Bu sayfada bir şeyler okudum (http://gamedeveloperjourney.blogspot.com/2009/04/point-plane-collision-detection.html)

D = - D3DXVec3Dot(&vP1, &vNormal);

vP1 düzlem üzerinde bir noktadır ve vNormal düzlemin normalidir. Sonuç her zaman 0 olacağından, bunun size dünyanın başlangıcından olan mesafeyi nasıl verdiğini merak ediyorum. Ayrıca, açık olmak gerekirse (düzlem denkleminin D kısmı konusunda hala biraz belirsiz olduğum için), Düzlem denkleminde d, düzlemin başlangıcından önce dünyanın başlangıcına kadar olan çizgiden olan mesafedir?

matematik

3 Yanıt

6

Genel olarak p noktası ile düzlem arasındaki mesafe aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

Nerede noktalı ürün operasyonu

= ax*bx + ay*by + az*bz

ve burada p0 düzlem üzerinde bir noktadır.

Eğer n birim uzunluğa sahipse, o zaman vektör ile arasındaki iç çarpım, vektörün Normal'e izdüşümünün (işaretli) uzunluğudur.

Bildirdiğiniz formül yalnızca p noktasının başlangıç ​​noktası olduğu özel bir durumdur. Bu durumda

Mesafe = = -

Bu eşitlik biçimsel olarak yanlıştır çünkü nokta çarpım noktalarla değil vektörlerle ilgilidir... ama yine de sayısal olarak geçerlidir. Açık bir formül yazarak bunu elde edersiniz

(0 - p0.x)*n.x + (0 - p0.y)*n.y + (0 - p0.z)*n.z

bu aynı

- (p0.x*n.x + p0.y*n.y + p0.z*n.z)

2

Sonuç her zaman sıfır değildir. Sonuç yalnızca düzlemin orijinden geçmesi durumunda sıfır olacaktır. (Burada uçağın orijinden geçmediğini varsayalım.)

Temel olarak, size başlangıç ​​noktasından düzlemdeki bir noktaya kadar bir çizgi verilir. (Yani başlangıç ​​noktasından vP1'e kadar bir vektörünüz var). Bu vektörle ilgili sorun, büyük olasılıkla eğilmesi ve düzlemdeki en yakın nokta yerine, düzlem üzerinde uzak bir konuma doğru gitmesidir. Yani eğer vP1'in uzunluğunu aldıysanız, çok fazla mesafeye sahip olursunuz.

Yapmanız gereken, vP1'in izdüşümü düzleme dik olduğunu bildiğiniz bir vektör üzerine almaktır. Bu elbette vNormaldir. Yani, vP1 ve vNormal'in iç çarpımını alın ve bunu vNormal'in uzunluğuna bölün; cevabınızı alacaksınız. (Size zaten bir değeri olan vNormal'i verecek kadar nezaket gösterirlerse, o zaman bölmeye gerek yoktur.)

1

Bu sorunu Lagrange çarpanlarını kullanarak çözebilirsiniz:

Uçaktaki en yakın noktanın şöyle görünmesi gerektiğini biliyorsunuz:

C = p + v

Burada c en yakın noktadır ve v düzlem boyunca bir vektördür (bu nedenle n'nin normaline diktir). En küçük normlu (veya normun karesi) c'yi bulmaya çalışıyorsunuz. Yani v'nin n'ye dik olduğu göz önüne alındığında nokta(c,c)'yi en aza indirmeye çalışıyorsunuz (böylece nokta(v,n) = 0).

Böylece Lagrangian'ı ayarlayın:

L = nokta(c,c) + lambda * (nokta(v,n)) L = nokta(p+v,p+v) + lambda * (nokta(v,n)) L = nokta(p,p) + 2*nokta(p,v) + nokta(v,v) * lambda * (nokta(v,n))

Ve v'ye göre türevi alın (ve 0'a ayarlayın):

2 * p + 2 * v + lambda * n = 0

Yukarıdaki denklemde lambda'yı bir nokta yerleştirip her iki tarafı n ile çarparak çözebilirsiniz.

