Polinomları çarpanlara ayırmak için parantezler, gruplandırma ve kısaltılmış çarpma formülleri kullandık. Bazen art arda birkaç yöntem uygulayarak bir polinomu çarpanlara ayırmak mümkündür. Bu durumda dönüşüm mümkünse parantez içindeki ortak çarpanı alınarak başlatılmalıdır.

örnek 1 10a 3 - 40a polinomunu çarpanlara ayıralım.

Çözüm: Bu polinomun terimlerinin ortak çarpanı 10a'dır. Bu faktörü parantezden çıkaralım:

10a 3 - 40a \u003d 10a (2 - 4).

a 2 - 4 ifadesine kareler farkı formülü uygulanarak çarpanlarına ayırma işlemine devam edilebilir. Sonuç olarak, faktör olarak daha düşük dereceli polinomlar elde ederiz.

10a (a 2 - 4) \u003d 10a (a + 2) (a - 2).

10a 3 - 40a \u003d 10a (a + 2) (a - 2).

Örnek 2 polinomu çarpanlara ayırma

ab 3 - 3b 3 + ab 2 y - Zb 2 y.

Çözüm:İlk olarak, ortak çarpan b2'yi parantezden çıkarıyoruz:

ab 3 - 3b 3 + ab 2 y - 3b 2 y = b 2 (ab - 3b + ay - 3y).

Şimdi polinomu çarpanlara ayırmaya çalışalım.

ab - 3b + ay - 3y.

Birinci terimi ikinci ve üçüncü terimi dördüncü ile gruplandırırsak,

ab - 3b + ay - Zu \u003d b (a - 3) + y (a - 3) \u003d (a - 3) (b + y).

Sonunda alırız

ab 3 - Zb 3 + ab 2 y - Zb 2 y \u003d b 2 (a - 3) (b + y).

Örnek 3 a 2 - 4ax - 9 + 4x 2 polinomunu çarpanlara ayıralım.

Çözüm: Polinomun birinci, ikinci ve dördüncü terimlerini gruplandıralım. Farkın karesi olarak gösterilebilen 2 - 4ax + 4x 2 trinomialini elde ederiz. Bu yüzden

2 - 4ax - 9 + 4x 2 \u003d (2 - 4ax + 4x 2) - 9 \u003d (a - 2x) 2 - 9.

Ortaya çıkan ifade, kareler farkı formülü kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir:

(a - 2x) 2 - 9 \u003d (a - 2x) 2 - Z 2 \u003d (a - 2x - 3) (a - 2x + 3).

Buradan,

a 2 - 4ax - 9 + 4x 2 \u003d (a - 2x - 3) (a - 2x + 3).

Bir polinomu çarpanlara ayırırken, en az iki faktörün sıfır olmayan dereceli polinomlar olduğu (yani, sayı olmadıkları) birkaç polinomun bir ürünü olarak temsilini kastettiğimize dikkat edin.

Her polinom çarpanlara ayrılamaz. Örneğin, x 2 + 1, 4x 2 - 2x + 1 vb. polinomları çarpanlara ayırmak imkansızdır.

Bir hesap makinesi kullanarak hesaplamaları basitleştirmek için çarpanlara ayırmanın kullanıldığı bir örneğe bakalım.

Örnek 4 Hesap makinesini kullanarak x = 1.2 için bx 3 + 2x 2 - 7x + 4 polinomunun değerini bulacağız.

Çözüm: Eylemleri kabul edilen sırada gerçekleştirirseniz, önce x 3 5, x 2 2 ve 7x ifadelerinin değerlerini bulmanız, sonuçları kağıda yazmanız veya hesap makinesinin belleğine girmeniz ve ardından devam etmeniz gerekir. toplama ve çıkarma. Ancak verilen polinom aşağıdaki gibi dönüştürülürse istenen sonuç çok daha kolay elde edilebilir:

bx 3 + 2x 2 - 7x + 4 \u003d (5x 2 + 2x - 7)x + 4 \u003d ((5x + 2)x - 7)x + 4.

x = 1.2 için hesaplamaları yaptıktan sonra polinomun değerinin 7.12 olduğunu buluyoruz.

Egzersizler

Kontrol soruları ve görevleri

1. Bir tamsayı ifadesi ve tamsayı olmayan bir ifade örneği verin.
2. 4x (3 - x) 2 + (x 2 - 4) (x + 4) ifadesinin tamamını bir polinom olarak temsil etmek için hangi eylemler ve hangi sırayla gerçekleştirilmelidir?
3. Polinomları çarpanlara ayırmanın hangi yöntemlerini biliyorsunuz?

Bir önceki derste, bir polinomun bir tek terimli ile çarpımını inceledik. Örneğin, bir tek terimli a ile bir polinom b + c'nin çarpımı şu şekilde bulunur:

a(b + c) = ab + bc

Ancak bazı durumlarda ortak çarpanı parantezden çıkarmak diyebileceğimiz ters işlemi yapmak daha uygundur:

ab + bc = a(b + c)

Örneğin, a = 15.6, b = 7.2, c = 2.8 değişkenlerinin değerleri ile ab + bc polinomunun değerini hesaplamamız gerektiğini varsayalım. Bunları doğrudan ifadede yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

ab + bc = 15,6 * 7,2 + 15,6 * 2,8

ab + bc = a(b + c) = 15,6 * (7,2 + 2,8) = 15,6 * 10 = 156

Bu durumda, ab + bc polinomunu iki faktörün ürünü olarak temsil ettik: a ve b + c. Bu eyleme bir polinomun çarpanlara ayrılması denir.

Ayrıca, polinomun ayrıştırıldığı faktörlerin her biri sırayla bir polinom veya tek terimli olabilir.

