Kesirli-rasyonel bir fonksiyonun integrali.
belirsiz katsayılar yöntemi

Kesirleri entegre etmeye devam ediyoruz. Derste bazı kesir türlerinin integrallerini zaten ele aldık ve bu ders bir anlamda bir devam olarak kabul edilebilir. Malzemeyi başarılı bir şekilde anlamak için temel entegrasyon becerileri gereklidir, bu nedenle integralleri incelemeye yeni başladıysanız, yani bir çaydanlıksanız, o zaman makaleyle başlamanız gerekir. belirsiz integral Çözüm örnekleri.

İşin garibi, şimdi integral bulmakla o kadar ilgilenmeyeceğiz ... doğrusal denklem sistemlerini çözmek. Bu bağlamda şiddetle Dersi ziyaret etmenizi tavsiye ederim Yani, ikame yöntemleri ("okul" yöntemi ve sistem denklemlerinin terim terim toplama (çıkarma) yöntemi) konusunda bilgili olmanız gerekir.

Kesirli rasyonel fonksiyon nedir? Basit kelimelerle, kesirli-rasyonel bir fonksiyon, payda ve paydada polinomlar veya polinomların çarpımı olan bir kesirdir. Aynı zamanda kesirler, makalede tartışılanlardan daha karmaşıktır. Bazı kesirlerin entegrasyonu.

Doğru kesirli-rasyonel fonksiyonun entegrasyonu

Kesirli bir rasyonel fonksiyonun integralini çözmek için hemen bir örnek ve tipik bir algoritma.

örnek 1

Aşama 1. Rasyonel-kesirli bir fonksiyonun integralini çözerken HER ZAMAN yaptığımız ilk şey şu soruyu sormaktır: kesir doğru mu? Bu adım sözlü olarak yapılır ve şimdi nasıl yapılacağını açıklayacağım:

Önce paya bakın ve öğrenin kıdemli derece polinom:

Payın en büyük kuvveti ikidir.

Şimdi paydaya bakın ve öğrenin kıdemli derece payda. Açık yol, parantezleri açıp benzer terimler getirmektir, ancak bunu daha kolay yapabilirsiniz. her biri parantez en yüksek dereceyi bul

ve zihinsel olarak çarpın: - böylece, paydanın en yüksek derecesi üçe eşittir. Parantezleri gerçekten açarsak, o zaman üçten büyük bir derece alamayacağımız çok açık.

Çözüm: Payın en yüksek gücü KESİNLİKLE paydanın en yüksek kuvvetinden küçükse, kesir doğrudur.

Bu örnekte pay bir polinom 3, 4, 5 vb. içeriyorsa. derece, o zaman kesir olur yanlış.

Şimdi sadece uygun kesirli-rasyonel fonksiyonları ele alacağız. Payın derecesinin paydanın derecesinden büyük veya ona eşit olduğu durumu dersin sonunda analiz edeceğiz.

Adım 2 Paydayı çarpanlarına ayıralım. Paydamıza bakalım:

Genel olarak konuşursak, burada zaten faktörlerin bir ürünü var, ancak yine de kendimize soruyoruz: başka bir şeyi genişletmek mümkün mü? İşkence nesnesi, elbette, kare üçlü olacaktır. biz karar veririz ikinci dereceden denklem:

Ayrımcı sıfırdan büyüktür, bu da üç terimlinin gerçekten çarpanlara ayrıldığı anlamına gelir:

Genel kural: Paydada bulunan HER ŞEY çarpanlarına ayrılabilir - çarpanlara ayır

Bir karar vermeye başlayalım:

Aşama 3 Belirsiz katsayılar yöntemini kullanarak, integrali basit (temel) kesirlerin toplamına genişletiriz. Şimdi daha net olacak.

İntegrand fonksiyonumuza bakalım:

Ve bilirsiniz, büyük kesirimizi birkaç küçüğe dönüştürmenin iyi olacağına dair sezgisel bir düşünce bir şekilde gözden kaçar. Örneğin, bunun gibi:

Soru ortaya çıkıyor, bunu yapmak mümkün mü? Rahat bir nefes alalım, ilgili matematiksel analiz teoremi - MÜMKÜNDÜR. Böyle bir ayrıştırma vardır ve benzersizdir.

Sadece bir yakalama var, katsayılar Hoşçakal Bilmiyoruz, dolayısıyla adı - belirsiz katsayılar yöntemi.

Bunu tahmin ettiniz, sonraki hareketler bu yüzden kıkırdama! sadece onları ÖĞRENMEK - neye eşit olduklarını bulmak için hedeflenecektir.

Dikkatli olun, bir kez ayrıntılı olarak açıklarım!

Öyleyse, dans etmeye başlayalım:

Sol tarafta ifadeyi ortak bir paydaya getiriyoruz:

Şimdi paydalardan güvenli bir şekilde kurtuluyoruz (çünkü aynılar):

Sol tarafta parantezleri açıyoruz henüz bilinmeyen katsayılara dokunmamışken:

Aynı zamanda, polinomları çarpmak için okul kuralını tekrarlıyoruz. Öğretmenken bu kuralı asık suratla söylemeyi öğrendim: Bir polinomu bir polinomla çarpmak için, bir polinomun her terimini diğer polinomun her terimiyle çarpmanız gerekir..

Net bir açıklama açısından, katsayıları parantez içine almak daha iyidir (ancak ben şahsen bunu zaman kazanmak için asla yapmam):

Bir doğrusal denklem sistemi oluşturuyoruz.
İlk olarak, üst düzey dereceleri ararız:

Ve karşılık gelen katsayıları sistemin ilk denklemine yazıyoruz:

Aşağıdaki nüansı iyi hatırla. Sağ taraf hiç olmasaydı ne olurdu? Söylesene, herhangi bir kare olmadan gösteriş yapar mıydı? Bu durumda sistemin denkleminde sağa sıfır koymak gerekir: . Neden sıfır? Ve sağ tarafta aynı kareye her zaman sıfır atfedebileceğiniz için: Sağ tarafta değişken veya (ve) serbest terim yoksa, o zaman sistemin karşılık gelen denklemlerinin sağ taraflarına sıfırlar koyarız.