2 * nokta(p,n) + 2 * nokta(v,n) + lambda * nokta(n,n) = 0 2 * nokta(p,n) + lambda = 0 lambda = - 2 * nokta(p,n) )

nokta(n,n) = 1 ve nokta(v,n) = 0 olduğuna tekrar dikkat edin (çünkü v düzlemdedir ve n ona diktir). Yedek lambda daha sonra şunu üretmek için geri döndürülür:

2 * p + 2 * v - 2 * nokta(p,n) * n = 0

ve şunu elde etmek için v'yi çözün:

V = nokta(p,n) * n - p

Daha sonra şunu elde etmek için bunu tekrar c = p + v'ye takın:

C = nokta(p,n) * n

Bu vektörün uzunluğu |nokta(p,n)| ve işareti size noktanın orijinden normal vektör yönünde mi yoksa orijinden ters yönde mi olduğunu söyler.

düzlem denklemini kullanarak bir düzlemden orijine olan en kısa mesafe

sanırım bende var düzlem denklemi ax+by+cz=d, bir düzlemden orijine olan en kısa mesafeyi nasıl bulabilirim? Bu yazıdan ters yöne gidiyorum. Bu yazıda onlar...

Kinect'ten gelen derinlik görüntüsü orijine olan mesafeyi mi yoksa XY düzlemine olan mesafeyi mi temsil ediyor?

Diyelim ki Kinect (0,0,0) üzerinde oturuyor ve +Z yönüne bakıyor. (1, 1, 1) noktasında bir nesne olduğunu ve Kinect'ten alınan derinlik görüntüsündeki piksellerden birinin o nesneyi temsil ettiğini varsayalım.

Orijinden uzaydaki bir noktaya olan mesafe

Noktaların iki koordinatlı bir veri çerçevesi tarafından verildiği tüm noktalara olan mesafeyi orijinden hizalamak istiyorum. Tüm noktalara sahibim: x y 1 0,0 0,0 2 -4,0 -2,8 3 -7,0 -6,5 4 -9,0 -11,1...

küresel koordinatlar - düzleme olan mesafe

Referans Bilgileri Burada gösterilene benzer bir küresel koordinat sistemi düşünün: Koordinat Sistemi http://www.shokhirev.com/nikolai/projects/global/image013.gif Belirli bir nokta için...

Perspektif projeksiyon için yakın klip düzlemi mesafesi metodik olarak nasıl seçilir?

3 boyutlu bir sahnem ve gluPerspective kullanılarak tanımlanmış bir kameram var. Sabit bir görüş alanım var ve herhangi bir geometrinin kameraya olan minimum mesafesini biliyorum (bu birinci şahıs görüşü, yani...

3B'de bir noktadan uçağa olan mesafe nasıl elde edilir?

A, B, C noktaları ve uzayda bir nokta (P) olan bir üçgenim var. Bir noktadan uçağa olan mesafeyi nasıl alabilirim? P'den bir uçağa olan mesafeyi hesaplamam gerekiyor, buna rağmen...

CG noktasının döndürülmesi orijine olan mesafeyi değiştirir

Bir CGPoint'i (kırmızı dikdörtgen) başka bir CGPoint'in (mavi dikdörtgen) etrafında döndürmek istiyorum ancak orijinden (mavi dikdörtgen) olan mesafeyi değiştiriyor... köşede 270 verdiğimde yaratıyor...

Düzlem merkezi X, Y, Z, Kartezyen koordinatlarını alın

Düzlemin merkezini X, Y, Z, Kartezyen koordinatlarını almam gerekiyor. Düzlemin Normali ve merkez noktasından orijine olan mesafeye sahibim. Noktaları herhangi bir yere yerleştirebilirim ve...

bir noktadan belirli bir yöndeki bir düzleme olan mesafe

Verilen: (x1, y1, z1) noktası yön vektörü (a1, b1, c1) düzlem ax + by + cz + d = 0 Bu vektör boyunca bir noktadan bir düzleme olan D mesafesini nasıl bulabilirim? Teşekkür ederim

Bir düzlemi başka bir koordinat sistemine dönüştürme

Döndürme matrisi R ve dünya koordinat sistemine göre bir çeviri T ile tanımlanan bir kamera koordinat sistemim var. Düzlem, kamera koordinatında normal N ve üzerindeki P noktası ile tanımlanır.

