Bu durumda:

Bir üçgenin medyanı nasıl bulunur?

7) Medyan için bir denklem oluşturalım.

Bir üçgenin medyanı Üçgenin tepe noktasını karşı kenarın ortasıyla birleştiren doğru parçasına denir.

a) Kenarın ortasını bulun. Kullanırız bir parçanın orta noktasının koordinatları için formüller. Segmentin uçlarının koordinatları bilinmektedir: , ardından ortanın koordinatları:

Böylece:

Medyan denklemini noktadan noktaya oluşturalım :

Denklemi kontrol etmek için noktaların koordinatlarını denklemin içine koymanız gerekir.

8) Yükseklik ile ortancanın kesişme noktasını bulun. Sanırım herkes artistik patinajın bu unsurunu düşmeden nasıl gerçekleştireceğini zaten öğrendi:

Egzersiz yapmak. A(2,1), B(1,-2), C(-1,0) noktaları ABC üçgeninin köşeleridir.
a) ABC üçgeninin kenarlarının denklemlerini bulun.
b) ABC üçgeninin kenarortaylarından birinin denklemini bulun.
c) ABC üçgeninin yüksekliklerinden birinin denklemini bulun.
d) ABC üçgeninin açıortaylarından birinin denklemini bulun.
e) ABC üçgeninin alanını bulun.

Çözüm Hesap makinesi kullanarak yapıyoruz.
Üçgenin koordinatları şu şekilde verilmiştir: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0).
1) Vektör koordinatları
Aşağıdaki formülü kullanarak vektörlerin koordinatlarını buluruz:
X = x j - x ben ; Y = y j - y ben

Örneğin AB vektörü için

X = 1-2 = -1; Y = -2-1 = -3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
BC(-2;2)
2) Vektör modülleri

3) Düz çizgiler arasındaki açı
a 1 (X 1 ;Y 1), a 2 (X 2 ;Y 2) vektörleri arasındaki açı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

burada a 1 a 2 = X 1 X 2 + Y 1 Y 2
AB ve AC kenarları arasındaki açıyı bulun

γ = arccos(0,6) = 53,13 0
4) Vektör projeksiyonu
Vektör projeksiyonu B vektöre A aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

AB vektörünün AC vektörüne izdüşümünü bulalım

5) Üçgenin alanı



Çözüm


Elde ettiğimiz formülü kullanarak:

6) Bir parçanın bu ilişkiye göre bölünmesi
AB parçasını AA:AB = m1:m2 oranında bölen A noktasının yarıçap vektörü r, aşağıdaki formülle belirlenir:

A noktasının koordinatları aşağıdaki formüller kullanılarak bulunur:




Bir üçgenin medyan denklemi
BC kenarının ortasını M harfiyle gösterelim. Daha sonra bir doğru parçasını ikiye bölme formüllerini kullanarak M noktasının koordinatlarını bulacağız.


M(0;-1)
Ortanca AM'nin denklemini, verilen iki noktadan geçen düz bir çizginin denklemi formülünü kullanarak buluyoruz. Ortanca AM, A(2;1) ve M(0;-1) noktalarından geçer, dolayısıyla:

veya

veya
y = x -1 veya y -x +1 = 0
7) Bir doğrunun denklemi


AB çizgisinin denklemi

veya

veya
y = 3x -5 veya y -3x +5 = 0
AC hattının denklemi

veya

veya
y = 1/3 x + 1/3 veya 3y -x - 1 = 0
BC çizgisinin denklemi

veya

veya
y = -x -1 veya y + x +1 = 0
8) A köşesinden çizilen üçgenin yükseklik uzunluğu
M 1 (x 1 ;y 1) noktasından Ax + By + C = 0 düz çizgisine kadar olan d mesafesi, miktarın mutlak değerine eşittir:

A(2;1) noktası ile BC çizgisi arasındaki mesafeyi bulun (y + x +1 = 0)

9) C köşesinden geçen yükseklik denklemi
M 0 (x 0 ;y 0) noktasından geçen ve Ax + By + C = 0 düz çizgisine dik olan düz çizginin bir yön vektörü (A;B) vardır ve bu nedenle aşağıdaki denklemlerle temsil edilir:


Bu denklem başka bir şekilde de bulunabilir. Bunu yapmak için AB düz çizgisinin k 1 eğimini bulalım.
AB denklemi: y = 3x -5, yani. k1 = 3
İki düz çizginin birbirine dik olması koşulundan dikin açısal katsayısı k'yı bulalım: k 1 *k = -1.
Bu doğrunun eğimini k 1 yerine koyarsak şunu elde ederiz:
3k = -1, dolayısıyla k = -1 / 3
Dikme C(-1,0) noktasından geçtiğinden ve k = -1/3 olduğundan denklemini şu şekilde arayacağız: y-y 0 = k(x-x 0).
x 0 = -1, k = -1 / 3, y 0 = 0'ı yerine koyarsak şunu elde ederiz:
y-0 = -1 / 3 (x-(-1))
veya
y = -1/3 x - 1/3
Üçgen açıortay denklemi
A açısının açıortayını bulalım. Açıortayın BC kenarıyla kesiştiği noktayı M olarak gösterelim.
Formülü kullanalım:

AB denklemi: y -3x +5 = 0, AC denklemi: 3y -x - 1 = 0

^A ≈ 53 0
Açıortay açıyı ikiye böler, dolayısıyla NAK açısı ≈ 26,5 0
AB'nin eğimi 3'e eşittir (çünkü y -3x +5 = 0). Eğim açısı 72
^NKA≈ 180 0 - 72 0 = 108 0
^ANK ≈ 180 0 - (108 0 + 26,5 0) ≈ 45,5 0
tg(45,5 0) = 1
Ortay A(2,1) noktasından geçer ve aşağıdaki formülü kullanırız:
y - y 0 = k(x - x 0)
y - 1 = 1(x - 2)
veya
y=x-1
İndirmek

Örnek. ABC üçgeninin köşelerinin koordinatları verilmiştir: A(–3; –1), B(4; 6), C(8; –2).
Gerekli: 1) uçağın yan uzunluğunu hesaplayın; 2) BC tarafı için bir denklem oluşturun; 3) üçgenin B köşesindeki iç açısını bulun; 4) A köşesinden çizilen AK yüksekliği için bir denklem oluşturun; 5) homojen bir üçgenin ağırlık merkezinin koordinatlarını (medyanlarının kesişme noktaları) bulun; 6) Koordinat sisteminde çizim yapar.

Egzersiz yapmak. ABC üçgeninin köşelerinin koordinatları şu şekilde verilmiştir: A(7;4), B(-9;-8), C(-2;16). Gerekli:

1. B köşesinden çizilen kenarortay için bir denklem yazın ve uzunluğunu hesaplayın.
2. A köşesinden çizilen yüksekliğin denklemini yazın ve uzunluğunu hesaplayın.
3. ABC üçgeninin B iç açısının kosinüsünü bulun.

Çizim yapmak.

Çözümü indirin

Örnek No.3. Bir üçgenin A(1;1), B(7;4), C(4;5) köşeleri veriliyor. Bul: 1) AB kenarının uzunluğunu; 2) 0,001 doğrulukla radyan cinsinden A iç açısı. Çizim yapmak.
İndirmek

Örnek No. 4. Bir üçgenin A(1;1), B(7;4), C(4;5) köşeleri veriliyor. Bul: 1) C tepe noktasından çizilen yükseklik denklemi; 2) C tepe noktasından çizilen medyanın denklemi; 3) üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktası; 4) C köşesinden indirilen yüksekliğin uzunluğu. Bir çizim yapın.
İndirmek

Örnek No. 5. ABC üçgeninin köşeleri verildiğinde: A(-5;0), B(7;-9), C(11;13). Şunları belirleyin: 1) AB tarafının uzunluğu; 2) AB ve AC kenarlarının denklemi ve açısal katsayıları; 3) üçgenin alanı.

Vektörlerin koordinatlarını şu formülü kullanarak buluyoruz: X = x j - x i ; Y = y j - y ben
burada vektörün X,Y koordinatları; x i, y i - A i noktasının koordinatları; x j, y j - A j noktasının koordinatları
Örneğin AB vektörü için
X = x2 - x1; Y = y2 - y1
X = 7-(-5) = 12; Y = -9-0 = -9
AB(12;-9), AC(16;13), BC(4;22).

Üçgenin kenar uzunlukları
a(X;Y) vektörünün uzunluğu koordinatları aracılığıyla aşağıdaki formülle ifade edilir:


Bir üçgenin alanı
A 1 (x 1 ; y 1), A 2 (x 2 ; y 2), A 3 (x 3 ; y 3) noktaları üçgenin köşeleri olsun, ardından alanı aşağıdaki formülle ifade edilir:

Sağ tarafta ikinci dereceden bir determinant var. Bir üçgenin alanı her zaman pozitiftir.
Çözüm. A'yı ilk köşe olarak alırsak şunu buluruz:

Elde ettiğimiz formülü kullanarak:

Bir çizginin denklemi
A 1 (x 1 ; y 1) ve A 2 (x 2 ; y 2) noktalarından geçen düz bir çizgi aşağıdaki denklemlerle temsil edilir:

AB çizgisinin denklemi
Doğrunun kanonik denklemi:

veya

veya
y = -3 / 4 x -15 / 4 veya 4y + 3x +15 = 0
AB düz çizgisinin eğimi k = -3 / 4'e eşittir
AC hattının denklemi

veya

veya
y = 13/16 x + 65/16 veya 16y -13x - 65 = 0
AB düz çizgisinin eğimi k = 13/16'ya eşittir

Egzersiz yapmak. ABCD piramidinin köşelerinin koordinatları verilmiştir. Gerekli:

1. Vektörleri ort sistemine yazın ve bu vektörlerin modüllerini bulun.
2. Vektörler arasındaki açıyı bulun.
3. Bir vektörün bir vektöre izdüşümünü bulun.
4. ABC yüzünün alanını bulun.
5. ABCD piramidinin hacmini bulun.

Çözüm
Örnek No.1
A 1 (1,8,2), A 2 (5,2,6), A 3 (0,-1,-2), A 4 (-2,3,-1): Örnek No. 2
A 1 (5,2,1), A 2 (-3,9,3), A 3 (-1,3,5), A 4 (-1,-5,2): Örnek No. 3
A 1 (-1,0,2), A 2 (-2,0,6), A 3 (-3,1,2), A 4 (-1,2,4): Örnek No. 4

Egzersiz yapmak. x + y -5 = 0 ve x + 4y - 8 = 0 doğruları arasındaki dar açıyı bulun.
Çözüm önerileri. Sorun iki düz çizgi arasındaki servis açısı kullanılarak çözülür.
Cevap: 30.96 veya

Örnek No.1. A1(1;0;2), A2(2;1;1), A3(-1;2;0), A4(-2;-1;-1) noktalarının koordinatları verilmiştir. A1A2 kenarının uzunluğunu bulun. A1A4 kenarı ve A1A2A3 yüzü için bir denklem oluşturun. A4 noktasından A1A2A3 düzlemine indirilen yükseklik için bir denklem oluşturun. A1A2A3 üçgeninin alanını bulun. A1A2A3A4 üçgen piramidinin hacmini bulun.

Vektörlerin koordinatlarını şu formülü kullanarak buluyoruz: X = x j - x i ; Y = y j - y ben ; Z = z j - z ben
Burada X,Y,Z koordinatları vektör; x i, y i, z i - A i noktasının koordinatları; x j, y j, z j - A j noktasının koordinatları;
Yani A 1 A 2 vektörü için bunlar aşağıdaki gibi olacaktır:
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = 2-1; Y = 1-0; Z = 1-2
A 1 A 2 (1;1;-1)
A 1 A 3 (-2;2;-2)
A 1 A 4 (-3;-1;-3)
A 2 A 3 (-3;1;-1)
A 2 A 4 (-4;-2;-2)
A 3 A 4 (-1;-3;-1)
a(X;Y;Z) vektörünün uzunluğu koordinatları aracılığıyla aşağıdaki formülle ifade edilir: