İkinci dereceden denklem veya bir bilinmeyenli ikinci dereceden bir denklem, dönüşümlerden sonra aşağıdaki forma indirgenebilen bir denklemdir:

balta 2 + bx + C = 0 - ikinci dereceden denklem

Nerede X bilinmeyendir ve A, B Ve C- denklemin katsayıları. ikinci dereceden denklemlerde A birinci katsayı denir ( A ≠ 0), B ikinci katsayı olarak adlandırılır ve C bilinen veya ücretsiz üye denir.

Denklem:

balta 2 + bx + C = 0

isminde tamamlamak ikinci dereceden denklem. katsayılardan biri ise B veya C sıfır veya bu katsayıların her ikisi de sıfıra eşitse, denklem tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem olarak sunulur.

İndirgenmiş ikinci dereceden denklem

Tam ikinci dereceden denklem, tüm terimlerini şuna bölerek daha uygun bir forma indirgenebilir: A, yani birinci katsayı için:

Denklem X 2 + piksel + Q= 0, indirgenmiş ikinci dereceden denklem olarak adlandırılır. Bu nedenle, birinci katsayının 1'e eşit olduğu herhangi bir ikinci dereceden denklem indirgenmiş olarak adlandırılabilir.

Örneğin, denklem:

X 2 + 10X - 5 = 0

azalır ve denklem:

3X 2 + 9X - 12 = 0

tüm terimlerini -3'e bölerek yukarıdaki denklemle değiştirilebilir:

X 2 - 3X + 4 = 0

İkinci dereceden denklemleri çözme

İkinci dereceden bir denklemi çözmek için, onu aşağıdaki formlardan birine getirmeniz gerekir:

balta 2 + bx + C = 0

balta 2 + 2kx + C = 0

X 2 + piksel + Q = 0

Her denklem türünün kökleri bulmak için kendi formülü vardır:

Denkleme dikkat edin:

balta 2 + 2kx + C = 0

bu dönüştürülmüş denklem balta 2 + bx + C= 0, burada katsayı B- hatta, bu da tip 2 ile değiştirilmesine izin verir k. Bu nedenle, bu denklemin köklerini bulma formülü 2 ile değiştirilerek basitleştirilebilir. k yerine B:

örnek 1 Denklemi çözün:

3X 2 + 7X + 2 = 0

Denklemde ikinci katsayı çift sayı olmadığı ve birinci katsayı olmadığı için bire eşit, o zaman ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için genel formül adı verilen ilk formüle göre kökleri arayacağız. Başta

A = 3, B = 7, C = 2

Şimdi, denklemin köklerini bulmak için, katsayıların değerlerini formülde yerine koyuyoruz:

X 1 =	-2	= -	1	, X 2 =	-12	= -2
	6		3		6

Cevap: -	1	, -2.
	3

Örnek 2:

X 2 - 4X - 60 = 0

Katsayıların neye eşit olduğunu belirleyelim:

A = 1, B = -4, C = -60

Denklemdeki ikinci katsayı çift sayı olduğundan, ikinci katsayılı ikinci dereceden denklemler için formülü kullanacağız:

X 1 = 2 + 8 = 10, X 2 = 2 - 8 = -6

Cevap: 10, -6.

Örnek 3

y 2 + 11y = y - 25

Denklemi genel bir forma getirelim:

y 2 + 11y = y - 25

y 2 + 11y - y + 25 = 0

y 2 + 10y + 25 = 0

Katsayıların neye eşit olduğunu belirleyelim:

A = 1, P = 10, Q = 25

Birinci katsayı 1'e eşit olduğu için, yukarıdaki çift ikinci katsayılı denklemler için formülü kullanarak kökleri arayacağız:

Cevap: -5.

Örnek 4

X 2 - 7X + 6 = 0

Katsayıların neye eşit olduğunu belirleyelim:

A = 1, P = -7, Q = 6

Birinci katsayı 1'e eşit olduğundan, ikinci katsayıları tek olan verilen denklemler için formülü kullanarak kökleri arayacağız:

X 1 = (7 + 5) : 2 = 6, X 2 = (7 - 5) : 2 = 1

Denklemleri kullanarak genel problem çözme teorisi

Spesifik problem türlerine geçmeden önce, denklemleri kullanarak çeşitli problemleri çözmek için genel bir teori sunacağız. Her şeyden önce, ekonomi, geometri, fizik ve diğer pek çok disiplindeki problemler denklemlere indirgenir. Denklemleri kullanarak problem çözmek için genel prosedür aşağıdaki gibidir:

• Problemin durumundan aradığımız tüm nicelikler ve varsa yardımcı nicelikler bize uygun değişkenlerle gösterilir. Çoğu zaman, bu değişkenler Latin alfabesinin son harfleridir.
• Görevlerdeki verileri kullanma Sayısal değerler, sözlü ilişkilerin yanı sıra bir veya daha fazla denklem derlenir (sorunun durumuna bağlı olarak).
• Ortaya çıkan denklemi veya sistemlerini çözerler ve “mantıksız” çözümleri atarlar. Örneğin, alanı bulmanız gerekiyorsa, o zaman negatif bir sayı açıkça yabancı bir kök olacaktır.
• Son cevabı alıyoruz.