Bu makale bir noktadan bir düzleme olan mesafenin belirlenmesinden bahsediyor. Üç boyutlu uzayda belirli bir noktaya olan mesafeyi bulmamızı sağlayacak koordinat yöntemini kullanarak bunu analiz edelim. Bunu güçlendirmek için çeşitli görev örneklerine bakalım.

Bir noktadan bir düzleme olan mesafe, bir noktadan bir noktaya bilinen mesafe kullanılarak bulunur; bunlardan biri verilir, diğeri ise belirli bir düzleme izdüşümdür.

Uzayda χ düzlemli bir M1 noktası belirtildiğinde, bu noktadan düzleme dik bir düz çizgi çizilebilir. H 1 bunların ortak kesişme noktasıdır. Bundan, M 1 H 1 parçasının, M 1 noktasından χ düzlemine çizilen bir dik olduğunu, burada H 1 noktasının dikmenin tabanı olduğunu elde ederiz.

Tanım 1

Belirli bir noktadan belirli bir düzleme çizilen dikmenin tabanına kadar olan uzaklığa denir.

Tanım farklı formülasyonlarla yazılabilir.

Tanım 2

Noktadan düzleme uzaklık belirli bir noktadan belirli bir düzleme çizilen dikmenin uzunluğudur.

M1 noktasından χ düzlemine olan mesafe şu şekilde belirlenir: M1 noktasından χ düzlemine olan mesafe, belirli bir noktadan düzlemdeki herhangi bir noktaya kadar en küçük olacaktır. H 2 noktası χ düzleminde bulunuyorsa ve H 2 noktasına eşit değilse, o zaman şunu elde ederiz: dik üçgen tip M 2 H 1 H 2 M 2 H 1, M 2 H 2 bacağının bulunduğu dikdörtgen olan – hipotenüs. Bu şu anlama gelir: M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 M1 noktasından χ düzlemine çizilen eğimli kabul edilir. Belirli bir noktadan düzleme çizilen dikmenin, o noktadan belirli düzleme çizilen eğik çizgiden küçük olduğunu biliyoruz. Aşağıdaki şekilde bu duruma bakalım.

Bir noktadan düzleme olan mesafe - teori, örnekler, çözümler

Çözümleri bir noktadan düzleme olan mesafeyi içermesi gereken bir takım geometrik problemler vardır. Bunu tanımlamanın farklı yolları olabilir. Çözüm için Pisagor teoremini veya üçgenlerin benzerliğini kullanın. Koşula göre, üç boyutlu uzayın dikdörtgen koordinat sisteminde verilen bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi hesaplamak gerektiğinde, koordinat yöntemi ile çözülür. Bu paragrafta bu yöntem anlatılmaktadır.

Sorunun koşullarına göre, üç boyutlu uzayda M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinatlarına sahip ve χ düzlemine sahip bir nokta verilmiştir; M 1'den uzaklığı belirlemek gerekir. düzlem χ. Bu sorunun çözümü için çeşitli çözüm yöntemleri kullanılmaktadır.

İlk yol

Bu yöntem, M1 noktasından χ düzlemine dik olanın tabanı olan H1 noktasının koordinatlarını kullanarak bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulmaya dayanmaktadır. Daha sonra M 1 ile H 1 arasındaki mesafeyi hesaplamanız gerekir.

Sorunu ikinci şekilde çözmek için belirli bir düzlemin normal denklemini kullanın.

İkinci yol

Koşul olarak, H1'in, M1 noktasından χ düzlemine indirilen dikin tabanı olduğunu biliyoruz. Daha sonra H 1 noktasının koordinatlarını (x 2, y 2, z 2) belirleriz. M 1'den χ düzlemine gerekli mesafe M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 formülü ile bulunur, burada M 1 (x 1, y 1, z 1) ve H 1 (x 2, y 2, z 2). Çözmek için H 1 noktasının koordinatlarını bilmeniz gerekir.

H1'in, χ düzleminin, χ düzlemine dik olarak yerleştirilmiş M1 noktasından geçen a çizgisi ile kesişme noktası olduğunu biliyoruz. Belirli bir düzleme dik olarak belirli bir noktadan geçen düz bir çizgi için bir denklem derlemenin gerekli olduğu sonucu çıkar. İşte o zaman H 1 noktasının koordinatlarını belirleyebileceğiz. Doğrunun ve düzlemin kesişme noktasının koordinatlarını hesaplamak gerekir.

M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinatlarına sahip bir noktadan χ düzlemine olan mesafeyi bulma algoritması:

Tanım 3

• M 1 noktasından geçen ve aynı zamanda bir düz çizgi a denklemi çizin
• χ düzlemine dik;
• H 1 noktasının nokta olan koordinatlarını (x 2 , y 2 , z 2) bulun ve hesaplayın
• a çizgisinin χ düzlemiyle kesişimi;
• M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 formülünü kullanarak M 1 ile χ arasındaki mesafeyi hesaplayın.

Üçüncü yol

Belirli bir dikdörtgen koordinat sisteminde O x y z bir χ düzlemi vardır, o zaman cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 formundaki düzlemin normal bir denklemini elde ederiz. Buradan, M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos formülüyle hesaplanan, χ düzlemine çizilen M 1 (x 1 , y 1 , z 1) noktasıyla M 1 H 1 mesafesinin elde edildiğini elde ederiz. γ z - p . Bu formül teorem sayesinde oluşturulduğu için geçerlidir.

Teorem

Üç boyutlu uzayda bir M 1 (x 1, y 1, z 1) noktası verilirse, cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 formundaki χ düzleminin normal denklemine sahip olan, daha sonra noktadan M 1 H 1 düzlemine olan mesafenin hesaplanması, M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p formülünden elde edilir, çünkü x = x 1, y = y 1 , z = z 1.

Kanıt

Teoremin kanıtı bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi bulmakla ilgilidir. Bundan, M1'den χ düzlemine olan mesafenin, M1 yarıçap vektörünün sayısal izdüşümü ile orijinden χ düzlemine olan mesafe arasındaki farkın modülü olduğunu elde ederiz. Daha sonra M 1 H 1 = n p n → O M → - p ifadesini elde ederiz. χ düzleminin normal vektörü n → = cos α, cos β, cos γ formuna sahiptir ve uzunluğu bire eşittir, n p n → Ö M → O M → = (x 1, y 1) vektörünün sayısal izdüşümüdür , z 1) n → vektörünün belirlediği yönde.

Skaler vektörleri hesaplamak için formülü uygulayalım. Daha sonra n → , O M → = n → · n p n → Ö M → = 1 · n p n → Ö M → = n p n → Ö M → biçiminde bir vektör bulmak için bir ifade elde ederiz, çünkü n → = cos α, cos β, cos γ · z ve Ö M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Yazmanın koordinat biçimi şu şekilde olacaktır: n → , O M → = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1, sonra M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Teorem kanıtlandı.

Buradan M 1 (x 1, y 1, z 1) noktasından χ düzlemine olan mesafenin cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 yerine konulmasıyla hesaplandığını anlıyoruz. düzlemin normal denkleminin sol tarafında x, y, z koordinatları yerine x 1, y 1 ve z1, M 1 noktasına ilişkin olarak elde edilen değerin mutlak değerini alır.

Koordinatlı bir noktadan belirli bir düzleme olan mesafeyi bulma örneklerine bakalım.

örnek 1

M 1 (5, - 3, 10) koordinatlı noktadan 2 x - y + 5 z - 3 = 0 düzlemine olan mesafeyi hesaplayın.

Çözüm

Sorunu iki şekilde çözelim.

İlk yöntem a doğrusunun yön vektörünün hesaplanmasıyla başlar. Koşul gereği, verilen 2 x - y + 5 z - 3 = 0 denkleminin genel bir düzlem denklemi olduğu ve n → = (2, - 1, 5)'in verilen düzlemin normal vektörü olduğu elimizdedir. Belirli bir düzleme dik olan bir düz çizginin yön vektörü olarak kullanılır. M 1 (5, - 3, 10) 'den geçen uzaydaki bir çizginin kanonik denklemini 2, - 1, 5 koordinatlarına sahip bir yön vektörüyle yazmak gerekir.

Denklem x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 olacaktır.

Kesişme noktaları belirlenmelidir. Bunu yapmak için, kanonikten kesişen iki doğrunun denklemlerine geçmek için denklemleri yavaşça bir sistemde birleştirin. Bu nokta H 1'i alalım. Bunu anlıyoruz

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 · (x - 5) = 2 · (y + 3) 5 · (x - 5) = 2 · (z - 10) 5 · ( y + 3) = - 1 · (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Bundan sonra sistemi etkinleştirmeniz gerekir

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Gauss sistemi çözüm kuralına dönelim:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1

Bunu H 1(1, - 1, 0) olarak elde ederiz.

Belirli bir noktadan düzleme olan mesafeyi hesaplıyoruz. M 1 (5, - 3, 10) ve H 1 (1, - 1, 0) noktalarını alıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

İkinci çözüm ise öncelikle verilen 2 x - y + 5 z - 3 = 0 denklemini normal forma getirmektir. Normalleştirme faktörünü belirliyoruz ve 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 elde ediyoruz. Buradan 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 düzleminin denklemini türetiyoruz. Denklemin sol tarafı x = 5, y = - 3, z = 10 değiştirilerek hesaplanır ve M 1 (5, - 3, 10) ile 2 x - y + 5 z - arasındaki mesafeyi almanız gerekir. 3 = 0 modülo. Şu ifadeyi elde ederiz:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

Cevap: 2 30.

χ düzlemi, bir düzlem belirleme yöntemleri bölümündeki yöntemlerden biri ile belirlendiğinde, öncelikle χ düzleminin denklemini elde etmeniz ve herhangi bir yöntemi kullanarak gerekli mesafeyi hesaplamanız gerekir.

Örnek 2

Üç boyutlu uzayda M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1) koordinatlarına sahip noktalar belirtilir. M 1'den A B C düzlemine olan mesafeyi hesaplayın.

Çözüm

Öncelikle M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C ( koordinatlarına sahip verilen üç noktadan geçen düzlemin denklemini yazmanız gerekir. 4, 0, - 1) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Sorunun öncekine benzer bir çözümü olduğu sonucu çıkıyor. Bu, M 1 noktasından A B C düzlemine olan mesafenin 2 30 değerine sahip olduğu anlamına gelir.

Cevap: 2 30.

Bir düzlemdeki belirli bir noktadan veya paralel oldukları bir düzleme olan mesafeyi bulmak, M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p formülünü uygulayarak daha uygundur. . Bundan, düzlemlerin normal denklemlerinin birkaç adımda elde edildiğini elde ederiz.

Örnek 3

M 1 (- 3, 2, - 7) koordinatlarına sahip belirli bir noktadan O x y z koordinat düzlemine ve 2 y - 5 = 0 denklemiyle verilen düzleme olan mesafeyi bulun.

Çözüm

O y z koordinat düzlemi x = 0 formundaki bir denkleme karşılık gelir. O y z düzlemi için bu normaldir. Bu nedenle ifadenin sol tarafına x = - 3 değerlerini koymak ve M 1 (- 3, 2, - 7) koordinatlı noktadan düzleme olan mesafenin mutlak değerini almak gerekir. - 3 = 3'e eşit bir değer elde ediyoruz.

Dönüşüm sonrasında 2 y - 5 = 0 düzleminin normal denklemi y - 5 2 = 0 formunu alacaktır. Daha sonra M 1 (- 3, 2, - 7) koordinatlı noktadan 2 y - 5 = 0 düzlemine kadar gerekli mesafeyi bulabilirsiniz. Yerine koyup hesapladığımızda 2 - 5 2 = 5 2 - 2 elde ederiz.

Cevap: M 1'den (- 3, 2, - 7) O y z'ye gerekli mesafe 3 değerine ve 2 y - 5 = 0'a 5 2 - 2 değerine sahiptir.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Bu yazıda bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi tanımlayacağız ve üç boyutlu uzayda belirli bir noktadan belirli bir düzleme olan mesafeyi bulmanızı sağlayan koordinat yöntemini analiz edeceğiz. Teoriyi sunduktan sonra, çeşitli tipik örneklerin ve sorunların çözümlerini ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.

Sayfada gezinme.

Bir noktadan düzleme olan mesafe - tanım.

Bir noktadan bir düzleme olan uzaklık, biri belirli bir nokta, diğeri ise belirli bir noktanın belirli bir düzleme izdüşümü ile belirlenir.

Üç boyutlu uzayda bir M 1 noktası ve bir düzlem verilsin. Düzleme dik, M1 noktasından geçen düz bir çizgi çizelim. a düz çizgisi ile düzlemin kesişme noktasını H 1 olarak gösterelim. M 1 H 1 segmentine denir dik, M 1 noktasından düzleme indirildi ve H 1 noktası – dikey tabanı.

Tanım.

belirli bir noktadan belirli bir düzleme çizilen dikmenin tabanına kadar olan mesafedir.

Bir noktadan bir düzleme olan mesafenin en yaygın tanımı aşağıdaki gibidir.

Tanım.

Noktadan düzleme uzaklık belirli bir noktadan belirli bir düzleme çizilen dikmenin uzunluğudur.

Bu şekilde belirlenen M1 noktasından düzleme olan mesafenin, belirli bir M1 noktasından düzlemdeki herhangi bir noktaya olan mesafelerin en küçüğü olduğuna dikkat edilmelidir. Aslında, H 2 noktasının düzlemde olmasına ve H 1 noktasından farklı olmasına izin verin. Açıkçası, M 2 H 1 H 2 üçgeni dik açılıdır, içinde M 1 H 1 bacaktır ve M 1 H 2 hipotenüstür, bu nedenle, . Bu arada, M 1 H 2 segmentine denir eğimli M1 noktasından düzleme çizilir. Dolayısıyla, belirli bir noktadan belirli bir düzleme çizilen dikme, aynı noktadan belirli bir düzleme çizilen eğik çizgiden her zaman daha küçüktür.

Bir noktadan düzleme olan mesafe - teori, örnekler, çözümler.

Bazı geometrik problemler çözümün bir aşamasında, bir noktadan bir düzleme olan mesafenin bulunmasını gerektirir. Bunun yöntemi kaynak verilere bağlı olarak seçilir. Genellikle sonuca Pisagor teoremi veya üçgenlerin eşitlik ve benzerlik işaretleri kullanılarak ulaşılır. Üç boyutlu uzayda verilen bir noktadan düzleme olan mesafeyi bulmanız gerekiyorsa, koordinat yöntemi kurtarmaya gelir. Makalenin bu paragrafında bunu analiz edeceğiz.

Öncelikle problemin durumunu formüle edelim.

Üç boyutlu uzayda Oxyz dikdörtgen koordinat sisteminde bir nokta verilir , düzlem ve M 1 noktasından düzleme olan mesafeyi bulmanız gerekir.

Bu sorunu çözmenin iki yoluna bakalım. Bir noktadan düzleme olan mesafeyi hesaplamanıza izin veren ilk yöntem, M1 noktasından düzleme indirilen dikin tabanı olan H1 noktasının koordinatlarını bulmaya ve ardından noktalar arasındaki mesafeyi hesaplamaya dayanır. M1 ve H1. Belirli bir noktadan belirli bir düzleme olan mesafeyi bulmanın ikinci yolu, belirli bir düzlemin normal denkleminin kullanılmasını içerir.

