Temel geometrik şekillerden biri üçgendir. Üç düz parçanın kesiştiği noktada oluşur. Bu doğru parçaları şeklin kenarlarını oluşturur ve bunların kesişme noktalarına köşe adı verilir. Geometri dersi alan her öğrencinin bu şeklin çevresini bulabilmesi gerekir. Edinilen beceri yetişkin yaşamında birçok kişi için faydalı olacaktır; örneğin bir öğrenci, mühendis, inşaatçı,

Var olmak Farklı yollarüçgenin çevresini bulunuz. İhtiyacınız olan formülün seçimi mevcut kaynak verilerine bağlıdır. Bu değeri matematiksel terminolojide yazmak için özel bir gösterim kullanılır - P. Çevrenin ne olduğunu, farklı türdeki üçgen şekiller için onu hesaplamanın ana yöntemlerini ele alalım.

En çok basit bir şekilde Tüm kenarlar mevcutsa şeklin çevresini bulun. Bu durumda aşağıdaki formül kullanılır:

“P” harfi çevrenin kendisini belirtir. Sırasıyla “a”, “b” ve “c” kenar uzunluklarıdır.

Üç büyüklüğün büyüklüğünü bilmek, bunların toplamını yani çevreyi elde etmek yeterli olacaktır.

Alternatif seçenek

Matematiksel problemlerde verilen tüm uzunluklar nadiren bilinir. Bu gibi durumlarda, gerekli değeri aramak için alternatif bir yöntemin kullanılması önerilir. Koşullar iki düz çizginin uzunluğunu ve aralarındaki açıyı gösterdiğinde üçüncü aranarak hesaplama yapılır. Bu sayıyı bulmak için aşağıdaki formülü kullanarak karekökü bulmanız gerekir:

.

Her iki tarafta çevre

Çevreyi hesaplamak için geometrik bir şeklin tüm verilerini bilmek gerekli değildir. Her iki taraftaki hesaplama yöntemlerini ele alalım.

İkizkenar üçgen

İkizkenar üçgen, en az iki kenarın aynı uzunluğa sahip olduğu üçgendir. Bunlara yanal denir ve üçüncü tarafa taban denir. Eşit düz çizgiler bir tepe açısı oluşturur. İkizkenar üçgenin özel bir özelliği, bir simetri ekseninin varlığıdır. Eksen, apikal açıdan uzanan ve tabanın ortasında biten dikey bir çizgidir. Özünde simetri ekseni aşağıdaki kavramları içerir:

• tepe açısının açıortayı;
• medyandan tabana;
• üçgenin yüksekliği;
• ortanca dik.

Bir ikizkenar üçgen şeklinin çevresini belirlemek için formülü kullanın.

Bu durumda yalnızca iki miktarı bilmeniz gerekir: taban ve bir tarafın uzunluğu. "2a" tanımı, kenar uzunluğunun 2 ile çarpılması anlamına gelir. Ortaya çıkan rakama, "b" tabanının değerini eklemeniz gerekir.

İstisnai bir durumda, bir ikizkenar üçgenin tabanının uzunluğu yan çizgisine eşit olduğunda daha basit bir yöntem kullanabilirsiniz. Aşağıdaki formülle ifade edilir:

Sonucu elde etmek için bu sayıyı üçle çarpmanız yeterlidir. Bu formül eşkenar üçgenin çevresini bulmak için kullanılır.

Faydalı video: üçgenin çevresi ile ilgili sorunlar

Sağ üçgen

Dik üçgen ile bu kategorideki diğer geometrik şekiller arasındaki temel fark, 90°'lik bir açının varlığıdır. Bu özelliğe göre figürün türü belirlenir. Bir dik üçgenin çevresinin nasıl bulunacağını belirlemeden önce, herhangi bir düz geometrik şekil için bu değerin tüm kenarların toplamı olduğunu belirtmekte fayda var. Bu durumda sonucu bulmanın en kolay yolu üç miktarı toplamaktır.

Bilimsel terminolojide bitişik olan kenarlar dik açı, “bacaklar” olarak adlandırılır ve 90 derecelik açının karşısındaki hipotenüstür. Bu figürün özellikleri eski Yunan bilim adamı Pisagor tarafından incelenmiştir. Pisagor teoremine göre hipotenüsün karesi bacakların karelerinin toplamına eşittir.

.

Bu teoreme dayanarak, bilinen iki kenarı kullanarak bir üçgenin çevresinin nasıl bulunacağını açıklayan başka bir formül türetilmiştir. Aşağıdaki yöntemi kullanarak bacakların belirtilen uzunluğu için çevreyi hesaplayabilirsiniz.

.

Çevreyi bulmak için, bir bacağın boyutu ve hipotenüs hakkında bilgi sahibi olarak ikinci hipotenüsün uzunluğunu belirlemeniz gerekir. Bu amaçla aşağıdaki formüller kullanılır:

.

Ayrıca açıklanan şekil tipinin çevresi, bacakların boyutlarına ilişkin veriler olmadan belirlenir.

Hipotenüsün uzunluğunu ve ona bitişik açıyı bilmeniz gerekecek. Bacaklardan birinin uzunluğunu bilerek, eğer ona bitişik bir açı varsa, şeklin çevresi aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

.

P=a+b+c Bir üçgenin çevresi nasıl bulunur: Çevreyi bulmanın armut toplamak kadar kolay olduğunu herkes bilir; sadece üçgenin üç kenarını toplamanız yeterlidir. Ancak bir üçgenin kenarlarının uzunluklarının toplamını bulmanın başka yolları da vardır. Adım 1 Üçgenin içindeki yazılı dairenin bilinen yarıçapı ve alanı verildiğinde, P=2S/r formülünü kullanarak çevreyi bulun. Adım 2 Eğer iki açıyı (örneğin, bir kenara komşu olan α ve β) ve bu kenarın uzunluğunu biliyorsanız, çevreyi bulmak için a+sinα∙a/(sin(180°-α-β) formülünü kullanın. )) + sinβ∙a /(sin(180°-α-β)). Adım 3 Koşul bitişik kenarları ve aralarındaki β açısını gösteriyorsa, çevreyi bulurken kosinüs teoremini dikkate alın. O halde P=a+b+√(a^2+b^2-2∙a∙b∙cosβ), burada a^2 ve b^2, bitişik kenarların uzunluklarının kareleridir. Kökün altındaki ifade, kosinüs teoremi ile ifade edilen üçüncü bilinmeyen tarafın uzunluğudur. Adım 4 Bir ikizkenar üçgen için çevre formülü P=2a+b formunu alır; burada a kenarlar ve b tabandır. Adım 5 P=3a formülünü kullanarak düzgün bir üçgenin çevresini hesaplayın. Adım 6 Üçgenin içine yazılan veya çevresine çizilen dairelerin yarıçaplarını kullanarak çevreyi bulun. Dolayısıyla, bir eşkenar üçgen için P=6r√3=3R√3 formülünü hatırlayın ve kullanın; burada r, yazılı dairenin yarıçapıdır ve R, çevrelenen dairenin yarıçapıdır. Adım 7 İkizkenar üçgen için, α'nın tabandaki açı ve β'nın tabanın karşısındaki açı olduğu P=2R(2sinα+sinβ) formülünü uygulayın.

Ön bilgi

Bir düzlem üzerindeki herhangi bir düz geometrik şeklin çevresi, tüm kenarlarının uzunluklarının toplamı olarak tanımlanır. Üçgen de bunun bir istisnası değildir. Öncelikle üçgen kavramını ve kenarlarına göre üçgen türlerini sunuyoruz.

Tanım 1

Birbirine doğru parçalarla bağlanan üç noktadan oluşan geometrik şekle üçgen diyeceğiz (Şekil 1).

Tanım 2

Tanım 1 çerçevesinde noktalara üçgenin köşeleri adını vereceğiz.

Tanım 3

Tanım 1 çerçevesinde segmentlere üçgenin kenarları adı verilecektir.

Açıkçası, herhangi bir üçgenin üç kenarının yanı sıra 3 köşesi olacaktır.

Kenarların birbirleriyle olan ilişkisine bağlı olarak üçgenler çeşitkenar, ikizkenar ve eşkenar olarak ayrılır.

Tanım 4

Kenarlarından hiçbiri diğerine eşit değilse üçgene çeşitkenar adını vereceğiz.

Tanım 5

İki tarafı birbirine eşit ancak üçüncü tarafa eşit değilse üçgene ikizkenar adını vereceğiz.

Tanım 6

Tüm kenarları birbirine eşitse üçgene eşkenar diyeceğiz.

Bu üçgenlerin tüm türlerini Şekil 2'de görebilirsiniz.

Çeşitkenar üçgenin çevresi nasıl bulunur?

Bize kenar uzunlukları $α$, $β$ ve $γ$'a eşit olan bir çeşitkenar üçgen verilsin.

Çözüm:Çevreyi bulmak için eşkenar olmayan üçgen kenarlarının tüm uzunluklarını birbirine eklemeniz gerekir.

örnek 1

Çeşitkenar üçgenin çevresini $34$ cm, $12$ cm ve $11$ cm'ye eşit olarak bulun.

$P=34+12+11=57$ cm

Cevap: 57$ cm.

Örnek 2

Bacakları $6$ ve $8$ cm olan dik üçgenin çevresini bulun.

Öncelikle Pisagor teoremini kullanarak bu üçgenin hipotenüslerinin uzunluğunu bulalım. Bunu $α$ ile gösterelim, o zaman

$α=10$ Bir çeşitkenar üçgenin çevresini hesaplama kuralına göre şunu elde ederiz:

$P=10+8+6=24$ cm

Cevap: $24$ bkz.

İkizkenar üçgenin çevresi nasıl bulunur?

Bize bir ikizkenar üçgen verilmiş olsun, kenar uzunlukları $α$, taban uzunluğu ise $β$ olacaktır.

Düz bir geometrik şeklin çevresini belirleyerek şunu elde ederiz:

$P=α+α+β=2α+β$

Çözüm: Bir ikizkenar üçgenin çevresini bulmak için, kenarlarının uzunluğunun iki katını tabanının uzunluğuna ekleyin.

Örnek 3

Kenarları 12$ cm ve tabanı 11$ cm olan bir ikizkenar üçgenin çevresini bulun.

Yukarıda tartışılan örnekten şunu görüyoruz:

$P=2\cdot 12+11=35$ cm

Cevap: 35$ cm.

Örnek 4

Tabana çizilen yüksekliği 8$ cm ve tabanı 12$ cm olan bir ikizkenar üçgenin çevresini bulun.

Problem koşullarına göre çizime bakalım:

Üçgen ikizkenar olduğundan, $BD$ aynı zamanda ortancadır, dolayısıyla $AD=6$ cm.

Pisagor teoremini kullanarak $ADB$ üçgeninin yan tarafını buluyoruz. Bunu $α$ ile gösterelim, o zaman

İkizkenar üçgenin çevresini hesaplama kuralına göre, şunu elde ederiz:

$P=2\cdot 10+12=32$ cm

Cevap: $32$ bkz.

Eşkenar üçgenin çevresi nasıl bulunur?

Bize tüm kenarlarının uzunluğu $α$'ya eşit olan bir eşkenar üçgen verilsin.

Düz bir geometrik şeklin çevresini belirleyerek şunu elde ederiz:

$P=α+α+α=3α$

Çözüm: Eşkenar üçgenin çevresini bulmak için üçgenin kenar uzunluğunu $3$ ile çarpın.

Örnek 5

Bir kenarı 12$ cm olan eşkenar üçgenin çevresini bulunuz.

Yukarıda tartışılan örnekten şunu görüyoruz:

$P=3\cdot 12=36$ cm

Çevre, herhangi bir çokgenin tüm kenarlarının uzunluklarının toplamıdır. Bu nedenle önünüzde ne olduğunu düşünmeden geometrik şekil, tüm kenarların uzunluğunu bir cetvelle ölçmekten ve toplamaktan çekinmeyin. Böylece çevreyi elde edersiniz.

Geometrinin temellerinden bahsediyorsak, çevre üçgenin tüm kenarlarının toplamıdır: P = a + b + c.

Bununla birlikte, daha karmaşık geometrik ve trigonometrik problemlerden bahsediyorsak, bize belirli veriler verildiğinde, bir üçgenin çevresini hesaplamak için başka formüller de vardır:

Üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı ve alanı biliniyorsa çevre şu formülle hesaplanır: P=2S/r.

İki açı biliniyorsa örneğin α ve β, bir kenara bitişik ve bu kenarın uzunluğu ise çevre formülü aşağıdaki gibidir: P=a+sinamp;#945;amp;#8729;a/(sin(180-) amp;#945;- amp;#946;)) + sinamp;#946;amp;#8729;a/(sin(180-amp;#945;-amp;#946;))

Bitişik kenarların uzunlukları ve β aralarında, daha sonra çevre kosinüs teoremi formülü kullanılarak hesaplanır: P=a+b+amp;#8730;(a2+b2-2amp;#8729;aamp;#8729;bamp;#8729;cosamp;#946; ), burada a2 ve b2 bitişik kenarların uzunluklarının kareleridir. Kökün altındaki ifade, kosinüs teoremi ile ifade edilen üçüncü bilinmeyen tarafın uzunluğudur.

Bir ikizkenar üçgenin çevresi aşağıdaki P=2a+b formuna sahiptir; burada a kenarlar ve b tabandır.

Düzgün bir üçgenin çevresi: P=3a.

Bir eşkenar üçgenin çevre formülü, eğer yazılı dairenin yarıçapı P=6ramp;#8730;3 veya etrafındaki çevrel dairenin yarıçapı P=3Ramp;#8730;3 biliniyorsa, burada r ve R, sırasıyla yazılı veya çevrelenmiş dairenin yarıçapları.

İkizkenar üçgen için bir formül vardır: P=2R(2sinamp;#945;+sinamp;#946;), burada amp;#945; taban açısı, amp;#946; tabana zıt açı.

Sorun bildiriminden bildiklerinize bağlı olarak.

En basit seçenek tüm kenarların uzunluklarını toplamaktır.

Eşkenar üçgende kenar uzunluğu üçle çarpılır.

P=2S/r formülüne göre S, dairenin alanı ve r ise yarıçapıdır.

Açıları biliniyorsa bir üçgenin alanını bulmanın formülleri de vardır.

Üçgen eşkenar ise çevresini bulmak için bir tarafın uzunluğunu üçle çarpmanız gerekir. Ve eğer bir üçgen çeşitkenar ise, çevresini bulmak için tüm kenarlarının uzunluklarını toplamanız gerekir.

• Bir üçgenin çevresi nasıl bulunur

  Yardım için Yandex'i arayabilirsiniz. Arama çubuğuna şunu girin:

  üçgenin çevresi

  Yandex size sadece değerleri değiştirmeniz gereken bu arayüzü sunacak.

  

Eşkenar üçgenin çevresini bulmak için bir kenarının uzunluğunu üçle çarpmanız gerekir.

Bir ikizkenar üçgenin çevresini bulmak için, eşit uzunluktaki kenarlardan birinin uzunluğunu almanız, ikiyle çarpmanız ve tabanın uzunluğunu eklemeniz gerekir.



Bir cetvel alın, üçgenin her bir kenarını ölçün (eğer eşkenar ise yalnızca bir tanesini ölçebilirsiniz) ve kenarlarının uzunluklarını toplayın. Eşkenar üçgen olması durumunda, kenarının uzunluğunu 3 ile çarpın.

Kafanızda, bir sütunda, bir hesap makinesinde - matematiksel yeteneklerinize ve bir hesap makinesinin varlığına veya yokluğuna bağlı olarak elinizden geldiğince.

Bir üçgenin çevresini bulun, eğer her bir kenarının uzunluğu biliniyorsa, sadece kenarların uzunluklarını toplayıp çevreyi elde etmeniz yeterlidir: (P=a+b+c).

Bulmak daha da kolay eşkenar üçgenin çevresi sadece kenarının uzunluğunu 3 ile çarpmanız yeterlidir: (P=3a).



Ancak çoğu zaman çevreyi hesaplama ihtiyacı, tüm kenarlarının uzunluğu bilinmediğinde ortaya çıkar.

Bu nedenle, eğer c üçgeninin bir tarafı ve komşu açıları biliniyorsa, o zaman çevre hesaplama formülüşöyle görünecek:

Bir üçgenin çevresini bulmak kolaydır. Çevre bir üçgenin üç kenarının uzunluğudur. Birinci tarafı, ikinci tarafı ve üçüncü tarafı katlamanız gerekir - toplam üç kenarın uzunluğu üçgenin çevresi olacaktır.

Çevre, kenarların uzunluklarının toplamıdır. Üçgenin tüm kenarlarının uzunluklarını toplamamız gerekiyor. Yoksa bir şeyi yanlış mı anladım? Görevin ilk verileri nelerdir?

Bir üçgenin çevresini bulmak için üç kenarının uzunluklarını toplamanız gerekir. Üçgen ikizkenar ise, bir kenarın uzunluğunu 2 ile çarpabilir ve tabanın uzunluğunu ekleyebilir, böylece bir ikizkenar üçgenin çevresini elde edebilirsiniz.

Bir üçgenin çevresi nasıl bulunur? Her birimiz okulda okurken bu soruyu sorduk. Bu muhteşem figür hakkında bildiğimiz her şeyi hatırlamaya çalışalım ve aynı zamanda şu soruya da cevap verelim: sorulan soru.

Bir üçgenin çevresinin nasıl bulunacağı sorusunun cevabı genellikle oldukça basittir - sadece tüm kenarlarının uzunluklarını toplama prosedürünü uygulamanız yeterlidir. Ancak birkaç tane daha var basit yöntemler istenilen değer.

tavsiye

Bir üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı (r) ve alanı (S) biliniyorsa, üçgenin çevresinin nasıl bulunacağı sorusunun cevabı oldukça basittir. Bunu yapmak için her zamanki formülü kullanmanız gerekir:

Eğer iki açı biliniyorsa, örneğin kenara bitişik olan α ve β ve kenarın uzunluğu biliniyorsa, çevre çok çok popüler bir formül kullanılarak bulunabilir:

sinβ∙а/(sin(180° - β - α)) + sinα∙а/(sin(180° - β - α)) + а

Bitişik kenarların uzunluklarını ve aralarındaki β açısını biliyorsanız, çevreyi bulmak için kosinüs teoremini kullanmanız gerekir. Çevre aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

P = b + a + √(b2 + a2 - 2∙b∙а∙cosβ),

burada b2 ve a2 bitişik kenarların uzunluklarının kareleridir. Radikal ifade, kosinüs teoremi kullanılarak ifade edilen, bilinmeyen üçüncü tarafın uzunluğudur.

Bir ikizkenar üçgenin çevresini nasıl bulacağınızı bilmiyorsanız, burada aslında karmaşık bir şey yoktur. Formülü kullanarak hesaplayın:

burada b üçgenin tabanı, a ise kenarlarıdır.

Normal bir üçgenin çevresini bulmak için en basit formülü kullanın:

burada a kenar uzunluğudur.

Sadece etrafını çevreleyen veya içine yazılan dairelerin yarıçapları biliniyorsa, bir üçgenin çevresi nasıl bulunur? Üçgen eşkenar ise, formül uygulanmalıdır:

P = 3R√3 = 6r√3,

burada R ve r sırasıyla çevrel çemberin ve yazılı çemberin yarıçaplarıdır.

Üçgen ikizkenar ise, formül ona uygulanır:

P=2R (sinβ + 2sinα),

burada α tabanda bulunan açıdır ve β tabanın karşısındaki açıdır.

Çoğu zaman, matematik problemlerini çözmek, derinlemesine analiz ve gerekli formülleri bulma ve türetme konusunda özel bir beceri gerektirir ve çoğu insanın bildiği gibi, bu oldukça zor bir iştir. Ancak bazı problemler tek bir formülle çözülebilir.

Çok çeşitli üçgen türlerine göre bir üçgenin çevresinin nasıl bulunacağı sorusunu yanıtlamak için temel olan formüllere bakalım.

Elbette bir üçgenin çevresini bulmanın ana kuralı şu ifadedir: Bir üçgenin çevresini bulmak için uygun formülü kullanarak tüm kenarlarının uzunluklarını eklemeniz gerekir:

burada b, a ve c üçgenin kenarlarının uzunluklarıdır ve P üçgenin çevresidir.

Bu formülün birkaç özel durumu vardır. Diyelim ki probleminiz şu şekilde formüle edildi: "dik üçgenin çevresi nasıl bulunur?" Bu durumda aşağıdaki formülü kullanmalısınız:

P = b + a + √(b2 + a2)

Bu formülde b ve a dik üçgenin bacaklarının dolaysız uzunluklarıdır. (Hipotenüs) tarafı yerine, antik çağın büyük bilim adamı Pisagor'un teoreminden elde edilen bir ifadenin kullanıldığını tahmin etmek kolaydır.

Üçgenlerin benzer olduğu bir sorunu çözmeniz gerekiyorsa, şu ifadeyi kullanmak mantıklı olacaktır: çevrelerin oranı benzerlik katsayısına karşılık gelir. Diyelim ki iki benzer üçgeniniz var: ΔABC ve ΔA1B1C1. Daha sonra benzerlik katsayısını bulmak için ΔABC çevresini ΔA1B1C1 çevresine bölmek gerekir.

Sonuç olarak, bir üçgenin çevresinin en çok kullanılarak bulunabileceği belirtilebilir. çeşitli teknikler, sahip olduğunuz ilk verilere bağlı olarak. Dik üçgenler için bazı özel durumların olduğunu da eklemek gerekir.