Öğrenciler matematiğe çalışırken aşina olmaya başlarlar. çeşitli türler geometrik şekiller. Bugün farklı üçgen türlerinden bahsedeceğiz.

Tanım

Aynı doğru üzerinde olmayan üç noktadan oluşan geometrik şekillere üçgen denir.

Noktaları birleştiren parçalara kenarlar, noktalara ise köşeler adı verilir. Köşeler büyük harflerle belirtilir, örneğin: A, B, C.

Kenarlar, oluştukları iki noktanın adlarıyla belirtilir - AB, BC, AC. Kesişen kenarlar açı oluşturur. Alt taraf şeklin tabanı olarak kabul edilir.

Pirinç. 1. ABC Üçgeni.

Üçgen türleri

Üçgenler açılara ve kenarlara göre sınıflandırılır. Her üçgen tipinin kendine has özellikleri vardır.

Köşelerde üç tür üçgen vardır:

• dar açılı;
• dikdörtgen;
• geniş açılı.

Tüm açılar dar açılıüçgenler dar açılıdır, yani her birinin derece ölçüsü 90 0'dan fazla değildir.

Dikdörtgenüçgen bir dik açı içerir. Diğer iki açı her zaman dar açı olacaktır, aksi takdirde üçgenin açılarının toplamı 180 dereceyi aşacaktır ve bu imkansızdır. Karşı taraf dik açı, hipotenüs ve diğer iki bacak olarak adlandırılır. Hipotenüs her zaman bacaktan daha büyüktür.

Genişüçgen geniş bir açı içerir. Yani 90 dereceden büyük bir açıdır. Böyle bir üçgendeki diğer iki açı dar olacaktır.

Pirinç. 2. Köşelerdeki üçgen çeşitleri.

Pisagor üçgeni, kenarları 3, 4, 5 olan bir dikdörtgendir.

Ayrıca büyük olan taraf hipotenüstür.

Bu tür üçgenler genellikle yapmak için kullanılır basit görevler geometride. Bu nedenle şunu unutmayın: Bir üçgenin iki kenarı 3'e eşitse üçüncüsü kesinlikle 5 olacaktır. Bu, hesaplamaları basitleştirecektir.

Yanlardaki üçgen türleri:

• eşkenar;
• ikizkenar;
• çok yönlü.

Eşkenarüçgen tüm kenarları eşit olan üçgendir. Böyle bir üçgenin tüm açıları 60 0'a eşittir, yani her zaman dardır.

İkizkenarüçgen - yalnızca iki tarafı eşit olan bir üçgen. Bu taraflara yan, üçüncü tarafa ise taban denir. Ayrıca ikizkenar üçgenin tabanındaki açılar eşit ve daima dardır.

Çok yönlü veya keyfi üçgen Bütün uzunlukları ve bütün açıları birbirine eşit olmayan üçgene denir.

Sorun şekille ilgili herhangi bir açıklama içermiyorsa, genel olarak keyfi bir üçgenden bahsettiğimiz kabul edilir.

Pirinç. 3. Yanlardaki üçgen çeşitleri.

Bir üçgenin türü ne olursa olsun tüm açılarının toplamı 1800'dür.

Büyük açının karşısında daha büyük kenar bulunur. Ayrıca herhangi bir kenarın uzunluğu her zaman diğer iki kenarın toplamından küçüktür. Bu özellikler üçgen eşitsizliği teoremi ile doğrulanır.

Altın üçgen diye bir kavram var. Bu, iki tarafın tabanla orantılı ve belirli bir sayıya eşit olduğu bir ikizkenar üçgendir. Böyle bir şekilde açılar 2:2:1 oranıyla orantılıdır.

Görev:

Kenarları 6 cm, 3 cm, 4 cm olan bir üçgen var mı?

Çözüm:

Bu görevi çözmek için eşitsizliği kullanmanız gerekir.

Ne öğrendik?

5. sınıf matematik dersindeki bu materyalden üçgenlerin kenarlarına ve açılarının boyutlarına göre sınıflandırıldığını öğrendik. Üçgenlerin problemleri çözmek için kullanılabilecek belirli özellikleri vardır.

Üçgen . Dar, geniş ve dik üçgen.

Bacaklar ve hipotenüs. İkizkenar ve eşkenar üçgen.

Bir üçgenin açılarının toplamı.

Bir üçgenin dış açısı. Üçgenlerin eşitliğinin işaretleri.

Bir üçgende dikkate değer çizgiler ve noktalar: yükseklikler, kenarortaylar,

ortancalar, medyan e dikler, diklik merkezi,

ağırlık merkezi, çevrelenmiş bir dairenin merkezi, yazılı bir dairenin merkezi.

Pisagor teoremi. Rastgele bir üçgende en boy oranı.

Üçgen üç tarafı (veya üç açısı) olan bir çokgendir. Bir üçgenin kenarları genellikle karşıt köşeleri temsil eden büyük harflere karşılık gelen küçük harflerle gösterilir.

Her üç açı da dar ise (Şekil 20), o zaman bu dar üçgen . Açılardan biri doğruysa(C, Şekil 21), yani dik üçgen; taraflara, bdik açı oluşturanlara denir bacaklar; tarafCdik açının karşısına denir hipotenüs. Eğer biri geniş açılar (B, Şekil 22), yani geniş açılı üçgen.


ABC Üçgeni (Şek. 23) - ikizkenar, Eğer iki kenarları eşittir (A= C); bu eşit kenarlara denir yanal, üçüncü taraf çağrılır temelüçgen. Üçgen ABC (Şek. 24) – eşkenar, Eğer Tüm kenarları eşittir (A = B = C). Genel olarak ( A ≠ B ≠ C) sahibiz skalenüçgen .

Üçgenlerin temel özellikleri. Herhangi bir üçgende:

1. Büyük tarafın karşısında daha büyük açı bulunur ve bunun tersi de geçerlidir.

2. Eşit açılar eşit kenarların karşısında yer alır ve bunun tersi de geçerlidir.

Özellikle tüm açılar eşkenarüçgen eşittir.

3. Üçgenin iç açılarının toplamı 180'dir º .

Son iki özellikten eşkenardaki her açının olduğu sonucu çıkar.

üçgen 60'tır º.

4. Üçgenin kenarlarından birinden devam edilirse (AC, Şek. 25), aldık harici

BCD açısı . Üçgenin dış açısı iç açılarının toplamına eşittir,

ona bitişik değil : BCD = A + B.

5. Herhangi Üçgende bir kenar diğer iki kenarın toplamından küçük ve büyüktür

onların farklılıkları (A < B + C, A > B – C;B < A + C, B > A – C;C < A + B,C > A – B).

Üçgenlerin eşitliğinin işaretleri.

Üçgenler sırasıyla eşitse eştir:

A ) iki kenar ve aralarındaki açı;

B ) iki köşe ve onlara bitişik olan taraf;

c) üç taraf.

Dik üçgenlerin eşitlik işaretleri.

İki dikdörtgen Aşağıdaki koşullardan biri doğruysa üçgenler eşittir:

1) bacakları eşittir;

2) bir üçgenin kenarı ve hipotenüsü diğerinin kenarı ve hipotenüsüne eşittir;

3) bir üçgenin hipotenüsü ve dar açısı diğerinin hipotenüsüne ve dar açısına eşittir;

4) bir üçgenin bacağı ve bitişik dar açısı diğerinin bacağına ve bitişik dar açısına eşittir;

5) bacak ve bir üçgenin karşı dar açısı bacağa eşittir ve diğerinin zıt dar açısı.

Üçgendeki harika çizgiler ve noktalar.

Yükseklik üçgendik,herhangi bir tepe noktasından karşı tarafa indirildi ( veya devamı). Bu tarafa denirüçgenin tabanı . Bir üçgenin üç yüksekliği her zaman kesişirbir noktada, isminde diklik merkeziüçgen. Dar bir üçgenin ortomerkezi (noktaÖ , Şekil 26) üçgenin içinde bulunur vegeniş bir üçgenin diklik merkezi (noktaÖ , şekil 27) – dıştan; Bir dik üçgenin diklik merkezi, dik açının tepe noktasıyla çakışır.

Medyan - Bu çizgi segmenti Bir üçgenin herhangi bir köşesini karşı kenarın ortasına bağlamak. Bir üçgenin üç medyanı (AD, BE, CF, şek.28) bir noktada kesişmek Ö , daima üçgenin içinde yer alır ve onun olmak ağırlık merkezi. Bu nokta her medyanı tepe noktasından itibaren sayarak 2:1 oranında böler.

Açıortay - Bu açıortay segmenti tepe noktasından noktaya açı karşı tarafla kesişmeler. Bir üçgenin üç açıortayı (AD, BE, CF, şek.29) bir noktada kesişmek Ah, her zaman üçgenin içinde yatıyorum Ve yapı yazılı dairenin merkezi(bkz. “Yazılıve çevrelenmiş çokgenler").

Açıortay, karşı tarafı bitişik kenarlarla orantılı parçalara böler ; örneğin, Şekil 29'da AE: CE = AB: BC.

Ortanca dik ortasından çizilen bir dikmedir segment noktaları (yanlar). ABC üçgeninin üç dik açıortayı(KO, MO, HAYIR, Şekil 30 ) bir O noktasında kesişir, bu da merkez sınırlı daire (K, M, N noktaları – Üçgenin kenarlarının orta noktaları ABC).

Dar bir üçgende bu nokta üçgenin içinde yer alır; geniş - dışarıda; dikdörtgen şeklinde - hipotenüsün ortasında. Ortocenter, ağırlık merkezi, çevre merkezi ve yazılı daire yalnızca eşkenar üçgende çakışır.

Pisagor teoremi. Bir dik üçgende uzunluğun karesiHipotenüs, bacakların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir.

Pisagor teoreminin kanıtı Şekil 31'den açıkça görülmektedir. Bir dik üçgen düşünün Bacakları olan ABC a, b ve hipotenüs C.

Bir kare inşa edelim AKMB hipotenüsü kullanma AB bir taraf olarak. Daha sonrasağ üçgenin kenarlarına devam edin ABC bir kare elde etmek için CDEF kenarları eşit olana + b .Şimdi karenin alanının açık olduğu açıktır. CDEF eşittir ( a+b) 2 . Öte yandan bu alan toplamına eşittir alanlar dört dik üçgen ve AKMB meydanı, yani

C 2 + 4 (ab / 2) = C 2 + 2 ab,

buradan,

C 2 + 2 ab= (a+b) 2 ,

ve sonunda elimizde:

C 2 =A 2 +b 2 .

Rastgele bir üçgende en boy oranı.

Genel durumda (keyfi bir üçgen için) elimizde:

C 2 =A 2 +b 2 – 2ab· çünkü C,

nerede C – kenarlar arasındaki açıA Ve B .

Üçgen birbirine bağlı üç noktadan oluşan bir şekildir. Açılara bağlı olarak bir üçgen şöyle olabilir:

• Dikdörtgen Açılardan biri 90 derece ise;
• Geniş, eğer açılardan biri genişse, yani 90 dereceden fazla;
• Dar açılı Eğer üçgenin tüm açıları dar ise.

Akut üçgenlerle ilgili problemleri çözmek için sıklıkla sinüs veya kosinüs teoremini kullanmanız gerekir.

Ayrıca Antik Yunan matematikçiler üçgenleri incelediler. Üçgenlerle ilgili birçok teoremi içeren modern geometrinin temellerini geliştirenler Yunanlılardı. Örneğin Pisagor teoreminin yazarı Antik Yunan'dan gelmektedir.

Özellikler

Dar bir üçgende her açı 90 dereceden küçüktür. Ancak bir üçgende açıların toplamı her zaman 180'e eşittir. Herhangi bir şekilde köşeler büyük harflerle gösterilir.

Bir üçgenin kenarları ve açılarıyla birlikte elemanlarından biri dış açıdır. Dış açı, bir üçgenin iç açısına komşu olan açıdır.

Herhangi bir üçgenin, her biri iç açı için 2 olmak üzere 6 dış açısı vardır. Dar bir üçgenin herhangi bir dış açısı her zaman geniş bir açı olacaktır.

Dar bir üçgenin çizgileri

Dar bir üçgenin bir takım özellikleri vardır.

Medyan, geometrik şeklin indirildiği tarafın uzunluğunun yarısına eşit olacaktır. Üstelik bu parça herhangi bir köşeden çizilebilir.

Pirinç. 1. Dar bir üçgendeki kenarortaylar

Dar bir üçgende üç yükseklik çizerseniz, bunların ortosantr adı verilen bir noktada kesişeceği bilinmektedir. Bu bölümler karşıt taraflara dik açılarla indirilir. Dar bir üçgendeki yükseklikler bu rakamı benzer üçgenlere böler.

Pirinç. 2. Dar bir üçgende yükseklikler

Dar bir üçgendeki açıortaylar yalnızca açıları ikiye bölmekle kalmaz. Bu bölümler yazılı dairenin merkezi olan bir noktada kesişir.

Ayrıca açıortay, dar bir üçgenin kenarını karşılık gelen kenarlarla orantılı iki parçaya böler. Bazı sorunların çözümü için bu ifadenin hatırlanması gerekir.