Cebir problemine bir örnek

Burada, belirli bir alana dayanmadan ikinci dereceden bir denkleme indirgeyen bir problem örneği veriyoruz.

örnek 1

Toplandıklarında kareleri beş ve genellikle birbirlerine eklendiklerinde üç olan böyle iki irrasyonel sayı bulun.

Bu sayıları $x$ ve $y$ harfleriyle gösterelim. Problemin durumuna göre $x^2+y^2=5$ ve $x+y=3$ olmak üzere iki denklem oluşturmak oldukça kolaydır. Bunlardan birinin kare olduğunu görüyoruz. Bir çözüm bulmak için sistemi çözmeniz gerekir:

$\cases(x^2+y^2=5,\\x+y=3.)$

İlk olarak, ikinci $x$'dan ifade ediyoruz

Birinciye ikame etme ve temel dönüşümleri gerçekleştirme

$(3-y)^2 +y^2=5$

$9-6y+y^2+y^2=5$

İkinci dereceden bir denklemi çözmeye geçtik. Formüllerle yapalım. Ayrımcıyı bulalım:

İlk kök

$y=\frac(3+\sqrt(17))(2)$

İkinci kök

$y=\frac(3-\sqrt(17))(2)$

İkinci değişkeni bulalım.

İlk kök için:

$x=3-\frac(3+\sqrt(17))(2)=\frac(3-\sqrt(17))(2)$

İkinci kök için:

$x=3-\frac(3-\sqrt(17))(2)=\frac(3+\sqrt(17))(2)$

Sayıların sırası bizim için önemli olmadığı için bir çift sayı elde ederiz.

Yanıt: $\frac(3-\sqrt(17))(2)$ ve $\frac(3+\sqrt(17))(2)$.

Fizikte bir problem örneği

Fizikte ikinci dereceden bir denklemin çözümüne götüren bir problem örneğini ele alalım.

Örnek 2

Durgun havalarda düzgün uçan bir helikopterin hızı 250 $ km/s'dir. Üssünden 70$ km uzaklıktaki yangın alanına uçması ve geri dönmesi gerekiyor. Bu sırada rüzgar üsse doğru esiyor, helikopterin ormana doğru hareketini yavaşlatıyordu. 1 saat önce üsse döndükleri için. Rüzgar hızını bulun.

Rüzgar hızını $v$ olarak gösterelim. Sonra helikopterin ormana doğru 250-v$ gerçek hızıyla uçacağını ve geri gerçek hızının 250$+v$ olacağını anlıyoruz. Gidiş ve dönüş zamanını hesaplayalım.

$t_1=\frac(70)(250-v)$

$t_2=\frac(70)(250+v)$

Helikopter üsse $1$ bir saat erken döndüğü için,

$\frac(70)(250-v)-\frac(70)(250+v)=1$

Sol tarafı ortak bir paydaya indirger, orantı kuralını uygular ve temel dönüşümleri gerçekleştiririz:

$\frac(17500+70v-17500+70v)((250-v)(250+v)=1$

$140v=62500-v^2$

$v^2+140v-62500=0$

Bu sorunu çözmek için ikinci dereceden bir denklem aldı. hadi çözelim

Ayrımcıyı kullanarak çözeceğiz:

$D=19600+250000=269600≈519^2$

Denklemin iki kökü vardır:

$v=\frac(-140-519)(2)=-329,5$ ve $v=\frac(-140+519)(2)=189,5$

Hız aradığımız için (negatif olamaz), ilk kökün gereksiz olduğu açıktır.

Cevap: 189,5$

Geometri problemine bir örnek

Geometride ikinci dereceden bir denklemin çözümüne götüren bir problem örneğini ele alalım.

Örnek 3

alanı bul sağ üçgen tatmin edici aşağıdaki koşullar: hipotenüsü $25$ ve bacakların uzunluğu $4$ ile $3$ arasındadır.

İstenilen alanı bulmak için bacakları bulmamız gerekiyor. Bacağın bir kısmını $x$ ile işaretliyoruz. Bacakları bu değişken cinsinden ifade edersek, uzunluklarının $4x$ ve $3x$ olduğunu buluruz. Böylece, Pisagor teoreminden aşağıdaki ikinci dereceden denklemi oluşturabiliriz:

$(4x)^2+(3x)^2=625$

(bacak negatif olamayacağından $x=-5$ kökü göz ardı edilebilir)

Bacakların sırasıyla 20$ ve 15$'a eşit olduğunu anladık, yani alan

$S=\frac(1)(2)\cdot 20\cdot 15=150$

İkinci dereceden denklemlere indirgenerek çözülen birkaç denklem sınıfı vardır. Bu tür denklemlerden biri biquadratic denklemlerdir.

Biquadratic Denklemler

Biquadratic denklemler formun denklemleridir a*x^4 + b*x^2 + c = 0, burada a 0'a eşit değildir.

Biquadratic denklemler, x^2 =t ikamesi kullanılarak çözülür. Böyle bir ikameden sonra, t için ikinci dereceden bir denklem elde ederiz. a*t^2+b*t+c=0. Ortaya çıkan denklemi çözeriz, genel durumda t1 ve t2'ye sahibiz. Bu aşamada negatif bir kök elde edilirse, t \u003d x ^ 2 aldığımız ve herhangi bir sayının karesi pozitif bir sayı olduğu için çözümden çıkarılabilir.

Orijinal değişkenlere dönersek, x^2 =t1, x^2=t2'ye sahibiz.

x1,2 = ±√(t1), x3,4=±√(t2).

Küçük bir örnek verelim:

9*x^4+5*x^2 - 4 = 0.

t=x^2 yerine geçeni tanıtıyoruz. O zaman orijinal denklem aşağıdaki formu alacaktır:

Bu ikinci dereceden denklemi bilinen yöntemlerden herhangi biriyle çözersek şunu buluruz:

-1 kökü uygun değildir, çünkü x^2 = -1 denklemi bir anlam ifade etmez.

Geriye ikinci kök 4/9 kalır. Orijinal değişkenlere geçerken, aşağıdaki denkleme sahibiz:

x1=-2/3, x2=2/3.

Bu denklemin çözümü olacaktır.

Cevap: x1=-2/3, x2=2/3.

İkinci dereceden denklemlere indirgenebilen başka bir denklem türü, kesirli rasyonel denklemlerdir. Rasyonel denklemler, sol ve sağ tarafların rasyonel ifadeler olduğu denklemlerdir. Rasyonel bir denklemde sol veya sağ kısımlar kesirli ifadeler ise, böyle bir rasyonel denkleme kesirli denir.

Kesirli bir rasyonel denklemi çözme şeması

1. Denklemde yer alan tüm kesirlerin ortak paydasını bulun.

2. Denklemin her iki tarafını da ortak bir payda ile çarpın.

3. Ortaya çıkan tüm denklemi çözün.

4. Kökleri kontrol edin ve ortak paydayı sıfıra çevirenleri hariç tutun.

Bir örnek düşünün:

Kesirli bir rasyonel denklemi çözün: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))).

hadi bağlı kalalım genel şema. Önce tüm kesirlerin ortak paydasını bulalım.

x*(x-5) elde ederiz.

Her kesri ortak bir payda ile çarpın ve elde edilen tüm denklemi yazın.

x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Ortaya çıkan denklemi basitleştirelim. biz alırız

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;

Var basit indirgenmiş ikinci dereceden denklem. Bilinen yöntemlerden herhangi biriyle çözersek x=-2 ve x=5 köklerini elde ederiz. Şimdi elde edilen çözümleri kontrol ediyoruz. -2 ve 5 sayılarını ortak payda yerine koyuyoruz.

x=-2'de, x*(x-5) ortak paydası kaybolmaz, -2*(-2-5)=14. Yani -2 sayısı orijinal kesirli rasyonel denklemin kökü olacaktır.

Ders 1

ders türü: yeni materyal öğrenme dersi.

Ders formu: konuşma.

Hedef: kareye indirgenmiş denklemleri çözme becerisini oluşturmak.

Görevler:

• öğrencilere denklem çözme yollarından birini tanıtmak;
• bu tür denklemleri çözme becerilerini geliştirmek;
• konuya ilgi oluşumu ve mantıksal düşüncenin gelişimi için koşullar yaratmak;
• eğitim sürecindeki katılımcılar arasında kişisel ve insani ilişkilerin sağlanması.

Ders planı:

1. Organizasyon anı.

3. Yeni materyal öğrenmek.
4. Yeni malzemenin konsolidasyonu.
5. Ödev.
6. Dersin sonucu.

DERSLERDE

1. Organizasyon anı

Öğretmen:"Arkadaşlar, bugün önemli ve ilginç bir konu olan "Karelere indirgenebilen denklemler" konusunu incelemeye başlıyoruz. İkinci dereceden denklem kavramını biliyorsunuz. Gelin bu konu hakkında bildiklerimize bir göz atalım.

Okul çocuklarına talimatlar sunulur:

• Bu konuyla ilgili tanımları hatırlayın.
• Bilinen denklemleri çözmek için yöntemleri hatırlayın.
• Buna "yakın" konulardaki ödevleri tamamlamadaki zorluklarınızı hatırlayın.
• Zorlukların üstesinden gelmenin yollarını hatırlayın.
• Olası araştırma görevlerini ve bunları gerçekleştirmenin yollarını düşünün.
• Daha önce çözülmüş problemlerin nereye uygulandığını hatırlayın.

Öğrenciler tam bir ikinci dereceden denklemin biçimini, tamamlanmamış bir ikinci dereceden denklemi, tam bir ikinci dereceden denklemi çözme koşullarını, ikinci dereceden eksik denklemleri çözme yöntemlerini, tam bir denklem kavramını, bir derece kavramını hatırlar.

Öğretmen aşağıdaki denklemleri çözmeyi önerir (çiftler halinde çalışın):

a) x 2 - 10x + 21 = 0
b) 3x2 + 6x + 8 = 0
c) x (x - 1) + x 2 (x - 1) = 0

Öğrencilerden biri bu denklemlerin çözümünü yorumluyor.

3. Yeni materyal öğrenmek

Öğretmen aşağıdaki denklemi (problem problemi) dikkate almayı ve çözmeyi önerir:

(x 2 - 5x + 4) (x 2 - 5x + 6) = 120

Öğrenciler bu denklemin derecesinden bahseder, bu çarpanları çarpmayı önerir. Ancak bu denklemde aynı terimleri fark eden öğrenciler var. Burada hangi çözüm yöntemi uygulanabilir?
Öğretmen öğrencileri ders kitabına (Yu. N. Makarychev "Cebir-9", s. 11, s. 63) dönmeye ve bu denklemin çözümünü anlamaya davet ediyor. Sınıf iki gruba ayrılır. Çözüm yöntemini anlayan öğrenciler aşağıdaki görevleri yerine getirir:

a) (x 2 + 2x) (x 2 + 2x + 2) = -1
b) (x 2 - 7) 2 - 4 (x 2 - 7) - 45 = 0,

geri kalanlar çözüm algoritması Bu tür denklemleri çözün ve bir sonraki denklemin çözümünü öğretmenle birlikte analiz edin.

(2x 2 + 3) 2 - 12 (2x 2 + 3) + 11 = 0.

Algoritma:

– yeni bir değişken girin;
- bu değişkeni içeren bir denklem yazın;
- denklemi çözün;
- ikamede bulunan kökleri değiştirin;
– denklemi ilk değişkenle çözün;
- bulunan kökleri kontrol edin, cevabı yazın.

4. Yeni malzemenin konsolidasyonu

Çiftler halinde çalışın: "güçlü" - açıklar, "zayıf" tekrarlar, karar verir.

Denklemi çözün:

a) 9x 3 - 27x 2 \u003d 0
b) x 4 - 13x 2 + 36 = 0

Öğretmen:"İkinci dereceden denklemlerin çözümünü başka nerede kullandığımızı hatırlayalım mı?"

Öğrenciler:“Eşitsizlikleri çözerken; bir fonksiyonun kapsamını bulurken; bir parametre ile denklemleri çözerken”.
Öğretmen isteğe bağlı ödevler sunar. Sınıf 4 gruba ayrılır. Her grup çözümünü açıklar.

a) Denklemi çözün:
b) Fonksiyonun alanını bulun:
c) Hangi değerler için A denklemin kökleri yoktur:
d) Denklemi çözün: x + - 20 = 0.

5. Ödev

221(a, b, c), Sayı 222(a, b, c).

Öğretmen mesajların hazırlanmasını önerir:

1. "Bu denklemlerin oluşturulmasıyla ilgili tarihsel bilgiler" (İnternetten alınan materyallere dayanmaktadır).
2. "Kvant" dergisinin sayfalarında denklem çözme yöntemleri.

Yaratıcı nitelikteki ödevler istenildiği zaman ayrı defterlerde yapılır:

a) x 6 + 2x 4 - 3x 2 \u003d 0
b) (x 2 + x) / (x 2 + x - 2) - (x 2 + x - 5) / (x 2 + x - 4) = 1

6. Dersin özeti

Çocuklar derste öğrendiklerini, hangi görevlerin zorlandığını, nerelerde uyguladıklarını, etkinliklerini nasıl değerlendirdiklerini anlatırlar.

Ders 2

ders türü: beceri ve yetenekleri pekiştirmek için ders.

Ders formu: uygulama dersi.

Hedef: edinilen bilgileri pekiştirmek, bu konudaki denklemleri çözme becerisini oluşturmak.

Görevler:

• kareye indirgenmiş denklemleri çözme becerisini geliştirmek;
• bağımsız düşünme becerileri geliştirmek;
• analiz etme, eksik bilgileri arama becerisini geliştirmek;
• aktiviteyi, bağımsızlığı, disiplini eğitin.

Ders planı:

1. Organizasyon anı.
2. Öğrencilerin öznel deneyimlerinin gerçekleştirilmesi.
3. Problem çözme.
4. Bağımsız çalışma.
5. Ödev.
6. Dersin sonucu.

DERSLERDE

1. Organizasyon anı

Öğretmen:“Geçen derste, kareye indirgenmiş denklemlerle tanıştık. Ve matematikçilerden hangisi üçüncü ve dördüncü kuvvetlerin denklemlerinin çözümüne katkıda bulundu?

Mesajı hazırlayan öğrenci, 16. yüzyıl İtalyan matematikçilerinden bahsediyor.

2. Öznel deneyimin gerçekleşmesi

1) Ödevi kontrol etmek

Evdekine benzer denklemleri çözen bir öğrenci tahtaya çağrılır:

a) (x 2 - 10) 2 - 3 (x 2 - 10) - 4 = 0
b) x 4 - 10 x 2 + 9 = 0

Şu anda, bilgideki boşlukları doldurmak için "zayıf" öğrenciler kartlar alıyor. "Zayıf" öğrenci çözümü "güçlü" öğrenciye yorumlar, "güçlü" öğrenci çözümü "+" veya "-" ile işaretler.

2) Teorik materyalin tekrarı

Öğrencilerden aşağıdaki tabloyu doldurmaları istenir:

Öğrenciler dersin sonunda üçüncü sütunu tamamlarlar.
Tahtadaki atama kontrol edilir. Numune solüsyon tahtada kalır.

3. Problem çözme

Öğretmen iki denklem grubu seçeneği sunar. Sınıf iki gruba ayrılır. Biri modele göre görevleri yerine getirir, diğeri denklemleri çözmek için yeni yöntemler arar. Çözümler zorluklara neden oluyorsa, öğrenciler bir modele - akıl yürütmeye - başvurabilirler.

a) (2x 2 + 3) 2 - 12 (2x 2 + 3) + 11 \u003d 0 a) (5x - 63) (5 x - 18) \u003d 550
b) x 4 - 4x 2 + 4 = 0 b) 2x 3 - 7 x 2 + 9 = 0

Birinci grup kararları hakkında yorum yapar, ikincisi çözümü genel kapsam üzerinden kontrol eder ve çözüm yöntemleri hakkında yorumlar yapar.

Öğretmen: Beyler, ilginç bir denkleme bakalım: (x 2 - 6 x - 9) 2 \u003d x (x 2 - 4 x - 9).

Çözmek için nasıl bir yöntem önerirsiniz?

Öğrenciler sorunlu görevi gruplar halinde tartışmaya başlar. Parantezleri açmayı, benzer terimleri getirmeyi, dördüncü dereceden tam bir cebirsel denklem elde etmeyi ve serbest terimin bölenleri arasında varsa tamsayı köklerini bulmayı teklif ederler; sonra çarpanlara ayırın ve verilen denklemin köklerini bulun.
Öğretmen çözüm algoritmasını onaylar ve başka bir çözüm yöntemi düşünmeyi önerir.

X 2 - 4x - 9 \u003d t'yi, ardından x 2 - 6x - 9 \u003d t - 2x'i gösterelim. t 2 - 5tx + 4x 2 = 0 denklemini elde ederiz ve t için çözeriz.

Orijinal denklem iki denklem grubuna ayrılır:

x 2 - 4 x - 9 \u003d 4 x x \u003d - 1
x 2 - 4 x - 9 = x x = 9
x \u003d (5 + 61) / 2 x \u003d (5 - 61) / 2

4. Bağımsız çalışma

Öğrencilere aralarından seçim yapmaları için aşağıdaki denklemler verilir:

a) x 4 - 6 x 2 + 5 = 0 a) (1 - y 2) + 7 (1 - y 2) + 12 = 0
b) (x 2 + x) 2 - 8 (x 2 + x) + 12 = 0 b) x 4 + 4 x 2 - 18 x 2 - 12 x + 9 = 0
c) x 6 + 27 x 4 - 28 = 0

Öğretmen her grubun denklemlerini yorumlar, denklemin doğru olduğuna dikkat çeker. c) maddesi altındaöğrencilerin bilgi ve becerilerini derinleştirmelerini sağlar.
Karbon kağıdı ile yapraklar üzerinde bağımsız çalışma yapılır.
Öğrenciler not defterlerini değiş tokuş ederek çözümleri kodoskop aracılığıyla kontrol ederler.

5. Ödev

223(d, e, f), No. 224(a, b) veya No. 225, No. 226.

Yaratıcı görev.

Denklemin derecesini belirleyin ve bu denklem için Vieta formüllerini türetin:

6. Dersin özeti

Öğrenciler “Öğrendim” tablosunun sütununu doldurmaya geri döner.

Ders #3

ders türü: dersin gözden geçirilmesi ve bilginin sistemleştirilmesi.

Ders formu: ders yarışmadır.

Dersin amacı: bilgi ve becerilerini doğru bir şekilde değerlendirmeyi öğrenir, yeteneklerini önerilen görevlerle doğru bir şekilde ilişkilendirir.

Görevler:

• bilgilerini karmaşık bir şekilde nasıl uygulayacaklarını öğretmek;
• becerilerin ve yeteneklerin derinliğini ve gücünü ortaya çıkarmak;
• rasyonel iş organizasyonunu teşvik etmek;
• aktiviteyi, bağımsızlığı teşvik etmek.

Ders planı:

1. Organizasyon anı.
2. Öğrencilerin öznel deneyimlerinin gerçekleştirilmesi.
3. Problem çözme.
4. Bağımsız çalışma.
5. Ödev.
6. Dersin sonucu.

DERSLERDE

1. Organizasyon anı

Öğretmen:“Bugün alışılmadık bir ders, bir ders yarışması yapacağız. Geçen dersten İtalyan matematikçiler Fiori, N. Tartaglia, L. Ferrari, D. Cardano'ya zaten aşinasınız.

12 Şubat 1535'te Fiori ve N. Tartaglia arasında, Tartaglia'nın parlak bir zafer kazandığı bilimsel bir düello gerçekleşti. İki saat içinde Fiori'nin önerdiği otuz sorunun hepsini çözerken, Fiori Tartaglia'nın tek bir sorununu çözmedi.
Ders başına kaç tane denklem çözebilirsin? Hangi yöntemleri seçersiniz? İtalyan matematikçiler size denklemlerini sunuyorlar.”

2. Öznel deneyimin gerçekleşmesi

sözlü çalışma

1) - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 sayılarından hangisi denklemin kökleridir:

a) x 3 - x \u003d 0 b) y 3 - 9 y \u003d 0 c) y 3 + 4 y \u003d 0?

Üçüncü dereceden bir denklemin kaç çözümü olabilir?
Bu denklemleri çözmek için hangi yöntemi kullanacaksınız?

2) Denklemin çözümünü kontrol edin. Yaptığın hatayı bul.

x 3 - 3x 2 + 4x - 12 = 0
x 2 (x - 3) + 4 (x - 3) = 0
(x - 3) (x 2 + 4) = 0
(x - 3)(x + 2)(x - 2) = 0
x \u003d 3, x \u003d - 2, x \u003d 2.

Çiftler halinde çalışın. Denklemlerin nasıl çözüleceğini, yapılan hataları açıklar.

Öğretmen:"İyi iş çıkardın! İtalyan matematikçilerin ilk görevini tamamladınız.”

3. Problem çözme

Tahtada iki öğrenci

a) Fonksiyon grafiğinin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarının koordinatlarını bulun:

b) Denklemi çözün:

Sınıftaki öğrenciler bir veya iki görevi tamamlamayı seçerler. Tahtadaki öğrenciler sürekli olarak eylemleri hakkında yorum yaparlar.

4. "Aracılığıyla" bağımsız çalışma

Karmaşıklık düzeyine ve cevap seçeneklerine göre bir dizi kart derlenir.

1) x 4 - x 2 - 12 = 0
2) 16 x 3 - 32 x 2 - x + 2 = 0
3) (x 2 + 2 x) 2 - 7 (x 2 + 2 x) - 8 = 0
4) (x 2 + 3 x + 1) (x 2 + 3 x + 3) = - 1
5) x 4 + x 3 - 4 x 2 + x + 1 = 0

Yanıt seçenekleri:

1) a) - 2; 2 b) - 3; 3 c) çözüm yok
2) a) - 1/4; 1/4 b) - 1/4; 1/4; 2 c) 1/4; 2
3) a) - 4; 1; 2 b) –1; 1; - 4; 2 c) - 4; 2
4) a) - 2; - 1; b) - 2; - 1; 1 c) 1; 2
5) a) - 1; (– 3 + 5) /2 b) 1; (- 3 - 5) / 2 c) 1; (– 3 – 5)/2; (–3 + 5) /2.

5. Ödev

Cebirde yazılı bir sınav yapmak için görevlerin toplanması: No. 72, No. 73 veya No. 76, No. 78.

Ek görev. x 4 + (a 2 - a + 1) x 2 - a 3 - a \u003d 0 denkleminin bulunduğu a parametresinin değerini belirleyin

a) tek bir kökü vardır;
b) iki farklı kökü vardır;
c) kökleri yoktur.

Devlet bütçeli mesleki eğitim kurumu

"Nevinnomıssk Enerji Koleji"

metodik geliştirme açık ders"Matematik" disiplininde

dersin konusu :

Kareye indirgenen denklemler

denklemler.

Matematik öğretmeni:

Skrylnikova Valentina Evgenievna

Nevinnomıssk 2016.

Ders Hedefleri: 2. Slayt

Öğreticiler: öğrencilerin algı ile ilgili etkinliklerinin düzenlenmesini teşvik etmek,

yeni bilginin anlaşılması ve birincil ezberlenmesi (yeni bir değişkeni tanıtma yöntemi, biquadratic denklemin tanımı) ve yollar

eylemler (yeni bir denklem tanıtarak denklemleri çözmeyi öğretmek

değişken), öğrencilerin sosyal ve kişisel anlamalarına yardımcı olmak için

eğitim materyalinin önemi;

Geliştirme: öğrencilerin bilgi işlem becerilerini geliştirmeye yardımcı olmak;

sözlü matematiksel konuşmanın gelişimi; için koşullar yaratmak

kendini kontrol etme ve karşılıklı kontrol becerilerinin oluşumu,

öğrencilerin algoritmik kültürü;

eğitici: iyi niyeti teşvik etmek

birbirlerine.

ders türü: yeni materyal öğrenmek.

Yöntemler: sözlü, görsel, pratik, arama

çalışma biçimleri : bireysel, çift, toplu

Teçhizat: interaktif beyaz tahta, sunum

Dersler sırasında.

I. Organizasyon anı.

Yok olarak işaretleyin, sınıfın derse hazır olup olmadığını kontrol edin.

Öğretmen: Arkadaşlar yeni bir konuya başlıyoruz. Henüz dersin konusunu yazmıyoruz, biraz sonra kendiniz formüle edeceksiniz. Denklemlerden bahsettiğimizi söylememe izin verin.

3 numaralı slayt.

Denklemler, teoremler aracılığıyla

Birçok sorunu çözdü.

Ve tahmin edilen kuraklık ve sağanak yağışlar -

Gerçekten onun bilgisi harika.

Goser.

Sizler şimdiden bir düzineden fazla denklem çözdünüz.Sorunları denklemler yardımıyla çözebilirsiniz. Denklemleri kullanarak, doğadaki çeşitli olayları tanımlayabilirsiniz, fiziksel, kimyasal olaylar, hatta bir ülkedeki nüfus artışı bir denklemle tanımlanır.Bugün derste bir gerçeği daha öğreneceğiz, denklem çözme yöntemiyle ilgili gerçeği.

II. Bilgi güncellemesi.

Ama önce şunu hatırlayalım:

Sorular: Slayt 4

Hangi denklemlere ikinci dereceden denir? (Formun bir denklemi, buradaX - değişken, - bazı sayılar ve a ≠ 0.)

Verilen denklemlerden kare olanları seçin?

1) 4x - 5 = x + 11

2 kere 2 +2x = 3

3) 2x + 6x 2 = 0

4) 2x 3 - X 2 – 4 = 8

5) 4x 2 - 1x + 7 \u003d 0 Cevap: (2,3,5)

Hangi denklemlere eksik ikinci dereceden denklemler denir?(Katsayılarından en az birinin olduğu denklemlerV veyaİle 0'dır.)

Bu denklemler arasından tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri seçin.(3)

Test tahmini

1) 3x-5x 2 +2=0

2) 2x 2 +4x-6=0

3) 8x 2 -16=0

4) x 2 -4x+10=0

5) 4x 2 +2x=0

6) -2x 2 +2=0

7) -7x 2 =0

8) 15-4x 2 +3x=0

1 seçenek

1) Tam ikinci dereceden denklemlerin sayısını yazın.

2) Denklem 8'deki a, b, c katsayılarını yazınız.

3) Bir kökü olan tamamlanmamış bir ikinci dereceden denklemin numarasını yazın.

4) Denklem 6'daki a, b, c katsayılarını yazınız.

5) Denklem 4'te D'yi bulun ve kök sayısı hakkında bir sonuç çıkarın.

seçenek 2

1) Tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin sayısını yazın.

2) Denklem 1'deki a, b, c katsayılarını yazınız.

3) Bir kökü 0 olan tamamlanmamış bir ikinci dereceden denklemin sayısını yazın.

4) Denklem 3'teki a, b, c katsayılarını yazınız.

5) Denklem 3'te D'yi bulun ve kök sayısı hakkında bir sonuç çıkarın.

Öğrenciler not defterlerini değiştirir, akran denetimi yapar ve not verir.

1c.

1,2,4,8

a=-4, b=3, c=15

a=-2, b=0, c=2

24, D<0, корней нет

2c.

3,5,6,7

a=-5, b=3, c=2

a=8, b=0, c=-16

D>0, 2 kök.

Oyun "Kelimeyi tahmin et".

Ve şimdi tahtada yazan kelimeyi tahmin etmeniz gerekiyor. Bunu yapmak için denklemleri çözmeniz ve onlar için doğru cevapları bulmanız gerekir. Her cevap bir harfe, her harf kart numarasına ve bu harfin karşılık geldiği tablodaki numaraya karşılık gelmektedir. Tahta, 1 numaralı tabloyu tam olarak ve yalnızca sayıların yazıldığı, örneklerin çözüldüğü gibi öğretmen tarafından harflerin girildiği 2 numaralı tabloyu gösterir. Öğretmen her öğrenciye ikinci dereceden denklemler içeren kartlar dağıtır. Her kart numaralandırılmıştır. Öğrenci ikinci dereceden bir denklemi çözer ve -21 cevabını alır. Tabloda cevabını bulur ve cevabına hangi harfin karşılık geldiğini öğrenir. Bu A harfidir. Sonra öğretmene elindeki harfin ne olduğunu söyler ve kartın numarasını söyler. Kart numarası, 2 numaralı tablodaki harfin yerine karşılık gelir. Örneğin cevap -21 A harfi 5 numaralı karttır. 2 numaralı masadaki öğretmen 5 numarasının altına A harfini yazar vs. ifade tamamen yazılana kadar.

X 2 -5x+6=0 (2;3) B

X 2 -2x-15=0(-3;5) VE

X 2 +6x+8=0(-4;-2) K

X 2 -3x-18=0(-3;6)B

X 2- 42x+441=0-21 bir

X 2 +8x+7=0(-7;-1)D

X 2 -34x+289=017 Sağ

X 2 -42x+441=0 -21 A

X 2 +4x-5=0(-5;1) T

2 kere 2 +3x+1=0(-1;-) N

3x 2 -3x+4=0kök yok oh

5x 2 -8x+3=0 (;1)E

X 2 -8x+15=0(3;5)

X 2 -34x+289=017 Sağ

X 2 -42x+441=0-21 bir

X 2 -3x-18=0(-3;6)B

2 kere 2 +3x+1=0(-1;-) N

5x 2 -8x+3=0 (;1)E

2 kere 2 +3x+1=0(-1;-) N

X 2 -2x-15=0(-3;5) VE

5x 2 -8x+3=0(;1)E

Tablo 1.

(;1)

(-3;5)

(-4;-2)

(-1;-)

kök yok

(-5;1)

(3;5)

Karşılık gelen mektubu

Tablo 2

Böylece, bugünün dersinin konusunu formüle ettik.

"İkili denklem."

III. Yeni materyal öğrenmek

İkinci dereceden denklemleri nasıl çözeceğinizi zaten biliyor musunuz? Çeşitli türler. Bugün derste, ikinci dereceden denklemlerin çözümüne götüren denklemlerin ele alınmasına dönüyoruz. Bu tür denklemlerden biribiquadratic denklem.

Def. Denklemler görünümübalta 4 +bx 2 +c=0 , NeredeA 0, ismindebiquadratic denklem .

BIKUADRATİK DENKLEMLER - denbi - iki veLatincedört dörtlük - kare, yani iki kare.

örnek 1 denklemi çözelim

Çözüm. Biquadratic denklemlerin çözümü, ikinci dereceden denklemlerin yerine ikame edilerek çözümüne indirgenir.y = x 2 .