Karşılık gelen katsayıları sistemin ikinci denkleminde yazıyoruz:

Ve son olarak maden suyu, ücretsiz üyeler seçiyoruz.

Eh, ... şaka yapıyordum. Şaka bir yana - matematik ciddi bir bilimdir. Enstitü grubumuzda, yardımcı doçent üyeleri bir sayı doğrusuna dağıtıp en büyüğünü seçeceğini söylediğinde kimse gülmedi. Hadi ciddileşelim. Yine de ... kim yaşarsa bu dersin sonunu görecek kadar sessizce gülümseyecektir.

Sistem hazır:

Sistemi çözüyoruz:

(1) Birinci denklemden ifade edip sistemin 2. ve 3. denklemlerinde yerine koyuyoruz. Aslında, başka bir denklemden (veya başka bir harften) ifade etmek mümkündü, ancak bu durumda 1. denklemden ifade etmek avantajlıdır, çünkü orada en küçük ihtimal.

(2) Benzer terimleri 2. ve 3. denklemlerde sunuyoruz.

(3) 2. ve 3. denklemleri terim terim toplayarak eşitliği elde ederiz.

(4) Bulduğumuz ikinci (veya üçüncü) denklemde yerine koyarız

(5) İlk denklemde ve yerine koyuyoruz, elde ediyoruz.

Sistemi çözme yöntemleriyle ilgili herhangi bir sorununuz varsa, bunları sınıfta çözün. Lineer denklem sistemi nasıl çözülür?

Sistemi çözdükten sonra, bir kontrol yapmak - bulunan değerleri yerine koymak her zaman yararlıdır. her birinde sistemin denklemi, sonuç olarak, her şey "yakınsamalıdır".

Neredeyse geldi. Katsayılar bulunurken:

Temiz bir iş şöyle görünmelidir:

Gördüğünüz gibi, görevin ana zorluğu bir doğrusal denklem sistemi oluşturmak (doğru!) ve çözmek (doğru!) idi. Ve son aşamada, her şey o kadar zor değil: belirsiz integralin doğrusallığının özelliklerini kullanıyoruz ve integral alıyoruz. Üç integralin her birinin altında "serbest" bir karmaşık fonksiyona sahip olduğumuza dikkatinizi çekiyorum, derste entegrasyonun özelliklerinden bahsettim. belirsiz integralde değişken değiştirme yöntemi.

Kontrol edin: Cevabı ayırt edin:

Orijinal integral elde edildi, yani integral doğru bulundu.
Doğrulama sırasında ifadeyi ortak bir paydaya getirmek gerekiyordu ve bu tesadüfi değil. Belirsiz katsayılar yöntemi ve ifadeyi ortak bir paydaya getirmek, karşılıklı ters eylemlerdir.

Örnek 2

Belirsiz integrali bulun.

İlk örnekteki kesre geri dönelim: . Paydada tüm faktörlerin FARKLI olduğunu görmek kolaydır. Örneğin, böyle bir kesir verilirse ne yapılacağı sorusu ortaya çıkar: ? Burada paydada derecelerimiz var veya matematiksel terimlerle, çoklu faktörler. Ek olarak, ayrıştırılamaz bir kare üç terimli vardır (denklemin ayırt edicisinin olduğunu doğrulamak kolaydır negatiftir, bu nedenle üçlü terim hiçbir şekilde çarpanlarına ayrılamaz). Ne yapalım? Temel kesirlerin toplamına açılım şuna benzer: üstte bilinmeyen katsayılarla mı yoksa başka bir yolla mı?

Örnek 3

Bir işlev gönder

Aşama 1. Doğru bir kesre sahip olup olmadığımızı kontrol etme
Payın en yüksek gücü: 2
En yüksek payda: 8
, yani kesir doğrudur.

Adım 2 Paydada herhangi bir şey çarpanlara ayrılabilir mi? Açıkçası hayır, her şey zaten ortaya kondu. Kare üçlü terim, yukarıdaki nedenlerden dolayı bir çarpıma dönüşmez. İyi. Az iş.

Aşama 3 Kesirli-rasyonel bir fonksiyonu temel kesirlerin toplamı olarak gösterelim.
Bu durumda, ayrışma aşağıdaki forma sahiptir:

Paydamıza bakalım:
Kesirli-rasyonel bir işlevi temel kesirlerin toplamına ayrıştırırken, üç temel nokta ayırt edilebilir:

1) Payda birinci derecede “yalnız” bir faktör içeriyorsa (bizim durumumuzda), o zaman tepeye belirsiz bir katsayı koyarız (bizim durumumuzda). 1,2 numaralı örnekler yalnızca bu tür "yalnız" faktörlerden oluşuyordu.

2) Payda içeriyorsa çokluçarpan, o zaman aşağıdaki gibi ayrıştırmanız gerekir:
- yani, birinci dereceden n'inci dereceye kadar "x" in tüm derecelerini sırayla sıralayın. Örneğimizde iki çoklu faktör vardır: ve , verdiğim ayrıştırmaya tekrar bakın ve tam olarak bu kurala göre ayrıştırıldıklarından emin olun.

3) Payda, ikinci dereceden ayrıştırılamaz bir polinom içeriyorsa (bizim durumumuzda ), o zaman payda genişlerken, belirsiz katsayılı (bizim durumumuzda, belirsiz katsayılı ve ) doğrusal bir fonksiyon yazmanız gerekir.

Aslında 4. bir durum da var ama pratikte son derece nadir olduğu için bu konuda sessiz kalacağım.

Örnek 4

Bir işlev gönder katsayıları bilinmeyen temel kesirlerin toplamı olarak.

Bu bir kendin yap örneğidir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.
Algoritmayı kesinlikle takip edin!

Kesirli-rasyonel bir işlevi bir toplama ayırmanız gereken ilkeleri anladıysanız, söz konusu türdeki hemen hemen tüm integralleri çözebilirsiniz.

Örnek 5

Belirsiz integrali bulun.

Aşama 1. Açıkçası, kesir doğrudur:

Adım 2 Paydada herhangi bir şey çarpanlara ayrılabilir mi? Olabilmek. İşte küplerin toplamı . Kısaltılmış çarpma formülünü kullanarak paydayı çarpanlara ayırma

Aşama 3 Belirsiz katsayılar yöntemini kullanarak, integrali temel kesirlerin toplamına genişletiriz:

Polinomun ayrıştırılamaz olduğuna dikkat edin (ayrımcının negatif olduğunu kontrol edin), bu nedenle en üste, yalnızca tek bir harf değil, bilinmeyen katsayılara sahip doğrusal bir fonksiyon koyarız.

Kesri ortak bir paydaya getiriyoruz:

Sistemi oluşturup çözelim:

(1) Birinci denklemden, sistemin ikinci denklemine ifade edip yerine koyuyoruz (en rasyonel yol bu).

(2) Benzer terimleri ikinci denklemde sunuyoruz.

(3) Sistemin ikinci ve üçüncü denklemlerini terim terim ekliyoruz.

Sistem basit olduğundan, diğer tüm hesaplamalar prensip olarak sözlüdür.

(1) Bulunan katsayılara göre kesirlerin toplamını yazıyoruz.

(2) Belirsiz integralin doğrusallık özelliklerini kullanıyoruz. İkinci integralde ne oldu? Bu yöntemi dersin son paragrafında bulabilirsiniz. Bazı kesirlerin entegrasyonu.

(3) Bir kez daha doğrusallığın özelliklerini kullanıyoruz. Üçüncü integralde tam bir kare seçmeye başlıyoruz (dersin sondan bir önceki paragrafı) Bazı kesirlerin entegrasyonu).

(4) İkinci integrali alıyoruz, üçüncüde tam kareyi seçiyoruz.

(5) Üçüncü integrali alıyoruz. Hazır.

Rasyonel bir fonksiyon, payı ve paydası polinomlar veya polinomların çarpımı olan formun bir kesridir.

örnek 1 Adım 2

.

Belirsiz katsayıları, bu bireysel kesirde olmayan, ancak elde edilen diğer kesirlerde bulunan polinomlarla çarpıyoruz:

Parantezleri açıyoruz ve alınan orijinal integralin payını elde edilen ifadeye eşitliyoruz:

Eşitliğin her iki bölümünde de, x'in aynı kuvvetlerine sahip terimleri arıyoruz ve bunlardan bir denklem sistemi oluşturuyoruz:

.

Tüm x'leri iptal ediyoruz ve eşdeğer bir denklem sistemi elde ediyoruz:

.

Böylece, integralin basit kesirlerin toplamına son açılımı:

.

Örnek 2 Adım 2 1. adımda, paylarda belirsiz katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına orijinal kesrin aşağıdaki açılımını elde ettik:

.

Şimdi belirsiz katsayıları aramaya başlıyoruz. Bunu yapmak için, fonksiyon ifadesindeki orijinal kesrin payını, kesirlerin toplamını ortak bir paydaya indirdikten sonra elde edilen ifadenin payına eşitliyoruz:

Şimdi bir denklem sistemi oluşturmanız ve çözmeniz gerekiyor. Bunu yapmak için, değişkenin katsayılarını fonksiyonun orijinal ifadesinin payındaki uygun dereceye ve önceki adımda elde edilen ifadedeki benzer katsayılara eşitleriz:

Ortaya çıkan sistemi çözüyoruz:

yani buradan

.

Örnek 3 Adım 2 1. adımda, paylarda belirsiz katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına orijinal kesrin aşağıdaki açılımını elde ettik:

Belirsiz katsayılar aramaya başlıyoruz. Bunu yapmak için, fonksiyon ifadesindeki orijinal kesrin payını, kesirlerin toplamını ortak bir paydaya indirdikten sonra elde edilen ifadenin payına eşitliyoruz:

Önceki örneklerde olduğu gibi, bir denklem sistemi oluşturuyoruz:

x'leri azaltır ve eşdeğer bir denklem sistemi elde ederiz:

Sistemi çözerek, belirsiz katsayıların aşağıdaki değerlerini elde ederiz:

İntegrandın son açılımını basit kesirlerin toplamına alıyoruz:

.

Örnek 4 Adım 2 1. adımda, paylarda belirsiz katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına orijinal kesrin aşağıdaki açılımını elde ettik:

.

Orijinal kesrin payını, kesri basit kesirlerin toplamına ayrıştırdıktan ve bu toplamı ortak bir paydaya indirgedikten sonra elde edilen paydaki ifadeye nasıl eşitleyeceğimizi önceki örneklerden zaten biliyoruz. Bu nedenle, yalnızca kontrol için, ortaya çıkan denklem sistemini sunuyoruz:

Sistemi çözerek, belirsiz katsayıların aşağıdaki değerlerini elde ederiz:

İntegrandın son açılımını basit kesirlerin toplamına alıyoruz:

Örnek 5 Adım 2 1. adımda, paylarda belirsiz katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına orijinal kesrin aşağıdaki açılımını elde ettik:

.

Bu toplamı bağımsız olarak ortak bir paydaya getiriyoruz, bu ifadenin payını orijinal kesrin payına eşitliyoruz. Sonuç, aşağıdaki denklem sistemi olmalıdır:

Sistemi çözerek, belirsiz katsayıların aşağıdaki değerlerini elde ederiz:

.

İntegrandın son açılımını basit kesirlerin toplamına alıyoruz:

.

Örnek 6 Adım 2 1. adımda, paylarda belirsiz katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına orijinal kesrin aşağıdaki açılımını elde ettik:

Önceki örneklerde olduğu gibi bu miktarla aynı işlemleri gerçekleştiriyoruz. Sonuç, aşağıdaki denklem sistemi olmalıdır:

Sistemi çözerek, belirsiz katsayıların aşağıdaki değerlerini elde ederiz:

.

İntegrandın son açılımını basit kesirlerin toplamına alıyoruz:

.

Örnek 7 Adım 2 1. adımda, paylarda belirsiz katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına orijinal kesrin aşağıdaki açılımını elde ettik:

.

Elde edilen toplamla bilinen eylemlerden sonra, aşağıdaki denklem sistemi elde edilmelidir:

Sistemi çözerek, belirsiz katsayıların aşağıdaki değerlerini elde ederiz:

İntegrandın son açılımını basit kesirlerin toplamına alıyoruz:

.

Örnek 8 Adım 2 1. adımda, paylarda belirsiz katsayılara sahip basit kesirlerin toplamına orijinal kesrin aşağıdaki açılımını elde ettik:

.

Bir denklem sistemi elde etmek için halihazırda otomatikliğe getirilen eylemlerde bazı değişiklikler yapalım. Bazı durumlarda gereksiz hesaplamalardan kaçınmaya yardımcı olan yapay bir numara var. Kesirlerin toplamını ortak bir paydaya getirerek elde ederiz ve bu ifadenin payını orijinal kesrin payına eşitleyerek elde ederiz.

Yöntem, herhangi bir sayıda değişkenin mantıksal cebir fonksiyonlarını en aza indirmek için uygulanabilir.

Üç değişken durumunu ele alalım. Bir DNF'deki bir Boole işlevi, bir DNF'ye dahil edilebilecek tüm olası birleşik üyeler biçiminde temsil edilebilir:

burada kн(0,1) katsayılardır. Yöntem, elde edilen DNF minimum olacak şekilde katsayıların seçilmesinden oluşur.

Şimdi değişkenlerin tüm olası değerlerini 000'den 111'e ayarlarsak, katsayıları belirlemek için 2 n (2 3 =8) denklem elde ederiz. k:

Fonksiyonun sıfır değer aldığı kümeleri göz önünde bulundurarak, 0'a eşit olan katsayıları belirleyin ve sağ tarafı 1 olan denklemlerden silin. Her denklemde kalan katsayılardan bir katsayı eşittir. en küçük sıranın birleşimini belirleyen bir. Kalan katsayılar 0'a eşittir. Yani birim katsayılar k karşılık gelen minimum formu belirleyin.

Örnek. Belirli bir işlevi simge durumuna küçültme

değerler biliniyorsa:
;
;
;
;
;
;
;
.

Çözüm.

Sıfır katsayıları sildikten sonra şunu elde ederiz:

=1;

=1;

=1;

=1.

Katsayının birliğe eşitlenmesi , en küçük sıranın birleşimine karşılık gelir ve son dört denklemi 1'e dönüştürür ve ilk denklemde katsayının 1'e eşitlenmesi tavsiye edilir. . Katsayıların geri kalanı 0 olarak ayarlanır.

Cevap: küçültülmüş fonksiyon türü.

Unutulmamalıdır ki belirsiz katsayılar yöntemi, değişken sayısı az olduğunda ve 5-6'yı geçmediğinde etkilidir.

çok boyutlu küp

Bir fonksiyonun çok boyutlu bir küp biçimindeki grafik temsilini düşünün. Her köşe N-boyutlu küp, birim bileşene karşılık gelecek şekilde konulabilir.

İşaretli köşelerin alt kümesi, üzerine bir eşlemedir N Boole işlevinin -boyutlu küpü N SDNF'deki değişkenler.

İşlevi görüntülemek için N herhangi bir DNF'de sunulan değişkenler, mini terimleri ve öğeleri arasında bir yazışma oluşturmak gerekir N boyutlu küp.

Miniterm (n-1)-inci sıra
iki minitermin yapıştırılmasının sonucu olarak düşünülebilir N-inci sıra, yani

=

Açık N-boyutlu küp, bu, yalnızca koordinat değerlerinde farklılık gösteren iki köşenin değiştirilmesine karşılık gelir X Ben bu köşeleri bir kenarla birleştirmek (kenarın kendisine gelen köşeleri kapsadığı söylenir).

Böylece, minitermler ( N-1)-inci sıra, n boyutlu küpün kenarlarına karşılık gelir.

Benzer şekilde, mini terimlerin yazışmaları ( N-2)-inci dereceden yüzler N-boyutlu küp, her biri dört köşeyi (ve dört kenarı) kapsar.

Elementler N ile karakterize edilen boyutlu küp Sölçümler denir S-küpler.

Yani köşeler 0 küp, kenarlar 1 küp, yüzler 2 küp vb.

Özetle, mini terim ( n-S) fonksiyon için DNF sıralaması N değişkenler görüntülenir S-küp ve her biri S-cube, yalnızca köşelerine bağlı olan tüm bu daha düşük boyutlu küpleri kapsar.

Örnek. Şek. verilen eşleme

İşte kısa terimler
Ve
1 küp karşılık gelir ( S=3-2=1) ve mini terim X 3 2 küp olarak eşlendi ( S=3-1=2).

Yani, herhangi bir DNF eşlenir N boyutlu küp seti S-birimlerin bileşenlerine karşılık gelen tüm köşeleri kapsayan küpler (0-küp).

bileşenler. değişkenler için X 1 ,X 2 ,…X N ifade
birimin bileşeni denir ve
- sıfırın bileşeni ( ya demek , veya ).

Bu birlik bileşeni (sıfır), yalnızca tüm değişkenler bire (sıfır) eşit alınırsa elde edilen karşılık gelen bir değişken değerleri kümesiyle birliğe (sıfır) dönüşür ve olumsuzlukları - sıfıra (bir).

Örneğin: oluşturan birim
sete (1011) karşılık gelir ve sıfır bileşen
- ayarlayın (1001).

SD(K)NF, birliğin (sıfır) bileşenlerinin ayrışması (bağlaç) olduğu için, temsil ettiği Boole işlevinin olduğu iddia edilebilir. F(X 1 , X 2 ,…, X N) yalnızca değişken değer kümeleri için bir (sıfır) olur X 1 , X 2 ,…, X N bu kopyalara karşılık gelir. Diğer setlerde bu fonksiyon 0 (bir) olur.

Karşıt iddia da doğrudur; herhangi bir formül olarak temsil etmenin yolu bir tablo tarafından tanımlanan bir boole işlevi.

Bunu yapmak için, fonksiyonun bire (sıfır) eşit değer aldığı değişken değer kümelerine karşılık gelen bir (sıfır) bileşenlerinin ayrışmalarını (bağlaçlarını) yazmak gerekir.

Örneğin, tablo tarafından verilen işlev

karşılık

Ortaya çıkan ifadeler, mantık cebirinin özelliklerine göre başka bir forma dönüştürülebilir.

Sohbet ifadesi de doğrudur: eğer bazıları ayarlanırsa S-cubes, işlevin birim değerlerine karşılık gelen tüm köşelerin kümesini, ardından bunlara karşılık gelen ayrışmayı kapsar S-minitermlerin küpleri, verilen fonksiyonun DNF'deki ifadesidir.

Böyle bir set olduğu söyleniyor S-küpler (veya bunlara karşılık gelen mini terimler) işlevin bir örtüsünü oluşturur. Minimal bir form arzusu, sezgisel olarak böyle bir örtü arayışı olarak anlaşılır, sayı S-küpleri daha küçük olacak ve boyutları S- Daha. Minimum şekle karşılık gelen örtüye minimum örtü denir.

Örneğin, işlev için de=
kapsama minimum olmayan forma karşılık gelir:

pirinç bir) de=,

a şekil b)'deki kaplamalar de=
, pirinç c) de=
en az.

Pirinç. fonksiyon kapsamı de=:

a) minimum olmayan; b), c) minimum.

İşlev eşleme açık N-boyutlu açık ve basit bir şekilde N3. Dört değişkenin fonksiyonlarını ve ifadeye karşılık gelen minimum kapsamını gösteren, Şekil 1'de gösterildiği gibi dört boyutlu bir küp tasvir edilebilir. de=

için bu yöntemi kullanarak N>4 o kadar karmaşık yapılar gerektirir ki tüm avantajlarını kaybeder.

Eşitlik (I) bir özdeşliktir. Bir tamsayı biçimine indirgeyerek, 2 polinomun eşitliğini elde ederiz. Ancak böyle bir eşitlik, yalnızca bu polinomların terim terim eşit olması koşuluyla her zaman sağlanır.

Eşitliğin sol ve sağ taraflarında bulunan x'in aynı kuvvetlerindeki katsayıları eşitleyerek, çözülmesi gereken bilinmeyen katsayılar için bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz.

Herhangi bir uygun rasyonel kesir için açılım (I) her zaman var olduğundan, ortaya çıkan sistem her zaman uyumludur.

Bu katsayı bulma yöntemine belirsiz katsayılar yöntemi (katsayıları karşılaştırma yöntemi) denir.

Rasyonel bir fonksiyonun temel kesirlere ayrışmasına bir örnek verelim.

Örnek 6.6.27. Bir kesri temel kesirlere ayırın.

Son denklemi ikinci denklemle değiştir

Böylece,
.

x=2 ;

x=3 .

Meli; .

Kısmi değer yöntemi daha az emek gerektirir ve bu nedenle rasyonel kesirleri entegre ederken özel ilgiyi hak eder.

Paydanın kökleri yalnızca gerçekse, bilinmeyen katsayıları belirlemek için bu yöntemin kullanılması tavsiye edilir.

Diğer durumlarda, bilinmeyen katsayıları belirlemek için her iki yöntemi de birleştirebilirsiniz.

Yorum. Kısmi değerler yöntemi başka durumlar olduğunda da kullanılır, ancak burada kimliği ayırt etmek gerekir.

Bu nedenle, uygun rasyonel kesirleri entegre etmek için şunları yapabilmek yeterlidir:

1) temel kesirleri entegre edin;

2) rasyonel kesirleri temel olanlara ayrıştırın.

3. Rasyonel kesirlerin entegrasyonu

Rasyonel kesirleri entegre etme şeması:

Rasyonel kesirleri entegre etmek için ;

P(x) ve Q(x) gerçek katsayılı polinomlar olduğunda, sırayla üç adımı gerçekleştirin.

İlk adım. Kesir yanlışsa, yani P(x) payının derecesi, Q(x) paydasının derecesinden büyük veya ona eşitse, rasyonel kesrin tamsayı kısmı, payın paydaya bölünmesiyle ayırt edilir. bir polinomu bir polinomla bölme kuralına göre. Bundan sonra, rasyonel bir kesir toplam olarak yazılabilir:

1) ayırt edilen tamsayı kısmı - M(x) polinomu;

2) doğru artık kesir :

İkinci adım.

Uygun artık fraksiyon sonraki fraksiyonlara ayrıştırın.

Bunu yapmak için, Q(x)=0 denkleminin köklerini bulun ve Q(x) paydasını gerçek katsayılı birinci ve ikinci derecenin çarpanlarına ayırın:

Paydanın bu açılımında 1. derece çarpanlar gerçek köklere, 2. derece çarpanlar paralel eşlenik köklere karşılık gelir.

Q(x) paydasındaki x'in daha büyük bir derecesindeki katsayı 1'e eşit kabul edilebilir, çünkü bu her zaman P(x) ve Q(x)'i ona bölerek elde edilebilir.

Bundan sonra, uygun artık kesir en basitine (temel) ayrıştırılır.

Üçüncü adım. Seçilen tamsayı kısmının ve tüm temel kesirlerin integralleri bulunur (yukarıda tartışılan yöntemlerle), bunlar daha sonra eklenir.

Örnek 6.6.28.

İntegral işaretinin altında uygun olmayan bir rasyonel kesir vardır, çünkü payın derecesi paydanın derecesine eşittir, bu nedenle tüm kısmı seçiyoruz.

Herkese selamlar, sevgili arkadaşlar!

Tebrikler! Rasyonel kesirlerin entegrasyonundaki ana malzemeye güvenli bir şekilde ulaştık - belirsiz katsayılar yöntemi. Büyük ve kudretli.) Onun heybeti ve kudreti nedir? Ve çok yönlülüğünde yatıyor. Bilmek mantıklı, değil mi? Bu konuda birkaç ders olacağı konusunda sizi uyarıyorum. Çünkü konu çok uzun ve malzeme son derece önemli.)

Hemen söylemeliyim ki bugünkü derste (ve sonraki derslerde de) entegrasyonla o kadar çok ilgilenmeyeceğiz ... lineer denklem sistemlerini çözme! Evet evet! Yani sistemlerle ilgili sorunu olanlar, matrisleri, determinantları ve Cramer'in yöntemini tekrar ederler. Ve matrislerle sorun yaşayan yoldaşlar için, en azından sistemleri çözmek için en azından "okul" yöntemlerini - ikame yöntemi ve terim terim toplama / çıkarma yöntemini - hafızalarını yenilemeye çağırıyorum.

Tanışmamıza başlamak için filmi biraz geri sarıyoruz. Kısaca önceki derslere dönelim ve daha önce entegre ettiğimiz tüm kesirleri inceleyelim. Doğrudan, herhangi bir belirsiz katsayı yöntemi olmadan! İşte buradalar, bu kesirler. Onları üç gruba ayırdım.

Grup 1

Paydada - doğrusal fonksiyon ya kendi başına ya ölçüde. Tek kelimeyle, payda çarpımdır birebir aynı formun parantezleri (Ha).

Örneğin:

(x+4) 1 = (x+4)

(x-10) 2 = (x-10)(x-10)

(2x+5) 3 = (2x+5)(2x+5)(2x+5)

Ve benzeri. Bu arada parantezler sizi yanıltmasın. (4x+5) veya (2x+5) 3 katsayılı k içeri. Özünde aynı, formun parantezleri (Ha). Bunun için en k bu tür parantezlerden her zaman çıkarılabilir.

Bunun gibi:

Hepsi bu kadar.) Ve payda tam olarak ne olduğu önemli değil - sadece dx veya bir tür polinom. Payı her zaman parantezlerin kuvvetleriyle genişlettik. (x-a), büyük bir kesri küçüklerin toplamına çevirdi, (gerektiğinde) diferansiyelin altına bir dirsek getirdi ve entegre etti.

Grup 2

Bu kesirlerin ortak noktası nedir?

Ve ortak olan şey, tüm paydalarda kare üç terimlibalta 2 + bx+ C. Ama sadece değil, yani tek bir kopyada. Ve burada ayrımcının olumlu ya da olumsuz olması önemli değil.

Bu tür kesirler her zaman iki yoldan biriyle entegre edilmiştir - ya payı paydanın kuvvetlerine göre genişleterek ya da paydada tam bir kare alıp ardından değişkeni değiştirerek. Her şey belirli integrale bağlıdır.

Grup 3

Bunlar entegrasyon için en kötü kesirlerdi. Payda, ayrıştırılamaz bir kare üçlü terimdir ve hatta derece olarak N. Ama yine, tek bir kopyada. Çünkü paydada üçlü terim dışında başka çarpan yoktur. Böyle kesirler üzerinde entegre edilir. Ya doğrudan ya da paydadaki tam kareyi seçip değişkeni değiştirdikten sonra ona indirgenir.

Ancak, ne yazık ki, rasyonel kesirlerin tüm zengin çeşitliliği, sadece bu üç grupla sınırlı değildir.

Peki ya payda farklı parantez? Örneğin, şöyle bir şey:

(x-1)(x+1)(x+2)

Veya aynı zamanda parantez (Ha) ve bir kare üç terimli, şöyle bir şey (x-10)(x 2 -2x+17)? Ve diğer benzer durumlarda? İşte böyle durumlarda imdada yetişiyor. belirsiz katsayılar yöntemi!

Hemen söylemeliyim: şimdilik sadece doğru kesirler. Payın derecesinin paydanın derecesinden kesinlikle daha az olduğu olanlar. Uygunsuz kesirlerle nasıl başa çıkılacağı, kesirler bölümünde ayrıntılı olarak anlatılmıştır. Tüm parçayı (polinom) seçmek gereklidir. Payın köşesini paydaya bölerek veya payı genişleterek - dilediğiniz gibi. Ve örnek bile demonte edildi. Ve bir şekilde bir şekilde polinomu entegre ediyorsunuz. Zaten küçük değil.) Ama yanlış kesirler için örnekleri de çözeceğiz!

Şimdi birbirimizi tanıyalım. Yüksek matematik ders kitaplarının çoğundan farklı olarak, cebirin temel teoremi, Bezout teoremi, rasyonel bir kesrin en basit kesirlerin toplamına genişletilmesi hakkında kuru ve ağır bir teori ile tanışmaya başlamayacağız (bu kesirler üzerinde daha sonra duracağız) ve diğer sıkıcılık, ama basit bir örnekle başlayacağız.

Örneğin, aşağıdaki belirsiz integrali bulmamız gerekiyor:

İlk önce integrale bakın. Payda, üç parantezin ürünüdür:

(x-1)(x+3)(x+5)

Ve tüm parantezler farklı. Bu nedenle, payın paydanın kuvvetlerine göre genişletildiği eski teknolojimiz bu sefer çalışmıyor: payda hangi parantez vurgulanmalıdır? (x-1)? (x+3)? Net değil ... Paydadaki tam karenin seçimi de kasada değil: bir polinom var üçüncü derece (tüm parantezleri çarparsanız). Ne yapalım?

Kesirimize bakıldığında tamamen doğal bir istek uyanır... Kesinlikle karşı konulamaz! Büyük fraksiyonumuzdan, hangi rahatsız entegre edin, bir şekilde üç küçük yapın. En azından şöyle:

Bu tip neden aranıyor? Ve hepsi çünkü bu formda ilk kesirimiz zaten rahat entegre etmek! Her küçük kesrin paydasını ekleyin ve ileri.)

Böyle bir ayrışma elde etmek bile mümkün mü? Haberler iyi! Karşılık gelen matematik teoremi diyor ki - Evet yapabilirsin! Böyle bir ayrıştırma vardır ve benzersizdir.

Ancak bir sorun var: katsayılar A, İÇİNDE Ve İLE Biz Hoşçakal bilmiyoruz. Ve şimdi asıl görevimiz sadece onları tanımla. Harflerimizin neye eşit olduğunu öğrenin A, İÇİNDE Ve İLE. Dolayısıyla adı, yöntemi belirsiz katsayılar. Muhteşem yolculuğumuza başlayalım!

Yani, dans etmeye başladığımız eşitliğimiz var:

Sağdaki üç kesri de ortak bir paydaya getirelim ve şunu ekleyelim:

Artık paydaları güvenli bir şekilde atabilirsiniz (çünkü aynıdırlar) ve basitçe payları eşitleyebilirsiniz. Her şey her zamanki gibi

Sonraki adım tüm parantezleri aç(katsayılar A, İÇİNDE Ve İLE Hoşçakal dışarıda bırakmak daha iyi)

Ve şimdi (önemli!) tüm yapımızı sağ tarafa inşa ediyoruz kıdeme göre: önce x 2 ile tüm üyeleri bir yığın halinde topluyoruz, sonra - sadece x ile ve son olarak, ücretsiz üyeleri topluyoruz. Aslında, basitçe benzerlerini veriyoruz ve terimleri x'in kuvvetlerine göre gruplandırıyoruz.

Bunun gibi:

Ve şimdi sonucu anlıyoruz. Solda orijinal polinomumuz var. İkinci derece. İntegrandımızın payı. doğru da ikinci dereceden bir polinom. Burun bilinmeyen katsayılar Bu eşitliğin geçerli olması gerekir. tüm geçerli x değerleri. Soldaki ve sağdaki kesirler aynıydı (durumumuza göre)! Bu, onların pay ve (yani polinomlarımız) da aynıdır. Yani katsayılar x'in aynı güçleri ile bu polinomların sahip olması gerekir eşit ol!

En yüksek derece ile başlıyoruz. Meydandan. Bakalım ne tür katsayılarımız var? X 2 sol ve sağ. Sağda katsayıların toplamına sahibiz A+B+C, ve solda - bir ikili. Yani ilk denklemimiz var.

Yazıyoruz:

A+B+C = 2

Yemek yemek. İlk denklem yapılır.)

Sonra azalan bir yörünge boyunca ilerliyoruz - birinci derecede x olan terimlere bakıyoruz. Sağda x'te bizde var 8A+4B+2C. İyi. Ve solda x ile neyimiz var? Hm ... Solda, X ile hiç terim yok! Sadece 2x 2 - 3 vardır. Nasıl olunur? Çok basit! Bu, soldaki x'teki katsayıya sahip olduğumuz anlamına gelir. sıfıra eşittir! Sol tarafımızı şöyle yazabiliriz:

Ve ne? Her hakkımız var.) Buradan ikinci denklem şöyle görünür:

8 A+4 B+2 C = 0

Pratik olarak, hepsi bu. Serbest terimleri eşitlemeye devam ediyor:

15A-5B-3C = -3

Tek kelimeyle, x'in aynı güçlerinde katsayıların eşitlenmesi aşağıdaki şemaya göre gerçekleşir:

Eşitliklerimizin üçü de tatmin edilmelidir eşzamanlı. Bu nedenle, yazılı denklemlerimizden bir sistem oluşturuyoruz:

Çalışkan bir öğrenci için sistem en zoru değil - üç denklem ve üç bilinmeyen. İstediğiniz gibi karar verin. Determinantlı matrisler aracılığıyla Cramer yöntemini kullanabilirsiniz, Gauss yöntemini kullanabilirsiniz, hatta normal okul değiştirmeyi bile kullanabilirsiniz.

Başlangıç ​​olarak, bu sistemi kültür öğrencilerinin genellikle bu tür sistemleri çözdüğü şekilde çözeceğim. Yani, Cramer yöntemi.

Sistem matrisini derleyerek çözüme başlıyoruz. Size bu matrisin sadece oluşan bir tablo olduğunu hatırlatırım. bilinmeyenler için katsayılar.

İşte burada:

Her şeyden önce, hesaplıyoruz sistem matris belirleyicisi. Ya da kısaca, sistem tanımlayıcısı Genellikle Yunanca ∆ ("delta") harfi ile gösterilir:

Harika, sistem determinantı sıfır değil (-48≠0) . Doğrusal denklem sistemleri teorisinden, bu gerçek, sistemimizin tutarlı olduğu ve benzersiz bir çözümü vardır.

Bir sonraki adım hesaplamaktır bilinmeyenlerin belirleyicileri ∆A, ∆B, ∆C. Bu üç belirleyicinin her birinin, karşılık gelen bilinmeyenler için katsayılı sütunları bir serbest terimler sütunuyla değiştirerek sistemin ana belirleyicisinden elde edildiğini hatırlatırım.

Bu yüzden belirleyicileri oluşturuyoruz ve şunları göz önünde bulunduruyoruz:

Üçüncü dereceden determinantları hesaplama tekniğini burada ayrıntılı olarak açıklamayacağım. Ve sorma. Bu zaten konudan oldukça sapma olacaktır.) Konunun içinde olan, ne hakkında olduğunu anlıyor. Ve belki de bu üç belirleyiciyi tam olarak nasıl hesapladığımı zaten tahmin etmişsinizdir.)

Hepsi bu ve bitti.)

Kültürlü öğrenciler genellikle sistemlere bu şekilde karar verirler. Ama ... Tüm öğrenciler belirleyicilerle arkadaş değildir. Maalesef. Bazıları için, yüksek matematiğin bu basit kavramları sonsuza dek bir Çin harfi ve sisin içindeki gizemli bir canavar olarak kalır...

Pekala, özellikle bu tür kültürsüz öğrenciler için, daha tanıdık bir çözüm yolu öneriyorum - bilinmeyenlerin art arda ortadan kaldırılması yöntemi. Aslında bu, gelişmiş bir "okul" ikame yöntemidir. Sadece daha fazla adım olacak.) Ama öz aynı. Her şeyden önce, değişkeni hariç tutacağım İLE. Bunun için ifade edeceğim İLE birinci denklemden ve ikinci ve üçüncü yerine koyun:

Sadeleştiriyoruz, benzerlerini veriyoruz ve yeni bir sistem alıyoruz, zaten iki Bilinmeyen:

Artık bu yeni sistemde değişkenlerden birini diğeri cinsinden ifade etmek de mümkün. Ancak en dikkatli öğrenciler muhtemelen değişkenin önündeki katsayıların B – zıt. İki ve eksi iki. Bu nedenle, değişkeni ortadan kaldırmak için her iki denklemi bir araya getirmek çok uygun olacaktır. İÇİNDE ve sadece mektubu bırak A.

Sol ve sağ kısımları ekliyoruz, zihinsel olarak azaltıyoruz 2B Ve -2B ve denklemi sadece şuna göre çöz A:

Yemek yemek. Bulunan ilk katsayı: Bir = -1/24.

İkinci katsayıyı belirleyin İÇİNDE. Örneğin, üst denklemden:

Buradan şunu elde ederiz:

Harika. İkinci katsayı da bulunur: B = -15/8 . Hala bir mektup kaldı İLE. Bunu belirlemek için, en üstteki denklemi kullanırız, burada onu şu şekilde ifade ederiz: A Ve İÇİNDE:

Bu yüzden:

Tamam, şimdi her şey bitti. Bilinmeyen oranlar bulundu! Cramer aracılığıyla mı yoksa ikame yoluyla mı olduğu önemli değil. Ana, Sağ kurmak.)

Böylece, büyük bir kesri küçük kesirlerin toplamına genişletmemiz şöyle görünecektir:

Ortaya çıkan kesirli katsayıların kafanızı karıştırmasına izin vermeyin: bu prosedürde (belirsiz katsayılar yöntemi), bu en yaygın olaydır. :)

Ve şimdi katsayılarımızı doğru bulup bulmadığımızı kontrol etmek son derece arzu edilir. A, B Ve İLE. Şimdi bir taslak alıyoruz ve sekizinci sınıfı hatırlıyoruz - küçük kesirlerimizin üçünü de geri topluyoruz.

Orijinal büyük kesri alırsak, her şey yolunda demektir. Hayır, beni döv ve bir hata ara demek.

Ortak payda açıkça 24(x-1)(x+3)(x+5) olacaktır.

Gitmek:

Evet!!! Orijinal kesri alın. Kontrol edilmesi gereken şey buydu. Herşey iyi. Bu yüzden lütfen bana vurma.)

Ve şimdi orijinal integralimize geri dönüyoruz. O zamanlar hiç bu kadar kolay olmamıştı, evet. Ama şimdi fraksiyonumuz küçük parçalara bölündüğüne göre, onu entegre etmek gerçek bir zevk haline geldi!

Kendin için gör! Genişletmemizi orijinal integrale yerleştiriyoruz.

Biz:

Doğrusallığın özelliklerini kullanırız ve büyük integralimizi küçüklerin toplamına böleriz, integralin işaretleri dışındaki tüm sabitleri çıkarırız.

Biz:

Ve ortaya çıkan üç küçük integral zaten kolayca alınıyor .

Entegrasyona devam ediyoruz:

Hepsi bu kadar.) Ve bu derste bana cevapta logaritmaların nereden geldiğini sormayın! Kim hatırlar, o konunun içindedir ve her şeyi anlayacaktır. Ve kim hatırlamıyor - bağlantılar boyunca yürüyoruz. Sadece onları giymiyorum.

Son cevap:

İşte çok güzel bir üçlü: üç logaritma - bir korkak, deneyimli ve aptal. :) Ve deneyin, böyle kurnazca bir cevabı hemen tahmin edin! Sadece belirsiz katsayılar yöntemi yardımcı olur, evet.) Aslında bu amaçla araştırıyoruz. Ne, nasıl ve nerede.

Bir eğitim alıştırması olarak, yöntemi uygulamanızı ve aşağıdaki kesri entegre etmenizi öneririm:

Alıştırma yapın, integrali bulun, iş için almayın! Bunun gibi bir cevap almalısınız:

Belirsiz katsayılar yöntemi güçlü bir şeydir. Kesri yine de dönüştürdüğünüzde vb. En umutsuz durumda bile tasarruf sağlar. Ve burada, bazı dikkatli ve ilgili okuyucuların bir takım soruları olabilir:

- Ya paydadaki polinom hiç çarpanlarına ayrılmazsa?

- Herhangi bir büyük rasyonel kesrin küçük kesirlerin toplamına açılımı NASIL aranmalıdır? Herhangi bir biçimde? Neden bunda ve bunda değil?

- Paydanın genişlemesinde birden fazla faktör varsa ne olur? Veya (x-1) 2 gibi üslü parantezler? Ayrışmayı hangi biçimde aramalı?

- Ya, (x-a) biçimindeki basit parantezlere ek olarak, payda aynı anda ayrıştırılamaz bir kare üçlü terim içeriyorsa? Diyelim ki x 2 +4x+5 ? Ayrışmayı hangi biçimde aramalı?

Bacakların nereden büyüdüğünü iyice anlamanın zamanı geldi. bir sonraki derste.)