14ab - 63b 2 polinomunu düşünün. Kurucu tek terimlilerinin her biri bir ürün olarak temsil edilebilir:

Görüldüğü gibi her iki polinomun ortak çarpanı 7b'dir. Böylece, parantezlerden çıkarılabilir:

14ab - 63b 2 = 7b*2a - 7b*9b = 7b(2a-9b)

Ters işlemi kullanarak çarpanı parantezden çıkarmanın doğruluğunu kontrol edebilirsiniz - dirseği genişleterek:

7b(2a - 9b) = 7b*2a - 7b*9b = 14ab - 63b 2

Genellikle bir polinomun çeşitli şekillerde genişletilebileceğini anlamak önemlidir, örneğin:

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd) = c(5ab + 6bd) = bc(5a + 6d)

Genellikle, kabaca konuşursak, "en büyük" tek terimliye katlanmaya çalışırlar. Yani, polinom, kalan polinomdan daha fazla bir şey çıkarılamayacak şekilde düzenlenmiştir. Yani bölünürken

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd)

ortak çarpan c'ye sahip tek terimlilerin toplamı parantez içinde kalır. Onu da çıkarırsak, parantez içinde ortak çarpanlar olmaz:

b(5ac + 6cd) = bc(5a + 6d)

Tek terimliler için ortak çarpanları nasıl bulacağımızı daha ayrıntılı olarak inceleyelim. toplamı bölelim

8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10

Üç terimden oluşur. Öncelikle önlerindeki sayısal katsayılara bakalım. Bunlar 8, 12 ve 16. 6. sınıfın 3. dersinde OBEB konusu ve onu bulma algoritması ele alındı, bu en büyük ortak bölendir, neredeyse her zaman sözlü olarak alabilirsiniz. Ortak çarpanın sayısal katsayısı, polinom terimlerinin sayısal katsayılarının EBOB'u olacaktır. Bu durumda, sayı 4'tür.

Daha sonra, bu değişkenlerin derecelerine bakıyoruz. Ortak çarpanda, harflerin terimlerde meydana gelen minimum dereceleri olmalıdır. Yani, derece 3, 2 ve 4 (minimum 2) olan bir polinomdaki a değişkeni, dolayısıyla ortak çarpan a 2 olacaktır. b değişkeninin minimum derecesi 3'tür, dolayısıyla ortak çarpan b 3 olacaktır:

8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10 = 4a 2 b 3 (2ab + 3b 2 c + 4a 2 c 10)

Sonuç olarak, kalan 2ab, 3b 2 c, 4a 2 c 10 terimlerinin ortak harf değişkeni yoktur ve katsayıları 2, 3 ve 4'ün ortak bölenleri yoktur.

Sadece tek terimlileri değil, aynı zamanda polinomları da parantezlerden çıkarabilirsiniz. Örneğin:

x(a-5) + 2y(a-5) = (a-5)(x+2y)

Bir örnek daha. ifadeyi genişletmek gerekiyor

5t(8y - 3x) + 2s(3x - 8y)

Çözüm. Eksi işaretinin parantez içindeki işaretleri tersine çevirdiğini hatırlayın, yani

-(8y - 3x) = -8y + 3x = 3x - 8y

Böylece (3x - 8y)'yi - (8y - 3x) ile değiştirebilirsiniz:

5t(8y - 3x) + 2s(3x - 8y) = 5t(8y - 3x) + 2*(-1)s(8y - 3x) = (8y - 3x)(5t - 2s)

Cevap: (8y - 3x)(5t - 2s).

Parantezlerin önündeki işaret değiştirilerek çıkarılan ve azaltılanların birbirinin yerine geçebileceğini unutmayın:

(a - b) = - (b - a)

Tersi de doğrudur: Çıkarılan ve azaltılanlar aynı anda yeniden düzenlenirse, parantezlerin önündeki eksi kaldırılabilir:

Bu teknik genellikle problem çözmede kullanılır.

Gruplama yöntemi

Bir polinomu çarpanlara ayırmaya yardımcı olan başka bir polinomu çarpanlarına ayırma yöntemini düşünün. bir ifade olsun

ab - 5a + bc - 5c

Dört monom için ortak olan bir çarpanı çıkarmak mümkün değildir. Ancak, bu polinomu iki polinomun toplamı olarak gösterebilir ve her birinde parantez içindeki değişkeni alabilirsiniz:

ab - 5a + bc - 5c = (ab - 5a) + (bc - 5c) = a(b - 5) + c(b - 5)

Şimdi b - 5 ifadesini çıkarabilirsiniz:

a(b - 5) + c(b - 5) = (b - 5)(a + c)

Birinci terimi ikinci ile ve üçüncü terimi dördüncü ile "gruplandırdık". Bu nedenle, açıklanan yönteme gruplama yöntemi denir.

Örnek. 6xy + ab- 2bx- 3ay polinomunu açalım.

Çözüm. 1. ve 2. terimlerin ortak bölenleri olmadığı için gruplandırılması imkansızdır. Öyleyse tek terimlileri değiştirelim:

6xy + ab - 2bx - 3ay = 6xy - 2bx + ab - 3ay = (6xy - 2bx) + (ab - 3ay) = 2x(3y - b) + a(b - 3y)

3y - b ve b - 3y farkları yalnızca değişkenlerin sırasına göre farklılık gösterir. Parantezlerden birinde, eksi işaretini parantez dışına taşıyarak değiştirilebilir:

(b - 3y) = - (3y - b)

Bu ikameyi kullanıyoruz:

2x(3y - b) + a(b - 3y) = 2x(3y - b) - a(3y - b) = (3y - b)(2x - a)

Sonuç bir kimliktir:

6xy + ab - 2bx - 3ay = (3y - b)(2x - a)

Cevap: (3y - b)(2x - a)

Yalnızca iki terimi değil, genel olarak herhangi bir sayıda terimi gruplandırabilirsiniz. Örneğin, polinomda

x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z

ilk üç ve son 3 tek terimliyi gruplandırabilirsiniz:

x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z = (x 2 - 3xy + xz) + (2x - 6y + 2z) = x(x - 3y + z) + 2(x - 3y + z) = (x + 2)(x - 3y + z)

Şimdi artan karmaşıklık görevine bakalım

Örnek. Kare üçlü terim x 2 - 8x +15'i genişletin.

