İkinci dereceden denklemi dönüştürün. Eksik ikinci dereceden denklemlerin çözümü. İkinci dereceden denklemlerin sınıflandırılması

eksik ikinci dereceden denklemçarpanlarının veya serbest terimin sıfıra eşit olması bakımından klasik (tam) denklemlerden farklıdır. Bu tür fonksiyonların grafiği parabollerdir. Genel görünüme göre 3 gruba ayrılırlar. Tüm denklem türleri için çözüm ilkeleri aynıdır.

Eksik bir polinomun türünü belirlemede zor olan bir şey yoktur. Açıklayıcı örneklerdeki ana farklılıkları dikkate almak en iyisidir:

b = 0 ise, denklem ax 2 + c = 0'dır.
c = 0 ise ax 2 + bx = 0 ifadesi çözülmelidir.
Eğer b = 0 ve c = 0 ise, polinom ax 2 = 0 türünde bir eşitlik haline gelir.

Son durum daha çok teorik bir olasılıktır ve ifadedeki x değişkeninin tek gerçek değeri sıfır olduğundan bilgi testlerinde asla gerçekleşmez. Gelecekte, türlerin eksik ikinci dereceden denklemlerini 1) ve 2) çözme yöntemleri ve örnekleri ele alınacaktır.

Çözümlü Değişkenler ve Örnekler Bulmak İçin Genel Algoritma

Denklemin türü ne olursa olsun, çözüm algoritması aşağıdaki adımlara indirgenir:

İfadeyi kökleri bulmaya uygun bir forma getirin.
Hesaplamalar yapın.
Cevabı yazın.

Sol tarafı çarpanlara ayırarak ve sağ tarafta sıfır bırakarak tamamlanmamış denklemleri çözmek en kolay yoldur. Böylece, kökleri bulmak için eksik bir ikinci dereceden denklem formülü, faktörlerin her biri için x değerini hesaplamaya indirgenir.

Nasıl çözüleceğini sadece pratikte öğrenebilirsiniz, bu yüzden tamamlanmamış bir denklemin köklerini bulmanın belirli bir örneğini ele alalım:

Gördüğünüz gibi bu durumda b = 0. Sol tarafı çarpanlara ayırıyoruz ve şu ifadeyi elde ediyoruz:

4(x - 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Açıkçası, faktörlerden en az biri sıfıra eşit olduğunda çarpım sıfıra eşittir. Benzer gereksinimler, x1 = 0,5 ve (veya) x2 = -0,5 değişkeninin değerleriyle karşılanır.

Bir kare üç terimliyi çarpanlara ayırma göreviyle kolay ve hızlı bir şekilde başa çıkmak için aşağıdaki formülü hatırlamanız gerekir:

İfadede serbest terim yoksa, görev büyük ölçüde basitleştirilir. Sadece ortak paydayı bulup çıkarmak yeterli olacaktır. Netlik için, ax2 + bx = 0 biçimindeki tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğine dair bir örnek düşünün.

x değişkenini parantez içinden çıkaralım ve aşağıdaki ifadeyi elde edelim:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Mantığa dayanarak, x1 = 0 ve x2 = -3 olduğu sonucuna varıyoruz.

İkinci dereceden denklemleri ve eksik ikinci dereceden denklemleri çözmenin geleneksel yolu

Diskriminant formülünü uygular ve katsayıları sıfıra eşit olan polinomun köklerini bulmaya çalışırsak ne olur? 2017'de matematikte Birleşik Devlet Sınavı için tipik görevler koleksiyonundan bir örnek alalım, standart formülleri ve çarpanlara ayırma yöntemini kullanarak çözeceğiz.

7x 2 - 3x = 0.

Ayırt edicinin değerini hesaplayın: D = (-3)2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Polinomun iki kökü olduğu ortaya çıktı:

Şimdi, denklemi çarpanlara ayırarak çözün ve sonuçları karşılaştırın.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x=-3,
x = -.

Gördüğünüz gibi, her iki yöntem de aynı sonucu veriyor, ancak denklemi çözmenin ikinci yolu çok daha kolay ve hızlı oldu.

Vieta teoremi

Ama sevgili Vieta teoremi ile ne yapmalı? başvurmak mümkün mü Bu method tamamlanmamış bir üç terimli ile? Tamamlanmamış denklemleri ax2 + bx + c = 0 klasik formuna indirgemenin özelliklerini anlamaya çalışalım.

Aslında bu durumda Vieta teoremini uygulamak mümkündür. Yalnızca ifadeyi genel bir forma getirmek, eksik terimleri sıfır ile değiştirmek gerekir.

Örneğin b = 0 ve a = 1 ile karıştırılma olasılığını ortadan kaldırmak için görev ax2 + 0 + c = 0 şeklinde yazılmalıdır. polinomun çarpanları şu şekilde ifade edilebilir:

Teorik hesaplamalar, sorunun özünü tanımaya yardımcı olur ve belirli sorunları çözmede her zaman beceri geliştirmeyi gerektirir. Sınav için tipik görevlerin referans kitabına tekrar dönelim ve uygun bir örnek bulalım:

İfadeyi Vieta teoremini uygulamaya uygun bir biçimde yazıyoruz:

x2 + 0 - 16 = 0.

Bir sonraki adım, bir koşullar sistemi oluşturmaktır:

Açıkçası, kare polinomun kökleri x 1 \u003d 4 ve x 2 \u003d -4 olacaktır.

Şimdi, denklemi genel bir forma getirme alıştırması yapalım. Aşağıdaki örneği ele alalım: 1/4× x 2 – 1 = 0

Vieta teoremini ifadeye uygulamak için kesirden kurtulmanız gerekir. Sol ve sağ tarafları 4 ile çarpın ve sonuca bakın: x2– 4 = 0. Ortaya çıkan eşitlik Vieta teoremi ile çözülmeye hazırdır, ancak basitçe c = hareket ettirerek cevaba ulaşmak çok daha kolay ve hızlıdır. Denklemin sağ tarafında 4: x2 = 4.

Özetle şunu söylemek gerekir. en iyi yol eksik denklemleri çözmek çarpanlara ayırmadır, en basit ve en hızlı yöntemdir. Kök bulma sürecinde zorluklarla karşılaşırsanız, diskriminant yoluyla kök bulmanın geleneksel yöntemine başvurabilirsiniz.

İkinci dereceden denklemin tamamının şu şekilde bir denklem olduğunu size hatırlatırız:

Tam ikinci dereceden denklemleri çözmek, verilenlerden biraz daha karmaşıktır (birazcık).

Hatırlamak, herhangi bir ikinci dereceden denklem diskriminant kullanılarak çözülebilir!

Eksik bile.

Yöntemlerin geri kalanı, bunu daha hızlı yapmanıza yardımcı olacaktır, ancak ikinci dereceden denklemlerle ilgili sorunlarınız varsa, önce diskriminantı kullanarak çözümde ustalaşın.

1. Diskriminant kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözme.

İkinci dereceden denklemleri bu şekilde çözmek çok basittir, asıl mesele eylem sırasını ve birkaç formülü hatırlamaktır.

Eğer, o zaman denklemin 2 kökü vardır. 2. adıma özellikle dikkat edin.

Diskriminant D bize denklemin kök sayısını söyler.

Eğer, o zaman adımdaki formül şuna indirgenecektir. Böylece denklemin sadece bir kökü olacaktır.
Eğer, o zaman adımda ayrımcının kökünü çıkaramayacağız. Bu, denklemin kökü olmadığını gösterir.

dönelim geometrik anlamda ikinci dereceden denklem.

Fonksiyonun grafiği bir paraboldür:

Denklemlerimize geri dönelim ve birkaç örneğe bakalım.

Örnek 9

Denklemi çözün

Aşama 1 atlamak.

Adım 2

Ayrımcıyı bulmak:

Yani denklemin iki kökü var.

Aşama 3

Cevap:

Örnek 10

Denklemi çözün

Denklem standart biçimdedir, yani Aşama 1 atlamak.

Adım 2

Ayrımcıyı bulmak:

Yani denklemin bir kökü var.

Cevap:

Örnek 11

Denklemi çözün

Denklem standart biçimdedir, yani Aşama 1 atlamak.

Adım 2

Ayrımcıyı bulmak:

Bu, diskriminanttan kökü çıkaramayacağımız anlamına gelir. Denklemin kökleri yoktur.

Artık bu tür cevapları nasıl doğru yazacağımızı biliyoruz.

Cevap: kök yok

2. İkinci dereceden denklemleri Vieta teoremini kullanarak çözme

Hatırlarsanız, indirgenmiş olarak adlandırılan böyle bir denklem türü vardır (a katsayısı şuna eşit olduğunda):

Bu tür denklemlerin Vieta teoremi kullanılarak çözülmesi çok kolaydır:

köklerin toplamı verilen ikinci dereceden denklem eşittir ve köklerin çarpımı eşittir.

Sadece çarpımı denklemin serbest terimine eşit olan ve toplamı zıt işaretle alınan ikinci katsayıya eşit olan bir çift sayı seçmeniz yeterlidir.

Örnek 12

Denklemi çözün

Bu denklem, Vieta teoremini kullanarak çözüm için uygundur, çünkü .

Denklemin köklerinin toplamı, yani ilk denklemi elde ederiz:

Ve ürün:

Sistemi oluşturup çözelim:

Ve. Toplam;
Ve. Toplam;
Ve. Miktar eşittir.

ve sistemin çözümü:

Cevap: ; .

Örnek 13

Denklemi çözün

Cevap:

Örnek 14

Denklemi çözün

Denklem indirgenir, yani:

Cevap:

KUADRATİK DENKLEMLER. ORTALAMA SEVİYE

İkinci dereceden denklem nedir?

Başka bir deyişle, ikinci dereceden bir denklem, - bilinmeyen - ayrıca bazı sayıların olduğu formun bir denklemidir.

Sayı en yüksek olarak adlandırılır veya birinci katsayı ikinci dereceden denklem, - ikinci katsayı, A - Ücretsiz Üye.

Çünkü eğer, denklem hemen doğrusal hale gelir, çünkü Kaybolacak.

Bu durumda ve sıfıra eşit olabilir. Bu sandalye denkleminde denir eksik.

Tüm terimler yerindeyse, yani denklem - tamamlamak.

Eksik ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri

Başlamak için, eksik ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemlerini analiz edeceğiz - bunlar daha basit.

Aşağıdaki denklem türleri ayırt edilebilir:

I. , bu denklemde katsayı ve serbest terim eşittir.

II. , bu denklemde katsayı eşittir.

III. , bu denklemde serbest terim eşittir.

Şimdi bu alt türlerin her birinin çözümünü düşünün.

Açıkçası, bu denklemin her zaman sadece bir kökü vardır:

Karesi alınan bir sayı negatif olamaz, çünkü iki negatif veya iki pozitif sayıyı çarparken sonuç her zaman pozitif bir sayı olacaktır. Bu yüzden:

eğer, o zaman denklemin çözümü yok;

eğer iki kökümüz varsa

Bu formüllerin ezberlenmesi gerekmez. Hatırlanması gereken en önemli şey, daha az olamayacağıdır.

İkinci dereceden denklem çözme örnekleri

Örnek 15

Cevap:

Negatif işaretli kökleri asla unutma!

Örnek 16

Bir sayının karesi negatif olamaz, yani denklem

kök yok

Sorunun çözümü olmadığını kısaca yazmak için boş küme ikonunu kullanıyoruz.

Cevap:

Örnek 17

Yani, bu denklemin iki kökü vardır: ve.

Cevap:

Parantez içindeki ortak çarpanı çıkaralım:

Çarpanlardan en az biri sıfıra eşitse, çarpım sıfıra eşittir. Bu, denklemin şu durumlarda bir çözümü olduğu anlamına gelir:

Yani, bu ikinci dereceden denklemin iki kökü vardır: ve.

Örnek:

Denklemi çözün.

Çözüm:

Denklemin sol tarafını çarpanlara ayırıp kökleri buluyoruz:

Cevap:

Tam ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri

1. Ayrımcı

İkinci dereceden denklemleri bu şekilde çözmek kolaydır, asıl mesele eylem sırasını ve birkaç formülü hatırlamaktır. Unutmayın, herhangi bir ikinci dereceden denklem diskriminant kullanılarak çözülebilir! Eksik bile.

Kök formüldeki ayrımcının kökünü fark ettiniz mi?

Ancak ayrımcı olumsuz olabilir.

Ne yapalım?

2. adıma özellikle dikkat etmemiz gerekiyor. Diskriminant bize denklemin kök sayısını söyler.

Eğer, o zaman denklemin bir kökü vardır:
Eğer, o zaman denklem aynı köke sahipse, ama aslında tek bir köke sahipse:
Bu tür köklere çift kök denir.
Eğer, o zaman diskriminantın kökü çıkarılmaz. Bu, denklemin kökü olmadığını gösterir.

Neden farklı kök sayıları var?

İkinci dereceden denklemin geometrik anlamına dönelim. Fonksiyonun grafiği bir paraboldür:

İkinci dereceden bir denklem olan belirli bir durumda, .

Ve bu, ikinci dereceden denklemin köklerinin x ekseni (eksen) ile kesişme noktaları olduğu anlamına gelir.

Parabol ekseni hiç geçmeyebilir veya bir (parabolün tepesi eksen üzerinde olduğunda) veya iki noktada kesişebilir.

Ek olarak, katsayı parabolün dallarının yönünden sorumludur. Eğer, o zaman parabolün dalları yukarı doğru ve eğer - o zaman aşağı doğru yönlendirilirse.

4 ikinci dereceden denklem çözme örneği

Örnek 18

Cevap:

Örnek 19

Cevap: .

Örnek 20

Cevap:

Örnek 21

Bu, çözümlerin olmadığı anlamına gelir.

Cevap: .

2. Vieta teoremi

Vieta teoremini kullanmak çok kolaydır.

Tum ihtiyacin olan sey toplamakçarpımı denklemin serbest terimine ve toplamı, ters işaretle alınan ikinci katsayıya eşit olan böyle bir sayı çifti.

Vieta teoreminin yalnızca aşağıdakilere uygulanabileceğini hatırlamak önemlidir: verilen ikinci dereceden denklemler ().

Birkaç örneğe bakalım:

Örnek 22

Denklemi çözün.

Çözüm:

Bu denklem, Vieta teoremini kullanarak çözüm için uygundur, çünkü . Diğer katsayılar: ; .

Denklemin köklerinin toplamı:

Ve ürün:

Çarpımları eşit olan bu tür sayı çiftlerini seçelim ve toplamlarının eşit olup olmadığını kontrol edelim:

Ve. Toplam;
Ve. Toplam;
Ve. Miktar eşittir.

ve sistemin çözümü:

Böylece, ve denklemimizin kökleridir.

Cevap: ; .

Örnek 23

Çözüm:

Çarpımı veren bu tür sayı çiftlerini seçiyoruz ve ardından toplamlarının eşit olup olmadığını kontrol ediyoruz:

ve: toplamda ver.

ve: toplamda ver. Bunu elde etmek için, iddia edilen köklerin işaretlerini ve sonuçta ürünü değiştirmeniz yeterlidir.

Cevap:

Örnek 24

Çözüm:

Denklemin serbest terimi negatiftir ve dolayısıyla köklerin çarpımı negatif bir sayıdır. Bu ancak köklerden biri negatif, diğeri pozitif ise mümkündür. Yani köklerin toplamı modüllerinin farklılıkları.

Üründe verilen ve farkı şuna eşit olan sayı çiftlerini seçiyoruz:

ve: farkları - uygun değil;

ve: - uygun değil;

ve: - uygun. Geriye sadece köklerden birinin negatif olduğunu hatırlamak kalır. Toplamları eşit olması gerektiğinden, mutlak değerde küçük olan kök negatif olmalıdır: . Kontrol ediyoruz:

Cevap:

Örnek 25

Denklemi çözün.

Çözüm:

Denklem indirgenir, yani:

Serbest terim negatiftir ve bu nedenle köklerin çarpımı negatiftir. Bu da ancak denklemin köklerinden biri negatif, diğeri pozitif olduğunda mümkündür.

Çarpımları eşit olan bu tür sayı çiftlerini seçiyoruz ve ardından hangi köklerin eksi işaretli olması gerektiğini belirliyoruz:

Açıkçası, sadece kökler ve ilk koşul için uygundur:

Cevap:

Örnek 26

Denklemi çözün.

Çözüm:

Denklem indirgenir, yani:

Köklerin toplamı negatiftir, yani köklerden en az biri negatiftir. Ancak çarpımı pozitif olduğu için her iki kök de eksi demektir.

Çarpımları şuna eşit olan bu tür sayı çiftlerini seçiyoruz:

Açıkçası, kökler sayılardır ve.

Cevap:

Katılıyorum, bu iğrenç ayrımcıyı saymak yerine kökleri sözlü olarak icat etmek çok uygundur.

Vieta teoremini olabildiğince sık kullanmaya çalışın!

Ancak kökleri bulmayı kolaylaştırmak ve hızlandırmak için Vieta teoremine ihtiyaç vardır.

Bunu sizin için karlı hale getirmek için, eylemleri otomatizme getirmelisiniz. Ve bunun için beş örnek daha çözün.

Ama hile yapmayın: ayrımcıyı kullanamazsınız! Sadece Vieta teoremi!

Bireysel çalışma için Vieta teoreminin 5 örneği

Örnek 27

Görev 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Vieta teoremine göre:

Her zamanki gibi, seçime ürünle başlıyoruz:

Miktarı uygun olmadığı için;

: İhtiyacınız olan miktardır.

Cevap: ; .

Örnek 28

Görev 2.

Ve yine, en sevdiğimiz Vieta teoremi: toplam işe yaramalı ama çarpım eşittir.

Ama olmaması gerektiği için, ama, köklerin işaretlerini değiştiriyoruz: ve (toplamda).

Cevap: ; .

Örnek 29

Görev 3.

Hmm... Nerede?

Tüm şartları tek bir bölüme aktarmak gerekir:

Köklerin toplamı çarpıma eşittir.

Evet, dur! Denklem verilmez.

Ancak Vieta teoremi yalnızca verilen denklemlerde uygulanabilir.

Yani önce denklemi getirmeniz gerekiyor.

Eğer bu konuyu gündeme getiremiyorsanız, bu fikri bırakın ve başka bir şekilde çözün (örneğin, diskriminant yoluyla).

Size ikinci dereceden bir denklem getirmenin, önde gelen katsayıyı şuna eşitlemek anlamına geldiğini hatırlatmama izin verin:

O zaman köklerin toplamı ve çarpım eşittir.

Buradan almak daha kolay: sonuçta - bir asal sayı (totoloji için üzgünüm).

Cevap: ; .

Örnek 30

Görev 4.

Serbest terim negatiftir.

Bu konuda bu kadar özel olan ne?

Ve köklerin farklı işaretlere sahip olacağı gerçeği.

Ve şimdi, seçim sırasında köklerin toplamını değil, modülleri arasındaki farkı kontrol ediyoruz: bu fark eşittir, ancak çarpımdır.

Yani, kökler eşittir ve, ancak bunlardan biri eksidir.

Vieta teoremi bize köklerin toplamının ters işaretli ikinci katsayıya, yani eşit olduğunu söyler.

Bu, daha küçük kökün eksi: ve, beri olacağı anlamına gelir.

Cevap: ; .

Örnek 31

Görev 5.

İlk önce ne yapılması gerekiyor?

Bu doğru, denklemi verin:

Yine: sayının çarpanlarını seçiyoruz ve aralarındaki fark şuna eşit olmalı:

Kökler eşittir ve, ancak bunlardan biri eksidir. Hangi? Toplamları eşit olmalıdır, yani eksi ile daha büyük bir kök olacaktır.

Cevap: ; .

özetle

Vieta teoremi yalnızca verilen ikinci dereceden denklemlerde kullanılır.
Vieta teoremini kullanarak, kökleri sözlü olarak seçerek bulabilirsiniz.
Denklem verilmemişse veya serbest terim için uygun bir faktör çifti bulunamamışsa, o zaman tamsayı kökleri yoktur ve başka bir şekilde çözmeniz gerekir (örneğin, diskriminant yoluyla).

3. Tam kare seçim yöntemi

Bilinmeyeni içeren tüm terimler, kısaltılmış çarpma formüllerinden - toplamın veya farkın karesi - terimler olarak temsil edilirse, o zaman değişkenlerin değiştirilmesinden sonra, denklem türün tamamlanmamış bir ikinci dereceden denklemi olarak temsil edilebilir.

Örneğin:

Örnek 32

Denklemi çözün: .

Çözüm:

Cevap:

Örnek 33

Denklemi çözün: .

Çözüm:

Cevap:

Genel olarak, dönüşüm şöyle görünecektir:

Bu şu anlama gelir: .

Size bir şey hatırlatmıyor mu?

Bu ayrımcı! Diskriminant formülü tam olarak bu şekilde elde edildi.

KUADRATİK DENKLEMLER. ANA KONU HAKKINDA KISACA

İkinci dereceden denklem formun bir denklemidir, burada bilinmeyen, ikinci dereceden denklemin katsayılarıdır, serbest terimdir.

Tam ikinci dereceden denklem- katsayıların sıfıra eşit olmadığı bir denklem.

İndirgenmiş ikinci dereceden denklem- katsayının olduğu bir denklem, yani: .

Eksik ikinci dereceden denklem- katsayı ve/veya serbest terim c'nin sıfıra eşit olduğu bir denklem:

katsayı ise, denklem şu şekildedir: ,
serbest terim ise, denklem şu şekildedir: ,
ve ise, denklem şu şekildedir: .

1. Eksik ikinci dereceden denklemleri çözmek için algoritma

1.1. Formun tamamlanmamış bir ikinci dereceden denklemi, burada:

1) Bilinmeyeni ifade edin: ,

2) İfadenin işaretini kontrol edin:

eğer, o zaman denklemin çözümü yoksa,
eğer, o zaman denklemin iki kökü vardır.

1.2. Formun tamamlanmamış bir ikinci dereceden denklemi, burada:

1) Parantez içindeki ortak çarpanı çıkaralım: ,

2) Çarpanlardan en az biri sıfıra eşitse, çarpım sıfıra eşittir. Bu nedenle, denklemin iki kökü vardır:

1.3. Formun eksik bir ikinci dereceden denklemi, burada:

Bu denklemin her zaman tek bir kökü vardır: .

2. Formun tam ikinci dereceden denklemlerini çözmek için algoritma

2.1. Ayrımcı kullanarak çözüm

1) Denklemi standart forma getirelim: ,

2) Denklemin kök sayısını gösteren formülü kullanarak diskriminantı hesaplayın:

3) Denklemin köklerini bulun:

eğer, o zaman denklemin aşağıdaki formülle bulunan bir kökü vardır:
eğer, o zaman denklemin aşağıdaki formülle bulunan bir kökü vardır:
eğer, o zaman denklemin kökleri yoktur.

2.2. Vieta teoremini kullanarak çözüm

İndirgenmiş ikinci dereceden denklemin (formun bir denklemi) köklerinin toplamı eşittir ve köklerin çarpımı eşittir, yani , A.

2.3. Tam kare çözüm

“Denklemleri Çözme” konusunun devamında, bu makaledeki materyal size ikinci dereceden denklemleri tanıtacaktır.

Her şeyi ayrıntılı olarak ele alalım: ikinci dereceden bir denklemin özü ve gösterimi, ilgili terimleri ayarlayın, eksik ve tam denklemleri çözme şemasını analiz edin, kökler ve ayrımcı formülü ile tanışın, kökler ve katsayılar arasında bağlantılar kurun ve tabii ki pratik örneklerin görsel bir çözümünü vereceğiz.

İkinci dereceden denklem, türleri

tanım 1

İkinci dereceden denklem Denklem şu şekilde yazılır bir x 2 + b x + c = 0, Nerede X– değişken, a , b ve C bazı sayılardır, oysa A sıfır değil

İkinci dereceden denklemler genellikle ikinci dereceden denklemler olarak da adlandırılır, çünkü aslında ikinci dereceden bir denklem ikinci dereceden bir cebirsel denklemdir.

Verilen tanımı açıklamak için bir örnek verelim: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, vb. ikinci dereceden denklemlerdir.

Tanım 2

a , b sayıları ve C ikinci dereceden denklemin katsayılarıdır bir x 2 + b x + c = 0, katsayı iken A birinci veya kıdemli veya x 2'deki katsayı, b - ikinci katsayı veya katsayı olarak adlandırılır X, A Cücretsiz üye denir.

Örneğin, ikinci dereceden denklemde 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 en yüksek katsayı 6, ikinci katsayı ise − 2 ve serbest terim şuna eşittir: − 11 . Katsayıların ne zaman olduğu gerçeğine dikkat edelim. B ve/veya c negatifse, kısa biçim kullanılır 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, Ama değil 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Bu yönü de açıklığa kavuşturalım: eğer katsayılar A ve/veya B eşit 1 veya − 1 , o zaman belirtilen sayısal katsayıları yazmanın özellikleriyle açıklanan ikinci dereceden denklemin yazılmasında açık bir rol almayabilirler. Örneğin, ikinci dereceden denklemde y 2 - y + 7 = 0 kıdemli katsayı 1 ve ikinci katsayı − 1 .

İndirgenmiş ve indirgenmemiş ikinci dereceden denklemler

Birinci katsayının değerine göre, ikinci dereceden denklemler indirgenmiş ve indirgenmemiş olarak ayrılır.

Tanım 3

İndirgenmiş ikinci dereceden denklemönde gelen katsayının 1 olduğu ikinci dereceden bir denklemdir. Baş katsayının diğer değerleri için, ikinci dereceden denklem indirgenmez.

İşte bazı örnekler: x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 ikinci dereceden denklemler indirgenir ve her birinin önde gelen katsayısı 1'dir.

9 x 2 - x - 2 = 0- birinci katsayının farklı olduğu indirgenmemiş ikinci dereceden denklem 1 .

Herhangi bir indirgenmemiş ikinci dereceden denklem, her iki parçasını da birinci katsayıya bölerek (eşdeğer dönüşüm) indirgenmiş bir denkleme dönüştürülebilir. Dönüştürülen denklem, verilen indirgenmemiş denklemle aynı köklere sahip olacak veya hiç kök içermeyecek.

Düşünce Vaka Analizi indirgenmemiş bir ikinci dereceden denklemden indirgenmiş bir denkleme geçişi görsel olarak göstermemize izin verecektir.

örnek 1

6 x 2 + 18 x - 7 = 0 denklemi verildiğinde . Orijinal denklemi indirgenmiş forma dönüştürmek gerekir.

Çözüm

Yukarıdaki şemaya göre, orijinal denklemin her iki parçasını da önde gelen katsayıya böleriz 6 . Sonra şunu elde ederiz: (6x2 + 18x-7) : 3 = 0: 3, ve bu şununla aynıdır: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0 ve ilerisi: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0 . Buradan: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Böylece verilene eşdeğer bir denklem elde edilir.

Cevap: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Tam ve eksik ikinci dereceden denklemler

İkinci dereceden bir denklemin tanımına dönelim. içinde şunu belirtmiştik bir ≠ 0. Denklem için benzer bir koşul gereklidir bir x 2 + b x + c = 0 tam olarak kareydi, çünkü bir = 0 esasen doğrusal bir denkleme dönüşür b x + c = 0.

Katsayıların olduğu durumda B Ve C sıfıra eşittir (hem bireysel hem de ortak olarak mümkündür), ikinci dereceden denklem eksik olarak adlandırılır.

Tanım 4

Eksik ikinci dereceden denklem ikinci dereceden bir denklemdir a x 2 + b x + c \u003d 0, burada katsayılardan en az biri B Ve C(veya her ikisi) sıfırdır.

Tam ikinci dereceden denklem tüm sayısal katsayıların sıfıra eşit olmadığı ikinci dereceden bir denklemdir.

İkinci dereceden denklem türlerine neden tam olarak bu tür adlar verildiğini tartışalım.

b = 0 için, ikinci dereceden denklem şu şekli alır: bir x 2 + 0 x + c = 0 ile aynı olan bir x 2 + c = 0. -de c = 0 ikinci dereceden denklem şu şekilde yazılır: bir x 2 + b x + 0 = 0 eşdeğer olan bir x 2 + b x = 0. -de b = 0 Ve c = 0 denklem şeklini alacak x 2 = 0. Elde ettiğimiz denklemler, tam ikinci dereceden denklemden farklıdır, çünkü sol tarafları x değişkenli bir terim veya serbest terim veya her ikisini birden içermez. Aslında, bu gerçek, bu tür denklemlere adını verdi - eksik.

Örneğin, x 2 + 3 x + 4 = 0 ve − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 tam ikinci dereceden denklemlerdir; x 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerdir.

Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme

Yukarıda verilen tanım, aşağıdaki eksik ikinci dereceden denklem türlerini ayırt etmeyi mümkün kılar:

x 2 = 0, katsayılar böyle bir denkleme karşılık gelir b = 0 ve c = 0;
b \u003d 0 için a x 2 + c \u003d 0;
c = 0 için a x 2 + b x = 0 .

Her tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklemin çözümünü sırayla düşünün.

a x 2 \u003d 0 denkleminin çözümü

Yukarıda belirtildiği gibi, böyle bir denklem katsayılara karşılık gelir. B Ve C, sıfıra eşit. Denklem x 2 = 0 eşdeğer bir denkleme dönüştürülebilir x2 = 0, orijinal denklemin her iki tarafını da sayıya bölerek elde ederiz A, sıfıra eşit değil. Açık olan gerçek şu ki, denklemin kökü x2 = 0 sıfır çünkü 0 2 = 0 . Bu denklemin derecenin özellikleriyle açıklanan başka kökleri yoktur: herhangi bir sayı için P , sıfıra eşit değil, eşitsizlik doğrudur p2 > 0, bundan şu sonuç çıkar ki, ne zaman p ≠ 0 eşitlik p2 = 0 asla ulaşılamayacak.

Tanım 5

Bu nedenle, tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a x 2 = 0 için benzersiz bir kök vardır x=0.

Örnek 2

Örneğin, tamamlanmamış bir ikinci dereceden denklemi çözelim. - 3x2 = 0. Denkleme eşdeğerdir x2 = 0, tek kökü x=0, o zaman orijinal denklemin tek bir kökü vardır - sıfır.

Çözüm özetle şöyle:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

a x 2 + c \u003d 0 denkleminin çözümü

Sırada, b \u003d 0, c ≠ 0, yani formun denklemleri olan tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü var. bir x 2 + c = 0. Terimi denklemin bir tarafından diğer tarafına aktararak, işaretini ters olarak değiştirerek ve denklemin her iki tarafını sıfıra eşit olmayan bir sayıya bölerek bu denklemi dönüştürelim:

dayanmak C denklemi veren sağ tarafa bir x 2 = - c;
denklemin her iki tarafını da böl A, sonuç olarak x = - c a elde ederiz.

Dönüşümlerimiz sırasıyla eşdeğerdir, ortaya çıkan denklem de orijinaline eşdeğerdir ve bu gerçek, denklemin kökleri hakkında bir sonuç çıkarmayı mümkün kılar. Değerler nelerdir? A Ve C ifadenin değerine bağlıdır - c a: eksi işareti olabilir (örneğin, eğer bir = 1 Ve c = 2, o zaman - c a = - 2 1 = - 2) veya artı işareti (örneğin, eğer bir = -2 Ve c=6, o zaman - c a = - 6 - 2 = 3); sıfıra eşit değil çünkü c ≠ 0. Durumlar üzerinde daha ayrıntılı olarak duralım - c a< 0 и - c a > 0 .

- c a olduğu durumda< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P eşitlik p 2 = - c a doğru olamaz.

- c a > 0 olduğunda her şey farklıdır: karekökü hatırlayın ve x 2 \u003d - c a denkleminin kökünün - c a sayısı olacağı aşikar hale gelecektir, çünkü - c a 2 \u003d - c a. - - c a - sayısının aynı zamanda x 2 = - c a denkleminin kökü olduğunu anlamak kolaydır: aslında, - - c a 2 = - c a .

Denklemin başka kökü olmayacak. Bunu ters yöntemi kullanarak gösterebiliriz. İlk olarak, yukarıda bulunan köklerin gösterimini şu şekilde ayarlayalım: x 1 Ve - x 1. x 2 = - c a denkleminin de bir kökü olduğunu varsayalım x2 köklerden farklı olan x 1 Ve - x 1. yerine denklemde yerine koyarak biliyoruz X kökleri, denklemi adil bir sayısal eşitliğe dönüştürüyoruz.

İçin x 1 Ve - x 1 yazın: x 1 2 = - c a , ve için x2- x 2 2 \u003d - c a. Sayısal eşitliklerin özelliklerine dayanarak, bir gerçek eşitliği başka bir terimden terime çıkarırız, bu da bize şunu verir: x 1 2 - x 2 2 = 0. Son eşitliği şu şekilde yeniden yazmak için sayı işlemlerinin özelliklerini kullanın: (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. İki sayının çarpımının sıfır olduğu ancak ve ancak sayılardan en az birinin sıfır olduğu bilinmektedir. Anlatılanlardan anlaşıldığına göre x1 - x2 = 0 ve/veya x1 + x2 = 0 aynı olan x2 = x1 ve/veya x 2 = - x 1. Açık bir çelişki ortaya çıktı, çünkü ilk başta denklemin kökünün olduğu kabul edildi. x2 farklıdır x 1 Ve - x 1. Böylece, denklemin x = - c a ve x = - - c a dışında kökleri olmadığını kanıtladık.

Yukarıdaki tüm argümanları özetliyoruz.

Tanım 6

Eksik ikinci dereceden denklem bir x 2 + c = 0 x 2 = - c a denklemine eşdeğerdir, bu:

kökleri olmayacak - c a< 0 ;
- c a > 0 olduğunda x = - c a ve x = - - c a olmak üzere iki kökü olacaktır.

Denklem çözme örnekleri verelim bir x 2 + c = 0.

Örnek 3

İkinci dereceden bir denklem verildiğinde 9 x 2 + 7 = 0 .Çözümünü bulmak gerekiyor.

Çözüm

Serbest terimi denklemin sağ tarafına aktarıyoruz, ardından denklem şu şekli alıyor: 9 x 2 \u003d - 7.
Ortaya çıkan denklemin her iki tarafını şuna böleriz: 9 , x 2 = - 7 9'a geldik. Sağ tarafta eksi işaretli bir sayı görüyoruz, yani verilen denklemin kökü yok. Sonra orijinal tamamlanmamış ikinci dereceden denklem 9x2 + 7 = 0 kökleri olmayacaktır.

Cevap: denklem 9x2 + 7 = 0 kökleri yoktur.

Örnek 4

Denklemi çözmek gerekli - x2 + 36 = 0.

Çözüm

36'yı sağa kaydıralım: - x 2 = - 36.
İki parçayı da ikiye ayıralım − 1 , alırız x2 = 36. Sağ tarafta, şu sonuca varabileceğimiz pozitif bir sayı var: x = 36 veya x = - 36 .
Kökü çıkarıyoruz ve nihai sonucu yazıyoruz: tamamlanmamış bir ikinci dereceden denklem - x2 + 36 = 0 iki kökü vardır x=6 veya x = -6.

Cevap: x=6 veya x = -6.

a x 2 +b x=0 denkleminin çözümü

Üçüncü tür tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri analiz edelim. c = 0. Eksik bir ikinci dereceden denklemin çözümünü bulmak için bir x 2 + b x = 0, çarpanlara ayırma yöntemini kullanırız. Denklemin solundaki polinomu parantez içindeki ortak çarpanı alarak çarpanlarına ayıralım. X. Bu adım, orijinal tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi eşdeğerine dönüştürmeyi mümkün kılacaktır. x (bir x + b) = 0. Ve bu denklem, sırayla, denklem setine eşdeğerdir. x=0 Ve x + b = 0. Denklem x + b = 0 doğrusal ve kökü: x = - b bir.

tanım 7

Böylece, tamamlanmamış ikinci dereceden denklem bir x 2 + b x = 0 iki kökü olacak x=0 Ve x = - b bir.

Malzemeyi bir örnekle pekiştirelim.

Örnek 5

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 denkleminin çözümünü bulmak gerekir.

Çözüm

hadi çıkaralım X parantezlerin dışında ve x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 denklemini elde edin. Bu denklem denklemlere eşdeğerdir x=0 ve 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Şimdi ortaya çıkan doğrusal denklemi çözmelisiniz: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Kısaca denklemin çözümünü aşağıdaki gibi yazalım:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 veya 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 veya x = 3 3 7

Cevap: x = 0 , x = 3 3 7 .

Diskriminant, ikinci dereceden bir denklemin köklerinin formülü

İkinci dereceden denklemlere bir çözüm bulmak için bir kök formül vardır:

tanım 8

x = - b ± D 2 a, burada D = b 2 - 4 bir c ikinci dereceden bir denklemin sözde ayırt edicisidir.

X \u003d - b ± D 2 a yazmak, esasen x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a anlamına gelir.

Belirtilen formülün nasıl elde edildiğini ve nasıl uygulanacağını anlamak faydalı olacaktır.

İkinci dereceden bir denklemin köklerinin formülünün türetilmesi

İkinci dereceden bir denklemi çözme göreviyle karşı karşıya olduğumuzu varsayalım. bir x 2 + b x + c = 0. Bir dizi eşdeğer dönüşüm gerçekleştirelim:

denklemin her iki tarafını da sayıya bölmek A, sıfırdan farklı olarak indirgenmiş ikinci dereceden denklemi elde ederiz: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
elde edilen denklemin sol tarafındaki tam kareyi seçin:
x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
Bundan sonra denklem şu şekli alacaktır: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
şimdi son iki terimi sağ tarafa aktarmak, işareti tersine çevirmek mümkündür, bundan sonra şunu elde ederiz: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
son olarak son eşitliğin sağ tarafında yazan ifadeyi dönüştürüyoruz:
b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Böylece, orijinal denklemin eşdeğeri olan x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 denklemine geldik. bir x 2 + b x + c = 0.

Bu tür denklemlerin çözümünü önceki paragraflarda tartışmıştık (tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü). Halihazırda kazanılan deneyim, x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 denkleminin kökleri hakkında bir sonuç çıkarmayı mümkün kılar:

b 2 - 4 a c 4 a 2 için< 0 уравнение не имеет действительных решений;
b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 için, denklem x + b 2 · a 2 = 0, ardından x + b 2 · a = 0 şeklindedir.

Buradan, x = - b 2 · a'nın tek kökü açıktır;

b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0 için doğru olan: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 veya x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , ki bu x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 veya x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 ile aynı , yani denklemin iki kökü vardır.

x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 denkleminin köklerinin varlığının veya yokluğunun (ve dolayısıyla orijinal denklemin) b 2 - 4 a c ifadesinin işaretine bağlı olduğu sonucuna varmak mümkündür. 4 · sağ tarafta yazılı bir 2. Ve bu ifadenin işareti payın işaretiyle verilir, (payda 4 ve 2 her zaman pozitif olacaktır), yani ifadenin işareti b 2 − 4 bir c. Bu ifade b 2 − 4 bir c bir isim verilir - ikinci dereceden bir denklemin ayırt edicisi ve D harfi onun tanımı olarak tanımlanır. Burada ayrımcının özünü yazabilirsiniz - değeri ve işaretiyle, ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri olup olmayacağı ve eğer öyleyse, kaç kök - bir veya iki olduğu sonucuna varırlar.

x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 denklemine geri dönelim. Diskriminant gösterimini kullanarak yeniden yazalım: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Sonuçları tekrar özetleyelim:

tanım 9

de D< 0 denklemin gerçek kökleri yoktur;
de D=0 denklemin tek bir kökü vardır x = - b 2 · a ;
de D > 0 denklemin iki kökü vardır: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 veya x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Radikallerin özelliklerine göre bu kökler şu şekilde yazılabilir: x \u003d - b 2 a + D 2 a veya - b 2 a - D 2 a. Ve modülleri açıp kesirleri ortak bir paydaya indirdiğimizde, şunu elde ederiz: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Dolayısıyla, muhakememizin sonucu, ikinci dereceden denklemin kökleri için formülün türetilmesiydi:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , ayırt edici D formül ile hesaplanır D = b 2 - 4 bir c.

Bu formüller, diskriminant sıfırdan büyük olduğunda her iki gerçek kökü de belirlemeyi mümkün kılar. Diskriminant sıfır olduğunda, her iki formülün uygulanması, ikinci dereceden denklemin tek çözümü olarak aynı kökü verecektir. Ayırt edicinin negatif olması durumunda, ikinci dereceden kök formülünü kullanmaya çalışırken, bizi gerçek sayıların ötesine taşıyacak olan negatif bir sayının karekökünü çıkarma ihtiyacı ile karşı karşıya kalacağız. Negatif bir ayırt edici ile, ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri olmayacaktır, ancak elde ettiğimiz aynı kök formüllerle belirlenen bir çift karmaşık eşlenik kök mümkündür.

Kök formülleri kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözmek için algoritma

Hemen kök formülü kullanarak ikinci dereceden bir denklemi çözmek mümkündür, ancak temelde bu, karmaşık kökleri bulmak gerektiğinde yapılır.

Çoğu durumda, arama genellikle karmaşık değil, ikinci dereceden bir denklemin gerçek kökleri içindir. İkinci dereceden denklemin kökleri için formülleri kullanmadan önce, önce ayırıcıyı belirlemek ve negatif olmadığından emin olmak (aksi takdirde denklemin gerçek kökleri olmadığı sonucuna varırız) ve sonra hesaplamaya devam etmek en uygunudur. köklerin değeri.

Yukarıdaki akıl yürütme, ikinci dereceden bir denklemi çözmek için bir algoritma formüle etmeyi mümkün kılar.

Tanım 10

İkinci dereceden bir denklemi çözmek için bir x 2 + b x + c = 0, gerekli:

formüle göre D = b 2 - 4 bir c ayırt edicinin değerini bulun;
D'de< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
D = 0 için x = - b 2 · a formülüne göre denklemin tek kökünü bulun;
D > 0 için, x = - b ± D 2 · a formülüne göre ikinci dereceden denklemin iki gerçek kökünü belirleyin.

Diskriminant sıfır olduğunda, x = - b ± D 2 · a formülünü kullanabilirsiniz, bunun x = - b 2 · a formülüyle aynı sonucu vereceğini unutmayın.

Örnekleri düşünün.

İkinci dereceden denklem çözme örnekleri

Ayrımcının çeşitli değerleri için örneklerin çözümünü sunuyoruz.

Örnek 6

Denklemin köklerini bulmak gerekiyor x 2 + 2 x - 6 = 0.

Çözüm

İkinci dereceden denklemin sayısal katsayılarını yazıyoruz: a \u003d 1, b \u003d 2 ve c = - 6. Ardından, algoritmaya göre hareket ediyoruz, yani. a , b katsayılarını yerine koyduğumuz diskriminantı hesaplamaya başlayalım Ve C ayrımcı formülde: D = b 2 − 4 bir c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

D > 0 elde ettik, yani orijinal denklemin iki gerçek kökü olacak.
Bunları bulmak için x \u003d - b ± D 2 · a kök formülünü kullanırız ve uygun değerleri değiştirerek şunu elde ederiz: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Ortaya çıkan ifadeyi kökün işaretinden çarpanı alarak ve ardından kesri indirgeyerek basitleştiririz:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 veya x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 veya x = - 1 - 7

Cevap: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Örnek 7

İkinci dereceden bir denklemi çözmek gereklidir - 4 x 2 + 28 x - 49 = 0.

Çözüm

Ayrımcıyı tanımlayalım: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Diskriminantın bu değeriyle, orijinal denklemin x = - b 2 · a formülüyle belirlenen yalnızca bir kökü olacaktır.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Cevap: x = 3, 5.

Örnek 8

Denklemi çözmek gerekli 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Çözüm

Bu denklemin sayısal katsayıları şöyle olacaktır: a = 5 , b = 6 ve c = 2 . Ayırt ediciyi bulmak için şu değerleri kullanırız: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Hesaplanan ayırt edici negatiftir, bu nedenle orijinal ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri yoktur.

Görevin karmaşık kökleri belirtmek olduğu durumda, karmaşık sayılarla işlemler gerçekleştirerek kök formülü uygularız:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 ben 10 veya x \u003d - 6 - 2 ben 10,

x = - 3 5 + 1 5 ben veya x = - 3 5 - 1 5 ben .

Cevap: gerçek kökler yoktur; karmaşık kökler şunlardır: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

Okul müfredatında standart olarak karmaşık kökler aranma zorunluluğu yoktur, bu nedenle karar sırasında ayrımcı olumsuz olarak tanımlanırsa, gerçek kökler olmadığı yanıtı hemen kaydedilir.

Çift ikinci katsayılar için kök formül

x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) kök formülü, daha kompakt başka bir formül elde etmeyi mümkün kılar ve x'te çift katsayılı (veya katsayılı) ikinci dereceden denklemlere çözüm bulmanızı sağlar 2 ve n biçiminde, örneğin 2 3 veya 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Bu formülün nasıl elde edildiğini gösterelim.

İkinci dereceden a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 denkleminin çözümünü bulma göreviyle karşı karşıya olduğumuzu varsayalım. Algoritmaya göre hareket ediyoruz: D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) ayrımcısını belirliyoruz ve ardından kök formülü kullanıyoruz:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · CA .

n 2 − a c ifadesinin D 1 olarak gösterilmesine izin verin (bazen D "ile gösterilir). Ardından, ikinci katsayı 2 n ile dikkate alınan ikinci dereceden denklemin kökleri için formül şu şekli alacaktır:

x \u003d - n ± D 1 a, burada D 1 \u003d n 2 - a c.

D = 4 · D1 veya D1 = D4 olduğunu görmek kolaydır. Başka bir deyişle, D 1 diskriminantın dörtte biridir. Açıkçası, D 1'in işareti D'nin işaretiyle aynıdır, bu da D 1'in işaretinin ikinci dereceden bir denklemin köklerinin varlığının veya yokluğunun bir göstergesi olarak da hizmet edebileceği anlamına gelir.

Tanım 11

Bu nedenle, ikinci katsayı 2 n olan ikinci dereceden bir denklemin çözümünü bulmak için gereklidir:

bul D 1 = n 2 − bir c ;
D 1'de< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
D 1 = 0 için, denklemin tek kökünü x = - n a formülüyle belirleyin;
D 1 > 0 için, x = - n ± D 1 a formülünü kullanarak iki gerçek kök belirleyin.

Örnek 9

5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0 ikinci dereceden denklemi çözmek gerekir.

Çözüm

Verilen denklemin ikinci katsayısı 2 · (− 3) olarak gösterilebilir. Daha sonra verilen ikinci dereceden denklemi 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , burada a = 5 , n = − 3 ve c = − 32 olarak yeniden yazarız.

Diskriminantın dördüncü kısmını hesaplayalım: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Ortaya çıkan değer pozitiftir, yani denklemin iki gerçek kökü vardır. Bunları karşılık gelen kök formülü ile tanımlarız:

x = - n ± D 1 bir , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 veya x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 veya x = - 2

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için bilinen formülü kullanarak hesaplamalar yapmak mümkün olacaktır, ancak bu durumda çözüm daha külfetli olacaktır.

Cevap: x = 3 1 5 veya x = - 2 .

İkinci dereceden denklem formunun basitleştirilmesi

Bazen, kökleri hesaplama sürecini basitleştirecek olan orijinal denklemin biçimini optimize etmek mümkündür.

Örneğin, 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 ikinci dereceden denklemi çözmek için 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0'dan açıkça daha uygundur.

Daha sıklıkla, ikinci dereceden bir denklem formunun basitleştirilmesi, her iki parçasını da belirli bir sayı ile çarparak veya bölerek gerçekleştirilir. Örneğin, yukarıda 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 denkleminin her iki parçasını da 100'e bölerek elde edilen basitleştirilmiş bir temsilini gösterdik.

Böyle bir dönüşüm, ikinci dereceden denklemin katsayıları görece asal sayılar olmadığında mümkündür. Daha sonra, genellikle denklemin her iki kısmı da katsayılarının mutlak değerlerinin en büyük ortak bölenine bölünür.

Örnek olarak, 12 x 2 − 42 x + 48 = 0 ikinci dereceden denklemi kullanıyoruz. Katsayılarının mutlak değerlerinin ebob'unu tanımlayalım: ebob (12 , 42 , 48) = ebob(OBEB (12 , 42) , 48) = ebob (6 , 48) = 6 . Orijinal ikinci dereceden denklemin her iki tarafını da 6'ya bölelim ve eşdeğer ikinci dereceden denklemi elde edelim 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

İkinci dereceden bir denklemin her iki tarafını çarpmak genellikle kesirli oranlar. Bu durumda, katsayılarının paydalarının en küçük ortak katıyla çarpın. Örneğin, 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 ikinci dereceden denklemin her bir kısmı LCM (6, 3, 1) \u003d 6 ile çarpılırsa, daha basit bir biçimde yazılacaktır x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Son olarak, her iki parçayı - 1 ile çarparak (veya bölerek) elde edilen denklemin her bir teriminin işaretlerini değiştirerek, ikinci dereceden denklemin ilk katsayısındaki eksiden neredeyse her zaman kurtulduğumuzu not ediyoruz. Örneğin, ikinci dereceden denklemden - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, basitleştirilmiş versiyonu 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0'a gidebilirsiniz.

Kökler ve katsayılar arasındaki ilişki

İkinci dereceden denklemlerin kökleri için zaten bilinen x = - b ± D 2 · a formülü, denklemin köklerini sayısal katsayıları cinsinden ifade eder. Bu formüle dayanarak, kökler ve katsayılar arasında başka bağımlılıklar belirleme olanağına sahibiz.

En ünlü ve uygulanabilir olan, Vieta teoreminin formülleridir:

x 1 + x 2 \u003d - b a ve x 2 \u003d c a.

Özellikle verilen ikinci dereceden denklem için köklerin toplamı ters işaretli ikinci katsayıdır ve köklerin çarpımı serbest terime eşittir. Örneğin, 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0 ikinci dereceden denklem biçiminde, köklerinin toplamının 7 3 ve köklerin çarpımının 22 3 olduğunu hemen belirlemek mümkündür.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri ve katsayıları arasında bir dizi başka ilişki de bulabilirsiniz. Örneğin, ikinci dereceden bir denklemin köklerinin karelerinin toplamı katsayılar cinsinden ifade edilebilir:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

"Transfer" yöntemini kullanarak denklemleri çözme

İkinci dereceden denklemi düşünün

ax 2 + bx + c \u003d 0, nerede a? 0.

Her iki kısmını da a ile çarparak denklemi elde ederiz.

2 x 2 + abx + ac = 0.

x = y/a olduğu için ax = y olsun; sonra denkleme geliyoruz

y 2 + by + ac = 0,

buna eşdeğer. Köklerini 1 ve 2'de Vieta teoremini kullanarak buluyoruz.

Sonunda x 1 = y 1 /a ve x 1 = y 2 /a elde ederiz. Bu yöntemle katsayı a, serbest terim ile çarpılır, sanki ona “aktarılır”, bu nedenle “aktarma” yöntemi olarak adlandırılır. Bu yöntem, Vieta teoremini kullanarak bir denklemin köklerini bulmak kolay olduğunda ve en önemlisi, diskriminant tam bir kare olduğunda kullanılır.

* Örnek.

2x 2 - 11x + 15 = 0 denklemini çözüyoruz.

Çözüm. 2 katsayısını serbest terime "aktaralım", sonuç olarak denklemi elde ederiz

y 2 - 11y + 30 = 0.

Vieta teoremine göre

y 1 = 5 x 1 = 5/2 x 1 = 2,5

y 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Cevap: 2.5; 3.