Bir noktaya olan mesafeyi hesaplamanızı sağlayan ilk yöntem uçağa.

M1 noktasından düzleme çizilen dikmenin tabanı H1 olsun. H 1 noktasının koordinatlarını belirlersek, M 1 noktasından düzleme gerekli mesafe, noktalar arasındaki mesafe olarak hesaplanabilir. Ve formüle göre. Böylece, H 1 noktasının koordinatlarını bulmak kalır.

Bu yüzden, Bir noktaya olan mesafeyi bulmak için algoritma uçağa Sonraki:

Bir noktaya olan mesafeyi bulmak için uygun ikinci yöntem uçağa.

Oxyz dikdörtgen koordinat sisteminde bize bir düzlem verildiğinden, düzlemin normal denklemini şeklinde elde edebiliriz. Daha sonra noktaya olan mesafe düzleme olan mesafe formülle hesaplanır. Bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulmak için bu formülün geçerliliği aşağıdaki teorem ile belirlenir.

Teorem.

Dikdörtgen koordinat sistemi Oxyz üç boyutlu uzayda sabitlensin ve bir nokta verilsin ve formun normal düzlem denklemi. M 1 noktasından düzleme olan mesafe, düzlemin normal denkleminin sol tarafındaki ifadenin , yani , 'de hesaplanan mutlak değerine eşittir.

Kanıt.

Bu teoremin ispatı, bir noktadan bir çizgiye olan mesafenin bulunması bölümünde verilen benzer bir teoremin ispatına tamamen benzerdir.

M1 noktasından düzleme olan mesafenin, M1 sayısal projeksiyonu ile orijinden düzleme olan mesafe arasındaki farkın modülüne eşit olduğunu göstermek kolaydır; , Nerede - Düzlemin normal vektörü, bire eşit, - vektör tarafından belirlenen yöne.

Ve tanımı gereği eşittir ve koordinat biçimindedir. Dolayısıyla kanıtlanması gereken şey budur.

Böylece, noktadan uzaklık düzleme olan uzaklık, düzlemin normal denkleminin sol tarafında x, y ve z yerine M1 noktasına ait x 1, y 1 ve z 1 koordinatlarının yerine konularak ve ortaya çıkan değerin mutlak değeri alınarak hesaplanabilir. .

Bir noktaya olan mesafeyi bulma örnekleri uçağa.

Örnek.

Bir noktaya olan mesafeyi bulun uçağa.

Çözüm.

İlk yol.

Problem ifadesinde bize formun genel bir düzlem denklemi verilmiştir; buradan görülebileceği gibi: bu düzlemin normal vektörüdür. Bu vektör, belirli bir düzleme dik olan bir doğrunun yön vektörü olarak alınabilir. O zaman uzaydaki noktadan geçen bir doğrunun kanonik denklemlerini yazabiliriz. ve koordinatları olan bir yön vektörü var, benziyorlar.

Doğrunun kesişme noktasının koordinatlarını bulmaya başlayalım ve uçaklar. H 1 olarak gösterelim. Bunu yapmak için önce düz bir çizginin kanonik denklemlerinden kesişen iki düzlemin denklemlerine geçiş yapıyoruz:

Şimdi denklem sistemini çözelim (gerekirse makaleye bakın). Kullanırız:

Böylece, .

Belirli bir noktadan belirli bir düzleme gerekli mesafeyi, noktalar arasındaki mesafe olarak hesaplamak kalır. Ve :
.

İkinci çözüm.

Verilen düzlemin normal denklemini elde ederiz. Bunu yapabilmek için düzlemin genel denklemini normal forma getirmemiz gerekiyor. Normalleştirme faktörünü belirledikten sonra düzlemin normal denklemini elde ederiz . Ortaya çıkan denklemin sol tarafının değerini hesaplamak için kalır. ve elde edilen değerin modülünü alın - bu noktadan gerekli mesafeyi verecektir uçağa: