Bir vektörün koordinatlarını bulmak, matematikteki birçok problem için oldukça yaygın bir durumdur. Bir vektörün koordinatlarını bulma yeteneği, benzer konulardaki diğer, daha karmaşık problemlerde size yardımcı olacaktır. Bu yazıda, bir vektörün koordinatlarını bulma formülünü ve birkaç görevi ele alacağız.

Bir düzlemde bir vektörün koordinatlarını bulma

uçak nedir Düzlem iki boyutlu bir uzaydır, iki boyutlu bir uzaydır (boyut x ve boyut y). Örneğin kağıt düzdür. Masanın yüzeyi düzdür. Hacimsel olmayan herhangi bir şekil (kare, üçgen, yamuk) da bir düzlemdir. Böylece, problemin koşulunda bir düzlemde uzanan bir vektörün koordinatlarını bulmak gerekiyorsa, hemen x ve y'yi hatırlarız. Böyle bir vektörün koordinatlarını şu şekilde bulabilirsiniz: Vektörün AB koordinatları = (xB - xA; yB - xA). Formülden başlangıç ​​noktasının koordinatlarının bitiş noktasının koordinatlarından çıkarılması gerektiği görülmektedir.

Örnek:

• CD vektörünün başlangıç ​​(5; 6) ve bitiş (7; 8) koordinatları vardır.
• Vektörün kendisinin koordinatlarını bulun.
• Yukarıdaki formülü kullanarak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• Böylece, CD vektörünün koordinatları = (2; 2).
• Buna göre x koordinatı ikiye eşittir, y koordinatı da ikidir.

Uzayda bir vektörün koordinatlarını bulma

uzay nedir? Uzay zaten üç boyutlu bir boyuttur ve burada 3 koordinat verilir: x, y, z. Uzayda bulunan bir vektör bulmanız gerekiyorsa, formül pratik olarak değişmez. Yalnızca bir koordinat eklenir. Vektörü bulmak için başlangıç ​​koordinatlarını bitiş koordinatlarından çıkarmanız gerekir. AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)

Örnek:

• DF vektörünün başlangıcı (2; 3; 1) ve sonu (1; 5; 2) vardır.
• Yukarıdaki formülü uygulayarak şunu elde ederiz: Vektör koordinatları DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• Unutmayın, koordinatların değeri negatif olabilir, bunda bir sorun yok.

Çevrimiçi olarak vektör koordinatları nasıl bulunur?

Herhangi bir nedenle koordinatları kendiniz bulmak istemiyorsanız, çevrimiçi hesaplayıcıyı kullanabilirsiniz. İlk olarak, vektörün boyutunu seçin. Bir vektörün boyutu, boyutlarından sorumludur. 3. boyut, vektörün uzayda olduğu, 2. boyut ise düzlem üzerinde olduğu anlamına gelir. Ardından, noktaların koordinatlarını uygun alanlara girin ve program vektörün koordinatlarını kendisi belirleyecektir. Her şey çok basit.

Butona tıkladığınızda sayfa otomatik olarak aşağı kayacak ve çözüm adımlarıyla birlikte size doğru cevabı verecektir.

Bu konunun iyi çalışılması tavsiye edilir çünkü vektör kavramı sadece matematikte değil fizikte de bulunur. Bilgi Teknolojileri Fakültesi öğrencileri de vektörler konusunu inceler, ancak daha karmaşık bir düzeyde.

Apsis ve ordinat eksenlerinde denir koordinatlar vektör. Vektör koordinatları genellikle formda belirtilir. (x, y), ve vektörün kendisi: = (x, y).

İki boyutlu problemler için bir vektörün koordinatlarını belirleme formülü.

İki boyutlu bir problem durumunda, bilinen bir vektör nokta koordinatları A(x 1; y 1) Ve B(X 2 ; y 2 ) hesaplanabilir:

\u003d (x 2 - x 1; y 2 - ve 1).

Uzamsal problemler için bir vektörün koordinatlarını belirleme formülü.

Uzamsal bir problem durumunda, bilinen bir vektör nokta koordinatları A (x 1; y 1;z 1 ) ve B (X 2 ; y 2 ; z 2 ) aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

= (X 2 - X 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

Vektörün kendisini koordinatlardan oluşturmak mümkün olduğundan, koordinatlar vektörün kapsamlı bir tanımını verir. Koordinatları bilmek, hesaplamak kolaydır ve vektör uzunluğu. (Aşağıdaki Özellik 3).

Vektör koordinat özellikleri.

1. herhangi eşit vektörler tek bir koordinat sisteminde eşit koordinatlar.

2. Koordinatlar doğrusal vektörler orantılı. Vektörlerin hiçbirinin sıfıra eşit olmaması şartıyla.

3. Herhangi bir vektörün uzunluğunun karesi, karelerinin toplamına eşittir koordinatlar.

4. operasyon ne zaman vektör çarpmaları Açık gerçek Numara koordinatlarının her biri bu sayı ile çarpılır.

5. Vektör toplama işlemi sırasında karşılık gelenlerin toplamını hesaplıyoruz. vektör koordinatları.

6. skaler çarpım iki vektörün sayısı, ilgili koordinatlarının çarpımlarının toplamına eşittir.

Sonunda kapsamlı ve uzun zamandır beklenen bir konuyu ele aldım. analitik geometri. İlk olarak, yüksek matematiğin bu bölümü hakkında biraz…. Elbette artık çok sayıda teorem, bunların ispatları, çizimleri vb. ile okul geometri kursunu hatırladınız. Ne saklanmalı, öğrencilerin önemli bir kısmı için sevilmeyen ve çoğu zaman anlaşılmaz bir konu. Analitik Geometri, garip bir şekilde, daha ilginç ve erişilebilir görünebilir. "Analitik" sıfatı ne anlama geliyor? Hemen akla iki damgalı matematiksel cümle geliyor: "grafik çözüm yöntemi" ve " analitik metodçözümler". Grafik yöntemi, elbette, grafiklerin, çizimlerin yapımı ile ilişkilidir. Analitik Aynı yöntem problem çözmeyi içerir ağırlıklı olarak cebirsel işlemler aracılığıyla. Bu bağlamda, analitik geometrinin hemen hemen tüm problemlerini çözme algoritması basit ve şeffaftır, genellikle gerekli formülleri doğru bir şekilde uygulamak yeterlidir - ve cevap hazır! Hayır, elbette çizimler olmadan olmaz, ayrıca malzemenin daha iyi anlaşılması için ihtiyaç fazlası onları getirmeye çalışacağım.

Geometri derslerinin açık kursu, teorik bütünlük iddiasında değildir, pratik problemlerin çözümüne odaklanır. Derslerime sadece benim açımdan pratik açıdan önemli olanları dahil edeceğim. Herhangi bir alt bölüm hakkında daha eksiksiz bir referansa ihtiyacınız varsa, aşağıdaki oldukça erişilebilir literatürü tavsiye ederim:

1) Şaka değil, birkaç kuşağın aşina olduğu bir şey: Geometri üzerine okul ders kitabı, yazarlar - LS Atanasyan ve Şirketi. Bu okul soyunma odası askısı, elbette sınır olmayan 20 (!) yeniden düzenlemeye dayandı.

2) 2 ciltte geometri. Yazarlar LS Atanasyan, Bazylev V.T.. Bu, yüksek öğrenim için literatürdür, ihtiyacınız olacak ilk cilt. Nadiren gerçekleşen görevler görüş alanımdan düşebilir ve öğretici paha biçilmez yardım sağlayacaktır.

Her iki kitap da çevrimiçi olarak ücretsiz olarak indirilebilir. Ayrıca arşivim sayfasında bulunan hazır çözümler ile de kullanabilirsiniz. Yüksek matematik örneklerini indirin.

Araçlardan yine kendi gelişimimi sunuyorum - yazılım paketi hayatı büyük ölçüde basitleştirecek ve çok zaman kazandıracak analitik geometri üzerinde.

Okuyucunun temel geometrik kavramlara ve şekillere aşina olduğu varsayılır: nokta, çizgi, düzlem, üçgen, paralelkenar, paralelyüz, küp vb. Bazı teoremleri, en azından Pisagor teoremini, merhaba tekrarlayıcıları hatırlamanız önerilir)

Ve şimdi sırayla ele alacağız: vektör kavramı, vektörlerle eylemler, vektör koordinatları. devamını okumanı tavsiye ederim en önemli makale Vektörlerin iç çarpımı, birlikte Vektör ve vektörlerin karışık ürünü. Yerel görev gereksiz olmayacak - Bu konuda segmentin bölünmesi. Yukarıdaki bilgilere dayanarak şunları yapabilirsiniz: düzlemde düz bir çizginin denklemiİle en basit çözüm örnekleri izin verecek geometri problemlerini nasıl çözeceğinizi öğrenin. Aşağıdaki makaleler de yardımcı olur: Uzayda bir uçağın denklemi, Uzayda düz bir çizginin denklemleri, Doğru ve düzlem ile ilgili temel problemler , analitik geometrinin diğer bölümleri . Doğal olarak, yol boyunca standart görevler dikkate alınacaktır.

Bir vektör kavramı. Ücretsiz vektör

İlk olarak, bir vektörün okul tanımını tekrar edelim. Vektör isminde yönlendirilmiş başlangıcı ve bitişi belirtilen bir segment:

Bu durumda, parçanın başlangıcı noktadır, parçanın sonu noktadır. Vektörün kendisi ile gösterilir. Yön esastır, oku parçanın diğer ucuna göre yeniden düzenlerseniz, bir vektör elde edersiniz ve bu zaten tamamen farklı vektör. Bir vektör kavramını fiziksel bir bedenin hareketiyle özdeşleştirmek uygundur: Bir enstitünün kapısından girmekle bir enstitünün kapısından çıkmak arasında tamamen farklı şeyler olduğunu kabul etmelisiniz.

Bir düzlemin tek tek noktalarını, sözde uzay olarak düşünmek uygundur. sıfır vektör. Böyle bir vektörün sonu ve başlangıcı aynıdır.

!!! Not: Burada ve aşağıda vektörlerin aynı düzlemde olduğunu veya uzayda bulunduğunu varsayabilirsiniz - sunulan malzemenin özü hem düzlem hem de uzay için geçerlidir.

Tanımlar: Birçoğu, atamada ok olmayan bir çubuğa hemen dikkat çekti ve tepeye de bir ok koyduklarını söyledi! Bu doğru, bir okla yazabilirsiniz: , ancak kabul edilebilir ve daha sonra kullanacağım kayıt. Neden? Görünüşe göre, pratik düşüncelerden böyle bir alışkanlık gelişti, okuldaki ve üniversitedeki atıcılarımın çok çeşitli ve tüylü olduğu ortaya çıktı. Eğitim literatüründe, bazen çivi yazısı ile hiç uğraşmazlar, ancak harfleri kalın olarak vurgulayarak: bunun bir vektör olduğunu ima ederler.

Stil buydu ve şimdi vektörleri yazmanın yolları hakkında:

1) Vektörler iki büyük Latin harfi ile yazılabilir:
ve benzeri. İlk harf varken zorunlu olarak vektörün başlangıç ​​noktasını, ikinci harf ise vektörün bitiş noktasını gösterir.

2) Vektörler ayrıca küçük Latin harfleriyle yazılır:
Özellikle, vektörümüz kısa olması için küçük bir Latin harfi ile yeniden adlandırılabilir.

Uzunluk veya modül sıfır olmayan vektöre segmentin uzunluğu denir. Sıfır vektörünün uzunluğu sıfırdır. Mantıken.

Bir vektörün uzunluğu modulo işareti ile gösterilir: ,

Bir vektörün uzunluğunu nasıl bulacağımızı biraz sonra öğreneceğiz (veya kimin için nasıl tekrarlayacağımızı).

Bu, tüm okul çocuklarına tanıdık gelen vektör hakkında temel bilgilerdi. Analitik geometride, sözde Ücretsiz vektör.

Eğer oldukça basitse - vektör herhangi bir noktadan çizilebilir:

Bu tür vektörleri eşit olarak adlandırırdık (eşit vektörlerin tanımı aşağıda verilecektir), ancak tamamen matematiksel bir bakış açısından, bu AYNI VEKTÖR veya Ücretsiz vektör. Neden ücretsiz? Çünkü problem çözme sürecinde, ihtiyacınız olan düzlemin veya uzayın HERHANGİ bir noktasına şu veya bu "okul" vektörünü "bağlayabilirsiniz". Bu çok güzel bir özellik! Rastgele uzunlukta ve yönde yönlendirilmiş bir parça hayal edin - sonsuz sayıda "klonlanabilir" ve uzayın herhangi bir noktasında, aslında HER YERDE mevcuttur. Öyle bir öğrenci atasözü vardır ki: Her hoca f**u vektöründedir. Sonuçta, bu sadece esprili bir kafiye değil, her şey neredeyse doğru - oraya yönlendirilmiş bir bölüm de eklenebilir. Ancak sevinmek için acele etmeyin, öğrencilerin kendileri daha sık acı çeker =)

Bu yüzden, Ücretsiz vektör- Bu bir demet aynı yönlü segmentler. Paragrafın başında verilen bir vektörün okul tanımı: "Yönlendirilmiş bir segmente vektör denir ...", ima eder özel düzlemde veya uzayda belirli bir noktaya bağlı olan belirli bir kümeden alınan yönlendirilmiş bir parça.

Fizik açısından, serbest vektör kavramının genellikle yanlış olduğu ve uygulama noktasının önemli olduğu belirtilmelidir. Aslında, aynı kuvvetin buruna veya alnına doğrudan bir darbe, benim aptal örneğimin farklı sonuçlara yol açması için yeterlidir. Fakat, ücretsiz değil vektörler vyshmat sırasında da bulunur (oraya gitmeyin :)).

Vektörlerle yapılan işlemler. Vektörlerin doğrusallığı

Okul geometri dersinde, vektörlerle ilgili bir dizi eylem ve kural dikkate alınır: üçgen kuralına göre toplama, paralelkenar kuralına göre toplama, vektörlerin farkı kuralı, bir vektörün bir sayı ile çarpılması, vektörlerin skaler çarpımı vb. Bir tohum olarak, özellikle analitik geometri problemlerini çözmekle ilgili iki kuralı tekrarlıyoruz.

Üçgen kuralına göre vektörlerin toplama kuralı

İki rasgele sıfır olmayan vektörü ele alalım ve :

Bu vektörlerin toplamını bulmak gerekir. Tüm vektörler serbest kabul edildiğinden, vektörü erteliyoruz. son vektör:

Vektörlerin toplamı vektördür. Kuralı daha iyi anlamak için, ona fiziksel bir anlam yüklemeniz tavsiye edilir: bazılarının vektör boyunca ve sonra vektör boyunca bir yol yapmasına izin verin. O zaman vektörlerin toplamı, çıkış noktasında başlayan ve varış noktasında biten yolun vektörüdür. Herhangi bir sayıda vektörün toplamı için benzer bir kural formüle edilmiştir. Dedikleri gibi, vücut, ortaya çıkan toplam vektör boyunca güçlü bir şekilde zikzak veya belki de otopilotta gidebilir.

Bu arada, vektör ertelenirse başlangıç vektör, o zaman eşdeğerini elde ederiz paralelkenar kuralı vektörlerin eklenmesi.

İlk olarak, vektörlerin doğrusallığı hakkında. İki vektör denir doğrusal aynı doğru üzerinde mi yoksa paralel doğrular üzerinde mi yatıyorlarsa. Kabaca konuşursak, paralel vektörlerden bahsediyoruz. Ancak onlarla ilgili olarak "eşdoğrusal" sıfatı her zaman kullanılır.

İki doğrusal vektör düşünün. Bu vektörlerin okları aynı yöndeyse, bu vektörler denir. eş yönlü. Oklar farklı yönlere bakıyorsa, vektörler ters yönlü.

Tanımlar: vektörlerin eşdoğrusallığı olağan paralellik simgesiyle yazılır: , detaylandırma mümkündür: (vektörler ortak yönlüdür) veya (vektörler zıt yönlüdür).

iş bir sayı ile sıfır olmayan bir vektörün uzunluğu eşittir bir vektördür ve vektörleri ve vektörleri ortak yönlü ve zıt yönlüdür.

Bir vektörü bir sayı ile çarpma kuralını bir resimle anlamak daha kolaydır:

Daha ayrıntılı olarak anlıyoruz:

1 yön. Çarpan negatifse, vektör yön değiştirir tersine.

2) Uzunluk. Faktör veya içinde yer alıyorsa, vektörün uzunluğu azalır. Yani, vektörün uzunluğu, vektörün uzunluğundan iki kat daha azdır. Modulo çarpanı birden büyükse, vektörün uzunluğu artışlar zamanında.

3) Lütfen unutmayın tüm vektörler eşdoğrusaldır, bir vektör diğeriyle ifade edilirken, örneğin . Tersi de doğrudur: eğer bir vektör diğeri cinsinden ifade edilebiliyorsa, bu tür vektörler zorunlu olarak eşdoğrusaldır. Böylece: bir vektörü bir sayı ile çarparsak eşdoğrusal elde ederiz(orijinaline göre) vektör.

4) Vektörler eş yönlüdür. ve vektörleri de eş yönlüdür. Birinci grubun herhangi bir vektörü, ikinci grubun herhangi bir vektörünün karşısındadır.

Hangi vektörler eşittir?

Eş yönlü ve aynı uzunluğa sahip iki vektör eşittir. Ortak yönün, vektörlerin eşdoğrusal olduğunu ima ettiğine dikkat edin. "İki vektör eşdoğrusalsa, eş-yönlüyse ve aynı uzunluğa sahipse eşittir" derseniz tanım yanlış (gereksiz) olacaktır.

Serbest vektör kavramı açısından bakıldığında, eşit vektörler, önceki paragrafta tartışılan aynı vektördür.

Uçakta ve uzayda vektör koordinatları

İlk nokta, vektörleri bir düzlem üzerinde ele almaktır. Bir Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi çizin ve orijinden ayırın Bekar vektörler ve:

Vektörler ve dikey. Ortogonal = Dikey. Terimlere yavaş yavaş alışmanızı tavsiye ederim: paralellik ve diklik yerine sırasıyla kelimeleri kullanıyoruz eşdoğrusallık Ve dikeylik.

tanım: vektörlerin ortogonalliği normal dikey işaretiyle yazılır, örneğin: .

Ele alınan vektörler denir koordinat vektörleri veya ortlar. Bu vektörler temel yüzeyde. Temelin ne olduğunu düşünüyorum, birçok kişi için sezgisel olarak açık, daha ayrıntılı bilgiler makalede bulunabilir. Vektörlerin doğrusal (olmayan) bağımlılığı. Vektör temeli.Basit bir deyişle, koordinatların temeli ve orijini tüm sistemi tanımlar - bu, tam ve zengin bir geometrik yaşamın kaynadığı bir tür temeldir.

Bazen inşa edilen temel denir ortonormal düzlemin temeli: "orto" - koordinat vektörleri ortogonal olduğundan, "normalleştirilmiş" sıfatı birim anlamına gelir, yani temel vektörlerin uzunlukları bire eşittir.

tanım: temel genellikle parantez içinde yazılır ve içinde kesin sırayla temel vektörler listelenir, örneğin: . Koordinat vektörleri yasaktır yer değiştir.

Herhangi uçak vektörü tek yol olarak ifade edilen:
, Nerede - sayılar, denilen vektör koordinatları bu temelde. Ama ifadenin kendisi isminde vektör ayrışımıtemel .

Akşam yemeği servisi:

Alfabenin ilk harfiyle başlayalım: . Çizim, vektörü temel açısından ayrıştırırken, az önce ele alınanların kullanıldığını açıkça göstermektedir:
1) bir vektörün bir sayı ile çarpılması kuralı: ve ;
2) vektörlerin üçgen kuralına göre toplanması: .

Şimdi vektörü zihinsel olarak düzlemdeki herhangi bir noktadan ayırın. Yolsuzluğunun "amansızca onu takip edeceği" oldukça açık. İşte vektörün özgürlüğü - vektör "her şeyi yanınızda taşır." Bu özellik, elbette, herhangi bir vektör için geçerlidir. Temel (ücretsiz) vektörlerin kendilerinin orijinden ayrılması gerekmemesi komik, örneğin biri sol altta, diğeri sağ üstte çizilebilir ve bundan hiçbir şey değişmeyecek! Doğru, bunu yapmanıza gerek yok çünkü öğretmen de özgünlük gösterecek ve beklenmedik bir yerde size bir "geçiş" çekecek.

Vektörler, bir vektörü bir sayı ile çarpma kuralını tam olarak gösterir, vektör temel vektörle birlikte yönlendirilir, vektör temel vektörün tersi yöndedir. Bu vektörler için koordinatlardan biri sıfıra eşittir, aşağıdaki gibi titizlikle yazılabilir:


Ve bu arada, temel vektörler şöyledir: (aslında kendileri aracılığıyla ifade edilirler).

Ve sonunda: , . Bu arada vektör çıkarma nedir ve çıkarma kuralından neden bahsetmedim? Doğrusal cebirde bir yerde, nerede olduğunu hatırlamıyorum, çıkarmanın toplamanın özel bir durumu olduğuna dikkat çektim. Dolayısıyla, "de" ve "e" vektörlerinin açılımları sakin bir şekilde bir toplam olarak yazılır: . Üçgen kuralına göre vektörlerin eski güzel toplamasının bu durumlarda ne kadar işe yaradığını görmek için çizimi takip edin.

Formun dikkate alınan ayrışması bazen vektör ayrıştırması olarak adlandırılır sistem ort(yani birim vektörler sisteminde). Ancak bir vektör yazmanın tek yolu bu değildir, aşağıdaki seçenek yaygındır:

Veya eşittir işaretiyle:

Temel vektörlerin kendileri aşağıdaki gibi yazılır: ve

Yani vektörün koordinatları parantez içinde belirtilmiştir. Pratik görevlerde, üç kayıt seçeneği de kullanılır.

Konuşup konuşmayacağımdan şüphelendim ama yine de şunu söyleyeceğim: vektör koordinatları yeniden düzenlenemez. Kesinlikle ilk sırada birim vektöre karşılık gelen koordinatı yazınız, kesinlikle ikinci sırada birim vektöre karşılık gelen koordinatı yazınız. Gerçekten de ve iki farklı vektördür.

Uçakta koordinatları bulduk. Şimdi vektörleri üç boyutlu uzayda düşünün, burada her şey neredeyse aynı! Sadece bir koordinat daha eklenecektir. Üç boyutlu çizimler yapmak zordur, bu yüzden kendimi basit olması için başlangıç ​​noktasından erteleyeceğim tek bir vektörle sınırlayacağım:

Herhangi 3 boyutlu uzay vektörü tek yol ortonormal bir temelde genişletin:
, verilen temelde vektörün (sayı) koordinatları nerede.

Resimden örnek: . Vektör eylem kurallarının burada nasıl çalıştığını görelim. İlk olarak, bir vektörü bir sayı ile çarpmak: (kırmızı ok), ( Yeşil ok) ve (macenta ok). İkinci olarak, burada birkaç, bu durumda üç vektör ekleme örneği verilmiştir: . Toplam vektör, başlangıç ​​noktasında (vektörün başlangıcı) başlar ve son varış noktasında (vektörün sonu) sona erer.

Elbette üç boyutlu uzayın tüm vektörleri de ücretsizdir, vektörü zihinsel olarak başka herhangi bir noktadan ertelemeye çalışın ve genişlemesinin "onda kaldığını" anlayacaksınız.

Uçak kasasına benzer şekilde, yazıya ek olarak parantezli sürümler yaygın olarak kullanılmaktadır: ya .

Genişletmede bir (veya iki) koordinat vektörü eksikse, bunun yerine sıfırlar konur. Örnekler:
vektör (titizlikle ) – not edin;
vektör (titizlikle ) – not edin;
vektör (titizlikle ) – yazın.

Temel vektörler aşağıdaki gibi yazılır:

Burada, belki de, analitik geometri problemlerini çözmek için gerekli olan tüm minimum teorik bilgidir. Belki de çok fazla terim ve tanım var, bu yüzden aptallara bu bilgiyi tekrar okumalarını ve anlamalarını tavsiye ediyorum. Ve herhangi bir okuyucunun, materyalin daha iyi özümsenmesi için zaman zaman temel derse başvurması yararlı olacaktır. Doğrusallık, ortogonallik, ortonormal taban, vektör ayrışımı - bunlar ve diğer kavramlar aşağıda sıklıkla kullanılacaktır. Tüm teoremleri (kanıtlar olmadan) dikkatlice kodladığım için, sitenin materyallerinin teorik bir testi, geometri üzerine bir kolokyumu geçmek için yeterli olmadığını not ediyorum - bilimsel sunum tarzının zararına, ancak anlayışınız için bir artı konunun Detaylı teorik bilgi için Profesör Atanasyan'ın önünde eğilmenizi rica ediyorum.

Şimdi pratik kısma geçelim:

Analitik geometrinin en basit problemleri.
Koordinatlarda vektör içeren eylemler

Dikkate alınacak görevler, bunların tamamen otomatik olarak nasıl çözüleceğini ve formüllerin nasıl çözüleceğini öğrenmek son derece arzu edilir. ezberlemek, kasten hatırlamasanız bile, kendileri hatırlayacaklar =) Bu çok önemlidir, çünkü analitik geometrinin diğer problemleri en basit temel örneklere dayanmaktadır ve piyon yemek için fazladan zaman harcamak can sıkıcı olacaktır. Gömleğinizin üst düğmelerini iliklemenize gerek yok, birçok şey size okuldan tanıdık geliyor.

Malzemenin sunumu, hem uçak hem de uzay için paralel bir seyir izleyecektir. Tüm formüllerin nedeni ... kendiniz göreceksiniz.

İki nokta verilen bir vektör nasıl bulunur?

Düzlemin iki noktası ve verilirse, vektör aşağıdaki koordinatlara sahiptir:

Uzayda iki nokta ve verilirse, vektör aşağıdaki koordinatlara sahiptir:

Yani, vektörün sonunun koordinatlarından karşılık gelen koordinatları çıkarmanız gerekir vektör başlangıcı.

Egzersiz yapmak: Aynı noktalar için vektörün koordinatlarını bulmak için formülleri yazın. Dersin sonunda formüller.

örnek 1

Düzlemde verilen iki nokta ve . Vektör koordinatlarını bulun

Çözüm: ilgili formüle göre:

Alternatif olarak, aşağıdaki notasyon kullanılabilir:

Estetikler şöyle karar verecek:

Şahsen ben plağın ilk versiyonuna alışkınım.

Cevap:

Koşula göre, bir çizim yapmak gerekli değildi (bu, analitik geometri problemlerinin tipik bir örneğidir), ancak aptallara bazı noktaları açıklamak için çok tembel olmayacağım:

Anlaşılmalı nokta koordinatları ile vektör koordinatları arasındaki fark:

nokta koordinatları dikdörtgen bir koordinat sistemindeki olağan koordinatlardır. 5-6. sınıftan itibaren herkes koordinat düzleminde nokta çizmeyi biliyor sanırım. Her noktanın düzlemde kesin bir yeri vardır ve hiçbir yere taşınamazlar.

Aynı vektörün koordinatları bu durumda tabana göre açılımıdır. Herhangi bir vektör ücretsizdir, bu nedenle istenirse veya gerekliyse onu düzlemde başka bir noktadan kolayca erteleyebiliriz. İlginç bir şekilde, vektörler için eksenleri, dikdörtgen bir koordinat sistemini hiç oluşturamazsınız, yalnızca bir tabana ihtiyacınız vardır, bu durumda düzlemin ortonormal bir temeli.

Nokta koordinatları ve vektör koordinatlarının kayıtları benzer görünmektedir: , ve koordinat duygusu kesinlikle farklı, ve bu farkın farkında olmalısınız. Bu fark elbette uzay için de geçerli.

Bayanlar ve baylar, ellerimizi dolduruyoruz:

Örnek 2

a) Verilen puanlar ve . Vektörleri bulun ve .
b) Puan verilir Ve . Vektörleri bulun ve .
c) Verilen puanlar ve . Vektörleri bulun ve .
d) Puan verilir. Vektörleri Bul .

Belki de yeter. Bunlar bağımsız bir karar için örneklerdir, onları ihmal etmemeye çalışın, karşılığını alacaktır ;-). Çizimler gerekli değildir. Çözümler ve cevaplar dersin sonunda.

Analitik geometri problemlerini çözmede önemli olan nedir? Ustalıkla “iki artı iki eşittir sıfır” hatasından kaçınmak için SON DERECE DİKKATLİ olmak önemlidir. Bir hatam olduysa şimdiden özür dilerim =)

Bir segmentin uzunluğu nasıl bulunur?

Daha önce belirtildiği gibi uzunluk, modül işaretiyle gösterilir.

Düzlemin iki noktası ve verilirse, parçanın uzunluğu formülle hesaplanabilir.

Uzayda iki nokta ve verilirse, segmentin uzunluğu formülle hesaplanabilir.

Not: Karşılık gelen koordinatlar değiştirilirse formüller doğru kalacaktır: ve , ancak ilk seçenek daha standarttır

Örnek 3

Çözüm: ilgili formüle göre:

Cevap:

Netlik için bir çizim yapacağım

Çizgi segmenti - bu bir vektör değil ve elbette hiçbir yere taşıyamazsınız. Ayrıca, çizimi ölçeklendirecek şekilde tamamlarsanız: 1 birim. \u003d 1 cm (iki tetrad hücre), ardından cevap, segmentin uzunluğu doğrudan ölçülerek normal bir cetvelle kontrol edilebilir.

Evet, çözüm kısa ama birkaç tane daha var. önemli noktalar Netleştirmek istiyorum:

İlk olarak, cevapta boyutu belirledik: "birimler". Durum NE olduğunu söylemez, milimetre, santimetre, metre veya kilometre. Bu nedenle, genel formülasyon matematiksel olarak yetkin bir çözüm olacaktır: "birimler" - "birimler" olarak kısaltılır.

İkinci olarak, yalnızca ele alınan sorun için yararlı olmayan okul materyalini tekrarlayalım:

dikkat et önemli teknik numara – çarpanı kökün altından çıkarmak. Hesaplamalar sonucunda sonucu elde ettik ve iyi bir matematiksel stil, çarpanı (mümkünse) kökün altından çıkarmayı içerir. İşlem daha ayrıntılı olarak şöyle görünür: . Elbette, cevabı formda bırakmak bir hata olmayacaktır - ancak bu kesinlikle bir kusurdur ve öğretmen açısından nitelemek için ağır bir argümandır.

İşte diğer yaygın durumlar:

Çoğu zaman, örneğin kök altında yeterince büyük bir sayı elde edilir. Bu gibi durumlarda nasıl olunur? Hesap makinesinde, sayının 4: ile bölünebilir olup olmadığını kontrol ederiz. Evet, tamamen bölün, böylece: . Ya da belki sayı tekrar 4'e bölünebilir? . Böylece: . Sayının son basamağı tek olduğundan üçüncü kez 4'e bölmek kesinlikle mümkün değildir. Dokuza bölmeye çalışmak: . Sonuç olarak:
Hazır.

Çözüm: kökün altında tamamen çıkarılamaz bir sayı alırsak, o zaman faktörü kökün altından çıkarmaya çalışırız - hesap makinesinde sayının bölünebilir olup olmadığını kontrol ederiz: 4, 9, 16, 25, 36, 49, vesaire.

Çeşitli problemleri çözme sürecinde genellikle kökler bulunur, daha düşük bir puandan ve çözümlerinizi öğretmenin görüşüne göre sonlandırarak gereksiz sıkıntılardan kaçınmak için her zaman faktörleri kökün altından çıkarmaya çalışın.

Köklerin ve diğer kuvvetlerin karesini aynı anda tekrar edelim:

Genel biçimde dereceli eylemler için kurallar, cebir üzerine bir okul ders kitabında bulunabilir, ancak verilen örneklerden her şeyin veya hemen hemen her şeyin zaten açık olduğunu düşünüyorum.

Uzayda bir segment ile bağımsız bir çözüm için görev:

Örnek 4

Verilen puanlar ve . Segmentin uzunluğunu bulun.

Çözüm ve cevap dersin sonunda.

Bir vektörün uzunluğu nasıl bulunur?

Bir düzlem vektörü verilirse, uzunluğu formülle hesaplanır.

Bir uzay vektörü verilirse, uzunluğu formülle hesaplanır. .

Analitik Geometri

		Hafta	Puan olarak modül için not
		modül kontrolü
			Maksimum		Asgari
1. Dönem
DZ №1, bölüm 1
DZ №1, bölüm 2
Modulo kontrolü No. 1
Ödül Puanları
Modulo kontrol No. 2
Ödül Puanları

Kontrol faaliyetleri ve uygulamalarının zamanlaması Modül 1

1. DZ No. 1 bölüm 1 "Vektör Cebri" Yayın son tarihi 2 hafta, son tarih - 7 hafta

2. DZ No. 1 bölüm 2 "Çizgiler ve düzlemler"

Teslim süresi 1 hafta, teslim süresi - 9 hafta

3. Modulo kontrol No. 1 (RK No. 1) "Vektör cebiri, doğrular ve düzlemler." Son tarih - 10 hafta

1. DZ No. 2 "Eğriler ve yüzeyler 2. sipariş "Verilme süresi 6 hafta, teslim süresi - 13 hafta

5. Test "Eğriler ve yüzeyler 2. sıra. Son tarih - 14 hafta

6. Modulo kontrolü No. 2 (RK No. 2) "Doğrusal cebirsel denklemlerin matrisleri ve sistemleri"

Son tarih - 16 hafta

Mevcut kontrol seçeneklerinin oluşturulmasında kullanılan tipik görevler

1. Ödev numarası 1. "Vektör Cebri ve Analitik Geometri"

Verilen: noktalar A (0;3;2) , B (1;4;2) , D (0;1;2) ,			A(1;2;0) ; sayılar bir 30 ,				b1; köşe
1. Vektörün uzunluğunu bulun |		n | , Eğer			p su,	n bp q	ve p, q birimdir

vektörler, aralarındaki açı eşittir.

2. AB vektörünü a :1'e göre bölen M noktasının koordinatlarını bulun.

3. Vektörlerde mümkün olup olmadığını kontrol edin AB ve AD bir paralelkenar oluşturur. Cevabınız evet ise paralelkenarın kenar uzunluklarını bulunuz.

4. ABCD paralelkenarının köşegenleri arasındaki açıları bulun.

5. ABCD paralelkenarının alanını bulun.

6. vektörlerden emin olun AB , AD , AA 1 paralelyüz oluşturabilirsiniz. Bu paralelyüzün hacmini ve yüksekliğinin uzunluğunu bulun.

7. Vektör koordinatlarını bulun AH , paralel yüzlü ABCDA 1 B 1 C 1 D 1'in yüksekliği boyunca yönlendirilmiş , A noktasından taban düzlemi A 1 B 1 C 1 D 1'e çizilmiş ,

H noktasının koordinatları ve AH vektörü yönünde çakışan birim vektörün koordinatları.

8. Vektörün ayrışmasını bulun AB , AD , AA 1 vektörlerine göre AH .

9. Bir vektörün izdüşümünü bulun AH'den AA 1 vektörüne.

10. Düzlemlerin denklemlerini yazınız: a) A, B, D noktalarından geçen P;

b) A noktasından ve A1 B1 hattından geçen P1;

c) P düzlemine paralel A1 noktasından geçen P2; d) AD ve AA1 satırlarını içeren P3;

e) P4, P düzlemine dik A ve C1 noktalarından geçiyor.

11. AB ve CC kenarlarının bulunduğu doğrular arasındaki uzaklığı bulunuz. 1; Ortak diklerin kanonik ve parametrik denklemlerini yazar.

12. Taban düzlemine göre A1 noktasına simetrik olan A2 noktasını bulun.

13. A köşegeninin bulunduğu çizgi arasındaki açıyı bulun 1 C ve taban düzlemi ABCD.

14. ABC düzlemleri arasındaki dar açıyı bulun 1 D (P düzlemi) ve ABB1 A1 (P1 düzlemi).

2. Ev ödevi #2. "İkinci dereceden eğriler ve yüzeyler"

Problem 1-2'de, ikinci dereceden doğrunun verilen denklemi kanonik forma indirgenir ve eğri OXY koordinat sisteminde oluşturulur.

İÇİNDE görev 3, verilen verileri kullanarak, OXY koordinat sisteminde eğrinin denklemini bulun. görevler için 1–3 şunu belirtir:

1) çizgi denkleminin kanonik formu;

2) kanonik forma götüren paralel transfer dönüşümü;

3) bir elips durumunda: yarı eksenler, eksantriklik, merkez, köşeler, odaklar, C noktasından odaklara olan mesafeler; bir hiperbol durumunda: yarı eksenler, eksantriklik, merkez, köşeler, odaklar, C noktasından odaklara olan mesafeler, asimptot denklemleri; bir parabol durumunda: parametre, tepe noktası, odak, doğrultman denklemi, C noktasından odak noktasına olan mesafeler ve doğrultman;

4) C noktası için, verilen eğri tipini noktaların yeri olarak karakterize eden özelliği kontrol edin.

İÇİNDE 4. problemde, verilen yüzey denklemini kanonik forma, yüzey denkleminin kanonik formuna ve yüzey tipine indirgeyen paralel öteleme dönüşümünü gösteriniz. OXYZ kanonik koordinat sisteminde bir yüzey oluşturun.

	5x 2 y 2 20x 2y 4 , C (0;1				2) 5x 2 4y 2 20x 8y 64 , C (12;14) .
		5) ;
	Parabol y 1 0 düz çizgisine göre simetriktir, bir odağı vardır							; 1 ,
	OX eksenini C noktasında keser				; 0 ve dalları yarım düzlemde yer alır	x 0 .
	4y 2 z 2 8y 4z 1 0 .

Modulo kontrol No. 1 “Vektör cebiri. Analitik Geometri"

1. Vektörlerin sağ ve sol üçlüleri. Tanım vektör ürünü vektörler. Vektörlerin vektör çarpımının özelliklerini formüle edin. Ortonormal bir temelde koordinatları tarafından verilen iki vektörün çapraz çarpımını hesaplamak için bir formül türetin.

vektörler

bir dakika,

m n ,

1, m, n

Belki,

vektör ayrışımı

c 3 ben

12j6k

vektörler

3 j 2 k ve b 2 ben 3 j 4 k .

Uçak için bir denklem yazın

noktalardan geçen M 1 5, 1, 4 ,

M 2 2, 3.1 ve

düzleme dik

6x 5y 4z 1 0. Kanonik denklemleri kurun

M 0 0, 2,1 noktasından geçen ve bulunan düzleme ortogonal bir düz çizgi.

"İkinci dereceden eğriler ve yüzeyler" testi

1. Noktaların yeri olarak bir elipsin tanımı. Dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminde bir elipsin kanonik denkleminin türetilmesi. Eğrinin ana parametreleri.

2. Yüzey denklemi x 2 4y 2 z 2 8x 4y 6z 17 0 kurala götürür

akıl. Kanonik koordinat sisteminde bir çizim yapın. Bu yüzeyin adını belirtin.

3. O 1 1, 1 merkezi ve F 1 3, 1 odaklarından biri biliniyorsa, eş eksenli bir hiperbol için bir denklem yazın. Çizim yapmak.

Modulo kontrol No. 2 “İkinci dereceden eğriler ve yüzeyler. Lineer cebirsel denklemlerin matrisleri ve sistemleri»

1. Homojen lineer cebirsel denklem sistemleri (SLAE). Homojen bir SLAE yazma biçimleri. Bir Homojen SLAE'nin Sıfır Olmayan Çözümlerinin Varlığına İlişkin Bir Kriterin Kanıtı.

2. AX B matris denklemini çözün,

Kontrol et.

3. a) SLAE'yi çözün. b) Karşılık gelen homojen sistemin normal bir temel çözüm sistemini, homojen olmayan sistemin özel bir çözümünü bulun; bu homojen olmayan sistemin genel çözümünü yazınız:

x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 4 x 2 x 3 x 4 3

x1 3x2 3x4 1

7x2 3x3x4 3

Modüllere göre kontrollere hazırlanmak için sorular, kontrol işi, kredi ve sınav

1. Geometrik vektörler. Ücretsiz vektörler. Doğrusal ve eş düzlemli vektörlerin tanımı. Vektörler üzerinde doğrusal işlemler ve özellikleri.

2. Vektörlerin lineer bağımlılığı ve lineer bağımsızlığının tanımı. Doğrusal bağımlılık koşullarının kanıtı 2 ve 3 vektörler.

3. Vektör uzaylarında bir bazın tanımı V1, V2, V3. Bir vektörün taban cinsinden açılımının varlığı ve tekliği hakkındaki teoremin ispatı. Temelde koordinatları verilen vektörler üzerinde doğrusal işlemler.

4. Vektörlerin skaler çarpımının tanımı, bir vektörün bir eksene ortogonal izdüşümü ile bağlantısı. Skaler çarpımın özellikleri, ispatları. Ortonormal bazda vektörlerin skaler çarpımını hesaplamak için formülün türetilmesi.

5. Ortonormal bazın tanımı. Ortonormal bazda bir vektörün koordinatları ile bu baz vektörleri üzerindeki ortogonal izdüşümleri arasındaki ilişki. Bir vektörün uzunluğunu, yön kosinüslerini, ortonormal temelde iki vektör arasındaki açıyı hesaplamak için formüllerin türetilmesi.

6. Vektörlerin sağ ve sol üçlüleri. Vektörlerin çapraz çarpımının tanımı, mekanik ve geometrik anlamı. Çapraz ürün özellikleri (olmadan doktor-va). Ortonormal bazda çapraz çarpımı hesaplamak için formülün türetilmesi.

7. Vektörlerin karışık çarpımının tanımı. Eş düzlemli olmayan vektörler üzerine inşa edilmiş paralelyüzün hacmi ve piramidin hacmi. Üç vektör için benzerlik koşulu. Karışık bir ürünün özellikleri. Ortonormal bazda karışık ürünü hesaplamak için formülün türetilmesi.

8. Dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminin tanımı. Analitik geometrinin en basit problemlerinin çözümü.

9. Bir düzlemde düz bir çizginin çeşitli denklem türleri: vektör, parametrik, kanonik. Yön vektörü düzdür.

10. Verilen iki noktadan geçen doğrunun denkleminin türetilmesi.

11. Bir düzlem üzerinde dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sisteminde, birinci dereceden bir denklemin düz bir çizgiyi tanımladığının teoreminin kanıtı. Düz bir çizginin normal vektörünün tanımı.

12. ile denklem eğim faktörü, "parçalar halinde" düz bir çizginin denklemi. geometrik anlam denklemlerde yer alan parametreler. İki çizgi arasındaki açı. Genel veya kanonik denklemlerle verilen iki doğrunun paralellik ve diklik koşulları.

13. Düzlemde bir noktadan bir doğruya olan uzaklık formülünün türetilmesi.

14. Uzayda dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sisteminde, birinci dereceden bir denklemin bir düzlemi tanımladığı teoreminin kanıtı. Uçağın genel denklemi. Düzlemin normal vektörünün tanımı. Verilen üç noktadan geçen bir düzlemin denkleminin türetilmesi. Düzlemin “parçalar halinde” denklemi.

15. Düzlemler arasındaki açı. İki düzlemin paralellik ve diklik koşulları.

16. Bir noktadan bir düzleme olan uzaklık formülünün türetilmesi.

17. Uzayda düz bir çizginin genel denklemleri. Uzayda bir doğrunun vektörel, kanonik ve parametrik denklemlerinin türetilmesi.

18. Uzayda iki düz çizgi arasındaki açı, iki doğrunun paralellik ve diklik koşulları. İki doğrunun aynı düzleme ait olma koşulları.

19. Doğru ile düzlem arasındaki açı, doğru ile düzlemin paralellik ve diklik koşulları. Belirli bir düzlemin düz bir çizgisine ait olma durumu.

20. Kesişen veya paralel çizgiler arasındaki mesafeyi bulma sorunu.

21. Noktaların yeri olarak bir elipsin tanımı. Elips kanonik denkleminin türetilmesi.

22. Noktaların yeri olarak bir hiperbolün tanımı. Bir hiperbolün kanonik denkleminin türetilmesi.

23. Noktaların yeri olarak bir parabolün tanımı. Kanonik parabol denkleminin türetilmesi.

24. Silindirik bir yüzeyin tanımı. Silindirik yüzeylerin kanonik denklemleri 2. sıra.

25. Devrim yüzeyi kavramı. Bir elipsin, hiperbolün ve parabolün dönmesiyle oluşan yüzeylerin kanonik denklemleri.

26. Elipsoid ve koninin kanonik denklemleri. Bu yüzeylerin şeklinin kesit yöntemiyle incelenmesi.

27. Hiperboloidlerin kanonik denklemleri. Kesitler yöntemiyle hiperboloitlerin şeklinin incelenmesi.

28. Paraboloitlerin kanonik denklemleri. Kesitler yöntemiyle paraboloitlerin şeklinin incelenmesi.

29. Matris kavramı. Matris türleri. Matris eşitliği. Matrisler ve özellikleri üzerinde doğrusal işlemler. Matris aktarımı.

30. Matris çarpımı. Matris çarpma işleminin özellikleri.

31. Ters matrisin tanımı. Ters matrisin benzersizliğinin kanıtı. İki tersinebilir matrisin çarpımı için ters matris teoreminin kanıtı.

32. Ters bir matrisin varlığı için kriter. İlişkili matris kavramı, ters matris ile bağlantısı.

33. Dejenere olmayan bir kare matris ile bir doğrusal denklem sistemini çözmek için Cramer formüllerinin türetilmesi.

34. Bir matrisin satırlarının (sütunlarının) doğrusal bağımlılığı ve doğrusal bağımsızlığı. Satırların (sütunların) doğrusal bağımlılığı kriterinin kanıtı.

35. Bir matris minörün tanımı. Temel minör. Temel minör teorem (doqua olmadan). Kare matrisler için sonucunun kanıtı.

36. Bir matrisin rankını bulmak için saçak minör yöntemi.

37. Bir matrisin satırlarının (sütunlarının) temel dönüşümleri. Temel dönüşümler yöntemiyle ters matrisi bulma.

38. Temel dönüşümler altında matris sıra değişmezliği teoremi. Temel dönüşümler yöntemiyle bir matrisin sırasını bulma.

39. Doğrusal cebirsel denklem sistemleri (SLAE). SLAE yazmanın çeşitli biçimleri. Müşterek ve müşterek olmayan SLAE. SLAE uyumluluğunun Kronecker-Kapeli kriterinin kanıtı.

40. Doğrusal cebirsel denklemlerin (SLAE) homojen sistemleri. Çözümlerinin özellikleri.

41. Homojen bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin (SLAE) temel çözüm sisteminin (FSR) tanımı. Homojen bir SLAE'nin genel çözümünün yapısına ilişkin teorem. FSR'nin inşası.

42. Lineer cebirsel denklemlerin (SLAE) homojen olmayan sistemleri. Homojen olmayan bir SLAE'nin genel çözümünün yapısı hakkındaki teoremin kanıtı.

Kontrol olayı	görev sayısı	Görev için puanlar
DZ №1, bölüm 1
kazanılan puanlar
Kontrol olayı	görev sayısı	Görev için puanlar
DZ №1, bölüm 2
kazanılan puanlar

Kontrol olayı				görev sayısı			Görev için puanlar
Modulo kontrolü No. 1				1 teori ve 3 problem			teori - 0; 3; 6
							görevler - 0; 1; 2
			kazanılan puanlar
Kontrol olayı				görev sayısı			Görev için puanlar
	kazanılan puanlar
Kontrol olayı				görev sayısı			Görev için puanlar
				1 teori ve 3 problem			teori - 0; 3; 6
							görevler - 0; 1; 2
			kazanılan puanlar
						01 teori ve 3 problem			teori - 0; 3; 6
		görevler - 0; 1; 2
			kazanılan puanlar

Dergi puanlama kuralları

1. DZ için puanlar. DZ puanları, ilgili tabloya göre vade tarihinden sonraki hafta belirlenir. Öğrenci, bireysel ödevleri son teslim tarihinden önce doğrulama için gönderme ve gerekli tavsiyeyi alırken öğretmen tarafından not edilen hataları düzeltme hakkına sahiptir. DZ'yi teslim etmek için son tarihe kadar öğrenci sorunun çözümünü doğru seçeneğe getirirse, bu görev için kendisine maksimum puan verilir. DZ'yi teslim etmek için son teslim tarihinden sonra, DZ için minimum puanı almayan bir öğrenci ödev üzerinde çalışmaya devam edebilir. Aynı zamanda başarılı çalışması durumunda öğrenciye DZ için minimum puan verilir.

2. CR için puanlar. Bir öğrenci CR için minimum puana zamanında ulaşmazsa, o zaman dönem boyunca bu çalışmayı iki kez yeniden yazabilir. -de olumlu bir sonuç(belirlenen minimumdan daha az olmayan bir dizi puan) öğrenciye KR için minimum puan verilir.

3. "Modulo kontrolü" için puan.“Modulo kontrol” olarak teorik ve pratik kısımlardan oluşan yazılı bir çalışma önerilmiştir. Kontrol modülünün her bölümü ayrı ayrı değerlendirilir. Kontrol bölümlerinden birinden en düşük notu almayan öğrenci, bu bölümü geçmiş sayılır ve gelecekte uygulamadan muaf tutulur. Öğretmenin takdirine bağlı olarak, ödevin teorik kısmında bir görüşme yapılabilir. Bir öğrenci çalışmanın her bölümü için minimum puanı alamazsa, durumu düzeltmek için dönem boyunca her bölüm için iki deneme hakkı vardır. pozitif ile

Sonuç olarak (belirlenen minimum puandan daha az olmayan bir dizi puan), öğrenciye "modül kontrolü" için minimum puan verilir.

4. Modül başına not.Öğrenci, modülün mevcut tüm kontrol aktivitelerini tamamladıysa (en azından belirlenen minimum puanı aldıysa),

o zaman modülün değerlendirmesi, modülün tüm kontrol faaliyetleri için puanların toplamıdır (bu durumda, öğrenci otomatik olarak en azından minimum eşiği puanlar). Modül için son puanlar, tüm kontrol faaliyetleri tamamlandıktan sonra günlüğe girilir.

5. Toplam puan. İki modül için puanların toplamı.

6. Değerlendirme. Nihai sertifika (sınav, farklılaştırılmış test, test), öğrencinin planlanan çalışma miktarını tamamladıktan ve her modül için belirlenen minimum değerden daha düşük olmayan bir değerlendirme aldıktan sonraki yarıyıldaki çalışma sonuçlarına göre gerçekleştirilir. Çalışkanlık puanları da dahil olmak üzere tüm modüller için maksimum puan 100, minimum puan 60'tır. Tüm modüller için alınan puanların toplamı, disiplinin yarıyıl için bir derecelendirme puanını oluşturur. Tüm kontrol önlemlerini geçen bir öğrenci, ölçeğe göre yarıyıl disiplininde bir final notu alır:

		Sınav notu,	Denkleştirme değerlendirmesi
		farklılaştırılmış sıralamalar
		tatmin edici biçimde
		yetersiz

Puanınızı ve dolayısıyla final sınavındaki sınav notunu artırabilirsiniz (bir bütün olarak disiplinin materyali üzerinde yazılı çalışma sınav oturumunda yapılır), maksimum puan 30, minimum -16'dır. Bu puanlar, disiplindeki tüm modüller için elde edilen puanlarla toplanır. Aynı zamanda öğrencinin sınav notunu “iyi”ye yükseltebilmesi için en az 21 puan, “mükemmel” ─ en az 26 puan alması gerekir. Disiplin gereği kredi sağlanan uzmanlıklar için not yükseltilmez. Sınav oturumunun başlangıcında 0-59 arasında bir derecelendirmeye sahip olan öğrenciler, ayrı modüllerde daha önce kredilendirilmemiş kontrol etkinliklerini tekrar alarak, disiplinde olumlu bir not almak için gerekli minimum puanı kazanırlar. Aynı zamanda, geçerli bir nedeni olmayan öğrenciler sonunda (sınav oturumunun sonunda) “yeterli” den yüksek olmayan bir not alabilirler.