Çözüm. Bu polinom sadece 3 tek terimden oluşuyor ve bu nedenle göründüğü gibi gruplandırma yapılamıyor. Ancak, aşağıdaki değişikliği yapabilirsiniz:

Daha sonra orijinal üç terimli aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

x 2 - 8x + 15 = x 2 - 3x - 5x + 15

Terimleri gruplandıralım:

x 2 - 3x - 5x + 15 = (x 2 - 3x) + (- 5x + 15) = x(x - 3) - 5(x - 3) = (x - 5)(x - 3)

Cevap: (x - 5) (x - 3).

Tabii ki, yukarıdaki örnekte - 8x = - 3x - 5x değiştirmeyi tahmin etmek kolay değil. Farklı bir mantık çizgisi gösterelim. İkinci dereceden polinomu genişletmemiz gerekiyor. Hatırladığımız gibi, polinomları çarparken dereceleri toplanır. Bu, kare üç terimliyi iki çarpana ayırabilirsek, o zaman bunların 1. dereceden iki polinom olacağı anlamına gelir. Baş katsayıları 1'e eşit olan birinci dereceden iki polinomun çarpımını yazalım:

(x + a)(x + b) = x 2 + xa + xb + ab = x 2 + (a + b)x + ab

Burada a ve b bazı rasgele sayılardır. Bu çarpımın orijinal x 2 - 8x +15 üçlüsüne eşit olması için, değişkenler için uygun katsayıların seçilmesi gerekir:

Seçim yardımı ile a= - 3 ve b = - 5 sayılarının bu koşulu sağladığı belirlenebilir.

(x - 3)(x - 5) = x 2 * 8x + 15

parantezleri açarak doğrulanabilir.

Basit olması için, yalnızca 1. dereceden çarpılmış polinomların en yüksek katsayılarının 1'e eşit olduğu durumu ele aldık. Ancak bunlar, örneğin 0,5 ve 2'ye eşit olabilir. Bu durumda, genişleme biraz farklı görünecektir:

x 2 * 8x + 15 = (2x - 6)(0,5x - 2,5)

Ancak, ilk parantezdeki 2 faktörünü alıp ikinciyle çarparsak, orijinal açılımı elde ederiz:

(2x - 6)(0,5x - 2,5) = (x - 3) * 2 * (0,5x - 2,5) = (x - 3)(x - 5)

Ele alınan örnekte, kare üç terimliyi birinci dereceden iki polinomda ayrıştırdık. Gelecekte, bunu sık sık yapmak zorunda kalacağız. Bununla birlikte, örneğin bazı kare üçlü terimlerin,

bu şekilde polinomların bir ürününe ayrıştırmak imkansızdır. Bu daha sonra kanıtlanacak.

Polinomların çarpanlarına ayırma uygulaması

Bir polinomu çarpanlara ayırmak bazı işlemleri basitleştirebilir. İfadenin değerini değerlendirmek gerekli olsun

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9

Her terimin derecesi bir azalırken 2 sayısını alıyoruz:

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = 2(1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8)

toplamı belirtmek

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8

x için. O zaman yukarıdaki denklem yeniden yazılabilir:

x + 2 9 = 2(1 + x)

Denklemi bulduk, çözeceğiz (denklem dersine bakın):

x + 2 9 = 2(1 + x)

x + 2 9 = 2 + 2x

2x - x = 2 9 - 2

x = 512 - 2 = 510

Şimdi aradığımız miktarı x cinsinden ifade edelim:

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = x + 2 9 = 510 + 512 = 1022

Bu problemi çözerken 2 sayısını sadece 9'uncu kuvvete yükselttik ve polinomu çarpanlarına ayırarak diğer tüm üstel işlemleri hesaplamalardan çıkarmayı başardık. Aynı şekilde diğer benzer tutarlar için de hesaplama formülü yapabilirsiniz.

Şimdi ifadenin değerini hesaplayalım.

38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4

38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4 = 38.4 2 - 29.5 * 38.4 + 61.6 * 38.4 - 61.6 * 29.5 = 38.4(38.4 - 29.5) + 61.6(38.4 - 29.5) = (38.4 + 61.6)(38.4 - 29.5) = 8.9*100 = 890

81 4 - 9 7 + 3 12

73 ile bölünebilir. 9 ve 81 sayılarının üçün kuvvetleri olduğuna dikkat edin:

81 = 9 2 = (3 2) 2 = 3 4

Bunu bilerek, orijinal ifadede bir değişiklik yapacağız:

81 4 - 9 7 + 3 12 = (3 4) 4 - (3 2) 7 + 3 12 = 3 16 - 3 14 + 3 12

3 12'yi çıkaralım:

3 16 - 3 14 + 3 12 = 3 12 (3 4 - 3 2 + 1) = 3 12 * (81 - 9 + 1) = 3 12 * 73

3 12 .73 çarpımı 73'e bölünebilir (çünkü çarpanlardan biri ona bölünebilir), yani 81 4 - 9 7 + 3 12 ifadesi bu sayıya bölünebilir.

Faktoring, kimlikleri kanıtlamak için kullanılabilir. Örneğin, eşitliğin geçerliliğini kanıtlayalım.

(a 2 + 3a) 2 + 2(a 2 + 3a) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

Özdeşliği çözmek için, eşitliğin sol tarafını ortak çarpanı çıkararak dönüştürürüz:

(a 2 + 3a) 2 + 2(a 2 + 3a) = (a 2 + 3a)(a 2 + 3a) + 2(a 2 + 3a) = (a 2 + 3a)(a 2 + 3a + 2) )

(a 2 + 3a)(a 2 + 3a + 2) = (a 2 + 3a)(a 2 + 2a + a + 2) = (a 2 + 3a)((a 2 + 2a) + (a + 2) ) = (a 2 + 3a)(a(a + 2) + (a + 2)) = (a 2 + 3a)(a + 1)(a + 2) = a(a + 3)(a + z )(a + 2) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

Bir örnek daha. X ve y değişkenlerinin herhangi bir değeri için ifadenin olduğunu kanıtlayalım.

(x - y)(x + y) - 2x(x - y)

pozitif bir sayı değildir.