Bulmak içinX değiştirmeye geri dön:

X 1 = 1; X 2 = -1 x 3 =; X 4 = - Cevap 1; -1

Ele alınan örnekten, dördüncü dereceden denklemi ikinci dereceden denkleme getirmek için başka bir değişkenin tanıtıldığı görülebilir -de . Bu denklem çözme yöntemine denir.yeni değişkenleri tanıtma yöntemi.

Yeni bir değişken getirerek ikinci dereceden denklemlerin çözümüne götüren denklemleri çözmek için aşağıdaki algoritma derlenebilir:

1) Bir değişken değişikliği tanıtın: letX 2 = y

2) Yeni bir değişkenle ikinci dereceden bir denklem yazın:evet 2 + wu + c = 0

3) Yeni bir ikinci dereceden denklem çözün

4) Değişken ikamesine geri dön

5) Ortaya çıkan ikinci dereceden denklemleri çözün

6) Biquadratic denklemin çözüm sayısı hakkında bir sonuç çıkarın

7) Cevabı yazın

Sadece biquadratic değil, diğer bazı denklem türlerinin çözümü de ikinci dereceden denklemlerin çözümüne indirgenmiştir.

Örnek 2 denklemi çözelim

Çözüm. Yeni bir değişken tanıtalım

kökleri yoktur.

kök yok

Cevap: -

IV. Birincil sabitleme

Sen ve ben yeni bir değişkeni nasıl tanıtacağımızı öğrendik, yoruldun, o yüzden bir ara verelim.

Fizminutka

1. Gözlerinizi kapatın. Açık gözler (5 kez).

2. Dairesel göz hareketleri. Başınızı döndürmeyin (10 kez).

3. Başınızı çevirmeden, mümkün olduğunca sola bakın. Göz kırpma. Tam karşıya doğru bak. Birkaç kez göz kırpın. Gözlerini kapat ve dinlen. Aynısı sağa (2-3 kez).

4. Önünüzdeki herhangi bir nesneye bakın ve gözünüzü bu nesneden ayırmadan başınızı sağa ve sola çevirin (2-3 kez).

5. 1 dakika boyunca pencereden uzağa bakın.

6. 10-15 saniye yanıp söner.

Gözleriniz kapalı rahatlayın.

bu yüzden açtık yeni yöntem ancak denklem çözmenin başarısı bu yöntemle denklem çözmenin başarısı, denklemin yeni bir değişkenle doğruluğuna bağlıdır, denklem çözmenin bu aşaması üzerinde daha ayrıntılı duralım. Yeni bir değişkeni nasıl tanıtacağımızı ve yeni bir denklem yazmayı öğreneceğiz, kart numarası 1

Her öğrencinin bir kartı vardır.

1. KART

Yeni bir değişkenin tanıtılmasından kaynaklanan denklemi yazın

X 4 -13x 2 +36=0

y= olsun,

Daha sonra

X 4 +3x 2 -28 = 0

y= olsun

Daha sonra

(3x–5) 2 – 4(3х–5)=12

y= olsun

Daha sonra

(6x+1) 2 +2(6x+1) -24=0

y= olsun

Daha sonra

X 4 – 25x 2 + 144 = 0

y= olsun

Daha sonra

16x 4 – 8x 2 + 1 = 0

y= olsun

Daha sonra

Bilgi kontrolü:

X 4 -13x 2 +36=0

y=x olsun 2 ,

sonra sen 2 -13y+36=0

X 4 +3x 2 -28 = 0

y=x olsun 2 ,

sonra sen 2 +3y-28=0

(3x–5) 2 – 4(3х–5)=12

y=3x-5 olsun,

sonra sen 2 -4y-12=0

(6x+1) 2 +2(6x+1) -24=0

y=6x+1 olsun,

sonra sen 2 +2y-24=0

X 4 – 25x 2 + 144 = 0

y=x olsun 2 ,

sonra sen 2 -25y+144=0

16x 4 – 8x 2 + 1 = 0

y=x olsun 2 ,

sonra 16y 2 -8y+1=0

Tahtadaki örneklerin çözümü:

1. (T 2 -2 T) 2 -2(T 2 -2 T)-3=0 Cevap: -1;1;3.

   (2 kere 2 +x-1)(2x 2 + x-4) = 40 Cevap: -3;2

Bağımsız iş:

Seçenek 1 Seçenek 2

1)x 4 -5x 2 -36=0 1) x 4 -6x 2 +8=0

2)(2x 2 +3) 2 -12(2x 2 +3)+11=0 2) (x 2 +3) 2 -11(x 2 +3)+28=0

Yanıtlar:

Seçenek 1 Seçenek 2

1) -3;3 1) -;-2;2

2) -2;2 2) -1;1;-2;2.

V. Ders özeti

Dersi özetlemek, neyin başarılı olup olmadığına dair sonuçlar çıkarmak için lütfen kağıtlardaki cümleleri tamamlayınız.

- İlginçti çünkü...

Kendimi takdir etmek istiyorum...

- Dersi şu şekilde değerlendiririm...

VI. Ev ödevi :

(2 kere 2 +x-1)(2x 2 +x-4)+2=0

(X 2 -4x) 2 +9(x 2 -4х)+20=0

(X 2 +x)(x 2 +x-5)=84