Çözüm. x - y ortak çarpanını çıkaralım:

(x - y)(x + y) - 2x(x - y) = (x - y)(x + y - 2x) = (x - y)(y - x)

Yalnızca x ve y harflerinin sırasına göre farklılık gösteren iki benzer iki terimlinin çarpımını elde ettiğimize dikkat edin. Parantezlerden birindeki değişkenleri değiştirirsek, iki özdeş ifadenin çarpımını, yani bir kareyi elde ederiz. Ancak x ve y'yi değiştirmek için parantezinin önüne bir eksi işareti koymanız gerekir:

(x - y) = -(y - x)

O zaman şunu yazabilirsiniz:

(x - y)(y - x) = -(y - x)(y - x) = -(y - x) 2

Bildiğiniz gibi, herhangi bir sayının karesi sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir. Bu, (y - x) 2 ifadesi için de geçerlidir. İfadeden önce bir eksi varsa, sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olmalıdır, yani pozitif bir sayı değildir.

Polinom açılımı bazı denklemlerin çözülmesine yardımcı olur. Bu, aşağıdaki ifadeyi kullanır:

Denklemin bir bölümünde sıfır, diğerinde faktörlerin ürünü varsa, o zaman her biri sıfıra eşitlenmelidir.

Örnek. (s - 1)(s + 1) = 0 denklemini çözün.

Çözüm. s - 1 ve s + 1 tek terimlilerinin çarpımı sol tarafa, sağ tarafa sıfır yazılır. Bu nedenle, s - 1 veya s + 1 sıfıra eşit olmalıdır:

(s - 1)(s + 1) = 0

s - 1 = 0 veya s + 1 = 0

s=1 veya s=-1

s değişkeninin elde edilen iki değerinden her biri denklemin köküdür, yani iki kökü vardır.

Cevap 1; 1.

Örnek. 5w 2 - 15w = 0 denklemini çözün.

Çözüm. 5w çıkaralım:

Yine sol tarafta ürün, sağ tarafta sıfır yazıyor. Çözüme devam edelim:

5w = 0 veya (w - 3) = 0

w=0 veya w=3

Cevap: 0; 3.

Örnek. k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0 denkleminin köklerini bulun.

Çözüm. Terimleri gruplandıralım:

k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0

(k 3 - 8k 2) + (3k - 24) = 0

k 2 (k - 8) + 3(k - 8) = 0

(k 3 + 3)(k - 8) = 0

k 2 + 3 = 0 veya k - 8 = 0

k 2 \u003d -3 veya k \u003d 8

Herhangi bir sayının karesi sıfırdan küçük olmadığı için k 2 = - 3 denkleminin çözümü olmadığına dikkat edin. Bu nedenle, orijinal denklemin tek kökü k = 8'dir.

Örnek. Denklemin köklerini bulun

(2u - 5)(u + 3) = 7u + 21

Çözüm: Tüm terimleri sol tarafa taşıyın ve ardından terimleri gruplandırın:

(2u - 5)(u + 3) = 7u + 21

(2u - 5)(u + 3) - 7u - 21 = 0

(2u - 5)(u + 3) - 7(u + 3) = 0

(2u - 5 - 7)(u + 3) = 0

(2u - 12)(u + 3) = 0

2u - 12 = 0 veya u + 3 = 0

u=6 veya u=-3

Cevap: - 3; 6.

Örnek. Denklemi çözün

(t 2 - 5t) 2 = 30t - 6t 2

(t 2 - 5t) 2 = 30t - 6t 2

(t 2 - 5t) 2 - (30t - 6t 2) = 0

(t 2 - 5t)(t 2 - 5t) + 6(t 2 - 5t) = 0

(t 2 - 5t)(t 2 - 5t + 6) = 0

t 2 - 5t = 0 veya t 2 - 5t + 6 = 0

t = 0 veya t - 5 = 0

t=0 veya t=5

Şimdi ikinci denkleme bir göz atalım. Önümüzde yine bir kare üçlü terim var. Gruplama yöntemiyle çarpanlara ayırmak için 4 terimin toplamı olarak göstermeniz gerekir. - 5t = - 2t - 3t yerine koyarsak, terimleri daha fazla gruplandırabiliriz:

t 2 - 5 t + 6 = 0

t 2 - 2t - 3t + 6 = 0

t(t - 2) - 3(t - 2) = 0

(t - 3)(t - 2) = 0

T - 3 = 0 veya t - 2 = 0

t=3 veya t=2

Sonuç olarak, orijinal denklemin 4 kökü olduğunu bulduk.

Genel ders

matematik

7. sınıfta

"Başvuru çeşitli yollar bir polinomu çarpanlara ayırmak için".

Prokofieva Natalya Viktorovna,

matematik öğretmeni

Dersin Hedefleri

eğitici:

1. kısaltılmış çarpma formüllerini tekrarla
2. polinomları çeşitli şekillerde çarpanlara ayırma yeteneğinin oluşumu ve birincil pekiştirilmesi.

Geliştirme:

1. farkındalık geliştirme, mantıksal düşünme, dikkat, edinilen bilgileri sistematize etme ve uygulama becerisi, matematiksel olarak yetkin konuşma.

eğitici:

1. örnekleri çözmeye ilgi oluşumu;
2. Karşılıklı yardımlaşma, kendini kontrol etme, matematiksel kültür duygusunu geliştirmek.

ders türü: birleşik ders

Teçhizat: projektör, sunum, tahta, ders kitabı.

Ders için ön hazırlık:

1. Öğrenciler aşağıdaki konulara aşina olmalıdır:

1. İki ifadenin toplamının ve farkının karesini alma
2. Toplamın karesi ve farkın karesi formülleriyle çarpanlara ayırma
3. İki ifadenin farkının toplamıyla çarpılması
4. Kareler farkını çarpanlara ayırma
5. Küplerin toplamını ve farkını çarpanlarına ayırma

1. Kısaltılmış çarpma formülleriyle çalışma konusunda yetkin olun.

Ders planı

1. Organizasyon anı (öğrencileri derse yönlendirmek için)
2. Ödevi kontrol etme (hata düzeltme)
3. sözlü egzersizler
4. Yeni materyal öğrenmek
5. eğitim egzersizleri
6. tekrarlama egzersizleri
7. dersi özetlemek
8. ödev mesajı

dersler sırasında

I. Organizasyon anı.

Ders, kısaltılmış çarpma formüllerini, bunları uygulama becerisini ve tabii ki dikkati bilmenizi gerektirecektir.

II. Ödev kontrolü.

Ev ödevi ile ilgili sorular.

Tahtada bilgilendirme.

II. sözlü egzersizler

matematik gerekli
O olmadan imkansız
Öğretiyoruz, öğretiyoruz arkadaşlar,
Sabahları neyi hatırlıyoruz?

Hadi bir egzersiz yapalım.

Çarpanlara Ayır (3. Slayt)

8a-16b

17x² + 5x

c(x + y) + 5(x + y)

4a² - 25 (Slayt 4)

1 - y³

balta + ay + 4x + 4y Slayt 5)

III. Bağımsız iş.

Her birinizin masanın üzerinde bir masası var. Çalışmanızı sağ üstte imzalayın. Tabloda doldurunuz. Çalışma süresi 5 dakikadır. başladı.

Bitti.

Lütfen bir komşunuzla işlerinizi değiştirin.

Kalemlerinizi bırakın ve kalemlerinizi alın.

İşi kontrol ediyoruz - slayda dikkat. (Slayt 6)

İşareti koyduk - (Slayt 7)

7(+) - 5

6-5(+) - 4

4(+) - 3

Formülleri tablonun ortasına koyun. Yeni şeyler öğrenmeye başlayalım.

IV. Yeni materyal öğrenmek

Defterlere bugünün dersinin sayısını, sınıf çalışmasını ve konusunu yazıyoruz.

Öğretmen.

1. Polinomları çarpanlara ayırırken bazen bir değil, birkaç yöntem kullanılır ve bunları sırayla uygular.
2. Örnekler:

1. 5a² - 20 \u003d 5 (a² - 4) \u003d 5 (a-2) (a + 2). (Slayt 8)

Ortak çarpanın parantez içine alınmasını ve kareler farkı formülünü kullanıyoruz.

1. 18x³ + 12x² + 2x = 2x (9x² + 6x + 1) = 2x (3x + 1)². (Slayt 9)

Bir ifade ile neler yapılabilir? Çarpanlara ayırmak için hangi yöntemi kullanacağız?

Burada ortak çarpanın parantez içine alınmasını ve toplam formülünün karesini kullanıyoruz.

1. ab³ - 3b³ + ab²y - 3b²y \u003d b² (ab - 3b + ay - 3y) \u003d b² ((ab - 3b) + (ay - 3y)) \u003d b² (b (a - 3) + y (a -) 3)) \u003d b² (a - 3) (b + y). (Slayt 10)

Bir ifade ile neler yapılabilir? Çarpanlara ayırmak için hangi yöntemi kullanacağız?

Burada parantez içindeki ortak çarpan çıkarılarak gruplandırma yöntemi uygulanmıştır.

1. Faktoring sırası: (Slayt 11)

1. Her polinom çarpanlara ayrılamaz. Örneğin: x² + 1; 5x² + x + 2, vb. (Slayt 12)

Eğitim egzersizleri

Başlamadan önce bir beden eğitimi dakikası yürütüyoruz (Slayt 13)

Hemen kalkıp gülümsediler.

Daha yükseğe ve daha yükseğe çekildi.

Hadi, omuzlarını düzelt

Yükselt, alçalt.

Sağa dön sola dön

Otur, kalk. Otur, kalk.

Ve olay yerinde koştular.

Ve gözler için daha fazla jimnastik:

1. Gözlerinizi 3-5 saniye sıkıca kapatın ve ardından 3-5 saniye açın. 6 kez tekrarlıyoruz.
2. Koymak baş parmak eller gözlerden 20-25 cm uzaklıktan, iki gözle 3-5 saniye parmağın ucuna bakın ve sonra iki gözle boruya bakın. 10 kez tekrarlıyoruz.

Aferin, otur.

Ders için görev:

№934 avd

№935 ortalama

№937

№939 avd

№1007 avd

VI.Tekrar için alıştırmalar.

№ 933

VII. dersi özetlemek

Öğretmen sorular sorar, öğrenciler de istedikleri gibi cevaplar.

1. Bir polinomu çarpanlara ayırmanın bilinen yöntemlerini adlandırın.

1. Ortak çarpanı parantezden çıkarın
2. Kısaltılmış çarpma formülleri kullanılarak bir polinomun çarpanlara ayrıştırılması.
3. gruplandırma yöntemi

1. Faktoring siparişi:

1. Ortak çarpanı parantezden (varsa) çıkarın.
2. Kısaltılmış çarpma formüllerini kullanarak polinomu çarpanlara ayırmaya çalışın.
3. Önceki yöntemler hedefe götürmediyse, gruplama yöntemini uygulamaya çalışın.

El kaldırmak:

1. Derse karşı tutumunuz "Hiçbir şey anlamadım ve hiç başaramadım" ise
2. Derse karşı tavrınız “zorluklar oldu ama başardım” ise
3. Derse karşı tutumunuz “Neredeyse her şeyi yaptım” ise

çarpanlara ayır 4 a² - 25 = 1 - y³ = (2a - 5) (2a + 5) (1 - y) (1+y+y ²)

çarpanlara ayır ax+ay+4x+4y= =a(x+y)+4(x+y)= (ax+ay)+(4x+4y)= (x+y) (a+4)

(a + b) ² a ² + 2ab + b ² a² - b² toplamının karesi (a - b)(a + b) Kareler farkı (a - b)² a² - 2ab + b² a³ farkının karesi + b ³ (a + b) (a² - ab + b²) Küplerin toplamı (a + b) ³ a³ + 3 a²b+3ab² + b³ Toplamın küpü (a - b) ³ a³ - 3a²b+3ab² - b³ Farkın küpü a³ - b³ (a – b) (a² + ab + b²) Küp farkı

İŞARETLEME 7 (+) = 5 6 veya 5 (+) = 4 4 (+) = 3

Örnek 1. 5 a² - 20 = = 5(a² - 4) = = 5(a - 2) (a+2) Ortak çarpanı parantez içine alma Kareler farkı formülü

Örnek 2. 18 x³ + 12x ² + 2x = =2x (9x ² +6x+1)= =2x(3x+1) ² Ortak çarpanın parantez içine alınması Toplam formülü

Örnek 3. ab³ –3b³+ab²y–3b²y= = b²(ab–3b+ay-3y)= =b²((a b -3 b)+(a y -3 y)= =b²(b(a-3)+y(a) -3))= =b²(a-3)(b+y) Faktörü köşeli paranteze alın Terimleri parantez içinde gruplayın Faktörleri parantez içine alın Ortak çarpanı parantez içine alın

Çarpanlara ayırma sırası Ortak çarpanı (varsa) parantezden çıkarın. Kısaltılmış çarpma formüllerini kullanarak polinomu çarpanlara ayırmaya çalışın. 3. Önceki yöntemler hedefe götürmediyse, gruplama yöntemini uygulamaya çalışın.

Her polinom çarpanlara ayrılamaz. Örneğin: x ² +1 5x ² + x + 2

FİZİKSEL DAKİKA

Ders ödevi No. 934 ABD No. 935 ABD No. 937 No. 939 ABD No. 1007 ABD

El kaldırın: Derse karşı tavrınız “Hiçbir şey anlamadım ve hiç başarılı olamadım” ise Derse karşı tavrınız “Zorluklar vardı ama başardım” ise Derse karşı tavrınız ders "Neredeyse her şeyi yaptım"

Ödev: S.38 Sayı 936 Sayı 938 Sayı 954

• Çeşitli çarpanlara ayırma yöntemlerini uygulayabilme becerisinin oluşturulması.
• Bir konuşma kültürü, kayıt doğruluğu, bağımsızlık eğitimine katkıda bulunun.
• Kısmi arama etkinliği becerilerinin oluşumu: sorunun farkında olmak, analiz etmek, sonuç çıkarmak.

Ekipman: ders kitabı, yazı tahtası, defter, görev kartları.

Ders türü: ZUN uygulama dersi.

Öğretme yöntemi: sorunlu, kısmen keşfedici.

organizasyon şekli Öğrenme aktiviteleri: grup, cephe, bireysel, çiftler halinde çalışma.

Süre: 1 ders (45 dk)

Ders planı:

1. Dersin başlangıcının organizasyonu. (1 dakika)
2. Ödev kontrolü. (2 dakika)
3. Gerçekleştirme. (5 dakika)
4. Yeni materyal öğrenmek. (10 dk)
5. Yeni malzemenin konsolidasyonu. (15 dakika)
6. Bilginin kontrolü ve kendi kendini incelemesi. (8 dakika)
7. Özetleme. (2 dakika)
8. Ev ödevi. (2 dakika)

dersler sırasında

I. Organizasyon anı

Merhaba beyler.

Dersin konusu “Çeşitli çarpanlara ayırma yöntemlerinin uygulanması”dır. Bugün çeşitli çarpanlara ayırma yöntemlerini kullanma becerilerini oluşturacağız ve bir polinomu çarpanlara ayırma yeteneğinin yararlılığına bir kez daha ikna olacağız.

Derste aktif çalışmanızı dilerim. (Konuyu bir deftere yazın).

II. Ödev kontrolü

Ders başlamadan önce, öğrenciler doğrulama için tamamlanan ev ödevleriyle birlikte not defterlerini teslim ederler. Zorluk yaratan konular tartışılır.

III. Temel bilgilerin güncellenmesi.

Sorunları çözmeye başlamadan önce, buna ne kadar hazır olduğumuzu kontrol edeceğiz. Dersin konusu hakkında bildiklerimizi hatırlayalım.

3.1. Ön anket:

a) Bir polinomu çarpanlarına ayırmak ne anlama gelir?
b) Bir polinomu çarpanlara ayırmanın hangi temel yöntemlerini biliyorsunuz?
c) Herhangi bir polinom çarpanlara ayrılabilir mi? Örneğin?
d) Hangi görevlerde çarpanlara ayırmayı kullanmak bazen yararlıdır?

3.2. Polinomları karşılık gelen çarpanlara ayırma yöntemleriyle bağlamak için çizgiler çizin.

3.3. Yanlış ifadeyi bulun:

a) a 2 + b 2 - 2ab \u003d (a - b) 2

b) m 2 + 2mn - n 2 \u003d (m - n) 2

c) –2pt + p 2 + t 2 = (p - t) 2

d) 25 - 16 sn 2 = (5 - 4 sn) (5 - 4 sn) (hata b, d)

3.4. Ürün olarak sunun: a) 64x 2 - 1; b) (d - 3) 2 - 36;

3.5. Denklemi çözün x 2 - 16 = 0 (4; -4)

3.5. Bir ifadenin değerini bulun 34 2 – 24 2 (580)

IV. Malzemeyi incelemek

Polinomları çarpanlara ayırmak için parantezler, gruplandırma ve kısaltılmış çarpma formülleri kullandık.

Sizce bir polinomu birkaç yöntemi arka arkaya uygulayarak çarpanlara ayırmanın mümkün olduğu durumlar var mı?

Aşağıdaki görev, bu sorunun cevabını bulmamıza yardımcı olacaktır:

Polinomu çarpanlara ayırın ve bu durumda hangi yöntemlerin kullanıldığını belirtin. ( Tahtada sonraki çözümle çiftler halinde çalışın)

Örnek 1. 9x 3 - 36x 2 yöntem kullandı:

Örnek 2. a 2 + 2ab + b 2 - c 2 2 yöntem kullandı:

• gruplama;
• kısaltılmış çarpma formüllerinin kullanımı.

Örnek 3. y 3 - 3y 2 + 6y - 18 3 yöntem kullandı:

• gruplama;
• kısaltılmış çarpma formüllerinin kullanımı;
• ortak çarpanı parantezden çıkarmak.

Örnek 4. x 3 + 3x 2 + 2x 3 şekilde kullanılır:

• ortak çarpanı parantezden çıkarmak;
• ön dönüşüm;
• gruplama.

Şu sonuca varıyoruz: bazen art arda birkaç yöntem uygulayarak bir polinomu çarpanlara ayırmak mümkündür. Bu tür örnekleri başarılı bir şekilde çözmek için, bugün bunları tutarlı bir şekilde uygulamak için bir plan geliştirelim:

1. Ortak çarpanı parantezden (varsa) çıkarın.
2. Kısaltılmış çarpma formüllerini kullanarak polinomu çarpanlara ayırmaya çalışın.
3. Gruplama yöntemini uygulamaya çalışın (önceki yöntemler hedefe götürmediyse).

V. Belirtilen konuyu pekiştirmek için alıştırmalar

5.1. Çeşitli faktoring yöntemlerinin kombinasyonu, kolayca ve zarif bir şekilde aritmetik hesaplamalar yapmanıza, ax 2 + bx + c \u003d 0 (a ≠ 0) biçimindeki denklemleri çözmenize olanak tanır (bu tür denklemlere ikinci dereceden denklemler denir, bunları 8. sınıfta inceleyeceğiz ).

* Denklemi çözün: a) x 2 - 17x + 72 = 0, b) x 2 + 10x + 21 = 0

İpucu: Polinomun bazı terimleri gerekli terimlere ayrıştırılır veya ona bazı terimler eklenerek tamamlanır. İkinci durumda, polinomun değişmemesi için aynı terim ondan çıkarılır.

(İki öğrenci bir defterde denklemleri kendi başlarına çözerler. Cevap: a) 8; 9; b) - 1; - 5).

Alıştırmayı 1016 (c), 1017 (c), s. 186 numaralı ders kitabından tamamlayın.

(İki öğrenci tahtaya karar verir, geri kalanlar not defterindeki seçeneklere göre).

5.2. Denklemleri çöz ( Öğrenciler çiftler halinde çalışır, ardından kendi kendine inceleme yapılır)

949, s.177 a) x 3 - x = 0 b) 9x - x 3 = 0 c) x 3 + x 2 = 0 d) 5x 4 - 2x 2 = 0

** (Daha hazırlıklı öğrenciler için bireysel görevler)

1. kart	2. kart	3. kart
Denklemi çöz ve köklerin toplamını yaz x 2 + 3x + 6 + 2x = 0		Denklemi çöz ve köklerin toplamını yaz

x(x+3) +2(3+x) =0 toplam -5

Bu denklemin köklerinin toplamı:

Denklemin köklerinin toplamı:

VI. Bilginin kontrolü ve kendi kendini incelemesi.

Ele alınan konu, matematikte GIA'nın ayrılmaz bir parçasıdır. Bu konudaki bilgileri kontrol etmek ve kendi kendine test etmek için, GIA eğitim görevlerinden test görevlerini tamamlamaya davetlisiniz. Cevabınızı test sorularına yuvarlak içine alın.

Kartlar üzerinde bireysel çalışma: (Öğrenciler GIA test görevlerini yerine getirir, + kendi kendine test)

Bu ifadelerden hangisi özdeş olarak 4x-10y'ye eşittir? 2(2x-5y) -2(5y-2x) -10y-4x -10y+4x? 1;3; top; c) 1;2;4; Baskı	Bu ifadelerden hangisi özdeştir - 3 (-2a + y) -3(-y+2a) 6a-3y 3(2a-y) 3u-6a? ve tüm; b) 2; y) 2;3; c)1;4	Bu ifadelerden hangisi aynı şekilde -6a + 12p'ye eşittir? -6(a-2p) 12r-6a 6(-a+2p) -6(-p+a) ? a) 1; hiç; c) 2;4; d)1;3
3a 3 -3a 2 -5a + 5. a) (a-1) (3a 2 +5); b) (a + 1) (3a 2 -5); c) (a-1) (5-3a 2); e) (a-1) (3a 2 +5).	Polinomların bir ürünü olarak ifade edin 13ah-26x-5av + 10v. e) (a-2) (13x-5c); b) (a + 2) (3x-5c); c) (3a-6)(4x-c); d) (a-2) (5c-3x).	Polinomların bir ürünü olarak ifade edin by-6b-5у 2 +30у. a) (6-y) (b-5y); b) (y -6) (b + 5y); c) (y-6)(b-5y); d) (y -6) (5y - b).
Şu adımları izleyin: (5a-c) 2 . a) 25a 2 + 10ac + s2; b) 25a2 + 10ac-c2; p) 25a2-10ac + c2; d) 25a 2 -5ac + s 2.	Aşağıdakileri yapın: (5x + 2y) 2 . a) 25x2 + 20xy + 4y2; başarı

Öğretmen: Cevapları kontrol edelim. Sahip olduğun kelimeleri oku. Bunlar tam olarak yedinci sınıf öğrencilerine 9. sınıfta GIA'ya hazırlanırken eşlik eden kelimelerdir.

VII. dersi özetlemek

Öğretmen, dersin ana aşamalarını önden gözden geçirir, öğrencilerin çalışmalarını değerlendirir ve öğrencileri ev ödevlerinde yönlendirir.

8. Ev ödevi: 38, Sayı 950 (s. 177), Sayı 1016 (g), 1017 (g), sayfa 186.

** x=100'de (x+3)2 -2 (x+3) (x-3) +(x-3)2 ifadesinin değerini bulun.

Bu ifadenin değeri x seçimine bağlı değildir.

ders bitti Ders için teşekkür ederim ve her gün yenilenmeyen bilginin her gün azaldığını unutmayın.

Kullanılmış Kitaplar:

1. Ders kitabı "Cebir 7. Sınıf". Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk ve diğerleri Ed. SA Telyakovski. - M.; Aydınlanma, 2009.
2. Tematik ve son kontrol için test görevlerinin toplanması. Cebir 7. I.L. Guseva ve diğerleri - M.; Akıl Merkezi, 2009.
3. Devlet nihai sertifikası (göre yeni form): 9. Sınıf Konu ile ilgili eğitim görevleri. Cebir / FIPI yazar-derleyici: V.L. Kuznetsova. – M.: Eksmo, 2010.

Polinomlar matematiksel ifadelerin en önemli türüdür. Polinomlar temelinde bir dizi denklem, eşitsizlik ve fonksiyon oluşturulmuştur. Çeşitli karmaşıklık seviyelerindeki problemler genellikle polinomların çok yönlü dönüşüm aşamalarını içerir. Matematiksel olarak herhangi bir polinom, birkaç tek terimlinin cebirsel bir toplamı olduğundan, en kardinal ve gerekli değişiklik bir polinom serisinin iki (veya daha fazla) faktörün çarpımına dönüştürülmesidir. Parçalardan birini sıfırlama özelliğine sahip denklemlerde, polinomun çarpanlara çevrilmesi, bir parçayı sıfıra eşitlemenizi ve böylece tüm denklemi çözmenizi sağlar.

Önceki video eğitimleri bize lineer cebirde polinomları çarpanlara dönüştürmenin üç ana yolu olduğunu gösterdi. Bu, ortak çarpanı parantezden çıkarmak, benzer terimlere göre yeniden gruplandırmak, kısaltılmış çarpma formüllerini kullanmaktır. Polinomun tüm üyelerinin bazı ortak temelleri varsa, o zaman parantez içinde kalan bölümleri değiştirilmiş bir polinom şeklinde bırakarak kolayca parantezlerden çıkarılabilir. Ancak çoğu zaman, bir faktör tüm monomlara uymaz ve bunların yalnızca bir kısmını etkiler. Bu durumda, tek terimlilerin diğer kısmı kendi ortak temeline sahip olabilir. Bu gibi durumlarda, bir gruplandırma yöntemi kullanılır - aslında birkaç faktörü parantez içine almak ve başka şekillerde dönüştürülebilen karmaşık bir ifade oluşturmak. Ve son olarak, bir dizi özel formül var. Hepsi, en basit terim terim çarpma yöntemi kullanılarak soyut hesaplamalarla oluşturulmuştur. Hesaplamalar sırasında, ilk ifadedeki birçok öğe küçük polinomlar bırakarak indirgenir. Her seferinde kapsamlı hesaplamalar yapmamak için kullanabilirsiniz. hazır formüller, bunların ters varyantları veya bu formüllerin genelleştirilmiş türevleri.

Uygulamada, genellikle bir alıştırmada, polinom dönüşümleri kategorisindekiler de dahil olmak üzere birkaç tekniği birleştirmeniz gerekir. Bir örnek düşünün. Binom ile çarpanlara ayırma:

Parantez içindeki ortak çarpan 3'ü alıyoruz:

3x3 - 3x2 = 3x(x2 - y2)

Videoda da görebileceğiniz gibi ikinci köşeli parantezler karelerin farkını içeriyor. Ters kısaltılmış çarpma formülünü uygulayarak şunu elde ederiz:

3x(x2 - y2) = 3x(x + y)(x - y)

Başka bir örnek. Formun bir ifadesini dönüştürelim:

18a2 - 48a + 32

İkiyi parantez içine alarak sayısal katsayıları azaltırız:

18a2 - 48a + 32 = 2(9a2 - 24a + 16)

Bu duruma uygun bir kısaltılmış çarpma formülü bulmak için, formülü koşullara uydurarak ifadeyi biraz ayarlamak gerekir:

2(9a2 - 24a + 16) = 2((3a)2 - 2(3a)4 + (4)2)

Bazen, kafa karıştırıcı bir ifadede bir formül görmek o kadar kolay değildir. İfadeyi kurucu öğelerine ayırma yöntemleri uygulanmalı veya +x-x gibi hayali yapı çiftleri eklenmelidir. İfadeyi düzeltirken, işaretlerin ardışık kurallarına ve ifadenin anlamının korunmasına uymalıyız. Aynı zamanda, polinomu formülün soyut versiyonuyla tam uyumlu hale getirmeye çalışılmalıdır. Örneğimizde, farkın karesi formülünü uyguluyoruz:

2((3a)2 - 2(3a)4 + (4)2) = 2(3a - 4)

Daha zor bir egzersiz yapalım. Polinomu çarpanlara ayıralım:

U3 - 3y2 + 6y - 8

Başlamak için, uygun bir gruplama yapalım - birinci ve dördüncü öğeler bir grupta, ikinci ve üçüncü - ikincide:

Y3 - 3y2 + 6y - 8 = (y3 - 8) - (3y2 - 6y)

Eksiyi ifadeden çıkardığımız için ikinci parantez içindeki işaretlerin tersine çevrildiğine dikkat edin. İlk parantez içinde şunları yazabiliriz:

(y3 - (2)3) - (3y2 - 6y)

Bu, küplerin farkını bulmak için indirgenmiş çarpma formülünü uygulamanıza izin verir:

(y3 - (2)3) - (3y2 - 6y) = (y - 2) (y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6y)

İkinci parantezlerden 3y ortak çarpanını çıkarıyoruz, ardından parantezleri (y - 2) tüm ifadeden (binom) çıkarıyoruz, benzer terimleri veriyoruz:

(y - 2)(y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6y) = (y - 2)(y2 + 2y + 4) - 3y(y - 2) =
\u003d (y - 2) (y2 + 2y + 4 - 3y) \u003d (y - 2) (y2 - y + 4)

Genel bir yaklaşımda, bu tür alıştırmaları çözerken belirli bir eylem algoritması vardır.
1. Tüm ifade için ortak çarpanlar arıyoruz;
2. Benzer monomları gruplandırırız, onlar için ortak çarpanları ararız;
3. En uygun ifadeyi parantez içine almaya çalışıyoruz;
4. Kısaltılmış çarpma formüllerini uyguluyoruz;
5. İşlem bir aşamada ilerlemezse, -x + x biçiminde hayali bir ifade çifti veya diğer kendi kendini iptal eden yapılar gireriz;
6. Benzer terimler veriyoruz, gereksiz unsurları azaltıyoruz

Algoritmanın tüm noktaları tek bir görevde nadiren uygulanabilir, ancak bir konudaki herhangi bir alıştırmayı çözmenin genel seyri belirli bir sırayla izlenebilir.