Pirinç. 3. Dar bir üçgendeki açıortaylar

Özellikler

Eğer eklersek sayısal değerler Dar bir üçgenin herhangi iki kenarı varsa, kesinlikle belirli bir geometrik şeklin üçüncü bölümünden daha büyük bir şekil elde edeceğiz.

Dar bir üçgenin orta çizgisi bu şeklin kenarlarından birine paraleldir ve yarısının yarısına eşittir.

Ne öğrendik?

Dar bir üçgende her açı 90 dereceden küçüktür. Buradaki açıların toplamı da 180 derecedir. Üçgenin karakteristik çizgilerini unutmamalıyız. Çünkü onların yardımıyla belirli bir üçgen şeklin kenarlarını veya belirli bir dairenin merkezini hesaplamak kolaydır. Ve geometri problemleri koşullarında açılar belirtilmişse, trigonometrik fonksiyonları kullanabilirsiniz.

Konuyla ilgili deneme

Makale derecelendirmesi

Ortalama puanı: 4.5. Alınan toplam puan: 114.

Tüm kenarların aynı uzunlukta olmadığı belirli bir üçgene genellikle denir çok yönlü.

İki kenarı eşit olan üçgen şu şekilde gösterilir: ikizkenar. Aynı taraflara genellikle denir yanal, üçüncü şahıs - temel. Aşağıdaki tanım eşit derecede doğru olacaktır üçgen üsleri ikizkenar üçgenin diğer iki kenara eşit olmayan tarafıdır.

İÇİNDE ikizkenar üçgen tabandaki açılar eşittir. Yükseklik, medyan, açıortay tabanına çizilen bir ikizkenar üçgenin kenarları hizalanmıştır.

Üçgen tüm kenarları eşit olan, şu şekilde gösterilir: eşkenar veya doğru. Eşkenar üçgende tüm açılar 60°'dir ve yazılı ve çevrelenmiş dairelerin merkezleri aynı hizadadır.

Açı parametrelerine bağlı olarak üçgen türleri.

Yalnızca 90°'den (dar) küçük açılara sahip olan üçgenlere üçgen denir. dar açılı.

Bir açısı 90 0 olan üçgene denir dikdörtgen. Dik açı oluşturan bir üçgenin kenarları genellikle belirlenir bacaklar ve dik açının karşısındaki kenar hipotenüs.

Bugün farklı üçgen türleriyle tanışacağımız Geometri ülkesine gidiyoruz.

Dikkate almak geometrik şekiller ve aralarından “ekstra” olanı bulun (Şekil 1).

Pirinç. 1. Örnek olarak illüstrasyon

1, 2, 3, 5 numaralı şekillerin dörtgen olduğunu görüyoruz. Her birinin kendi adı vardır (Şekil 2).

Pirinç. 2. Dörtgenler

Bu, “ekstra” şeklin bir üçgen olduğu anlamına gelir (Şekil 3).

Pirinç. 3. Örnek olarak illüstrasyon

Üçgen, aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktadan ve bu noktaları çiftler halinde birbirine bağlayan üç parçadan oluşan bir şekildir.

noktalar denir üçgenin köşeleri, segmentler - onun partiler. Üçgen formunun kenarları Üçgenin köşelerinde üç açı vardır.

Bir üçgenin temel özellikleri şunlardır: üç kenar ve üç köşe. Açının büyüklüğüne göre üçgenler akut, dikdörtgen ve geniş.

Bir üçgenin üç açısı da dar ise, yani 90°'den küçükse, dar açılı olarak adlandırılır (Şekil 4).

Pirinç. 4. Akut üçgen

Açılarından biri 90° ise üçgene dikdörtgen denir (Şekil 5).

Pirinç. 5. Sağ Üçgen

Açılarından biri genişse, yani 90°'den büyükse üçgene geniş üçgen denir (Şekil 6).

Pirinç. 6. Geniş üçgen

Eşit kenar sayısına göre üçgenler eşkenar, ikizkenar, çeşitkenardır.

İkizkenar üçgen, iki tarafın eşit olduğu üçgendir (Şekil 7).

Pirinç. 7. İkizkenar üçgen

Bu taraflara denir yanal, Üçüncü taraf - temel. İkizkenar üçgende taban açıları eşittir.

İkizkenar üçgenler var akut ve kalın(Şekil 8) .

Pirinç. 8. Dar ve geniş ikizkenar üçgenler

Eşkenar üçgen, üç kenarın da eşit olduğu üçgendir (Şekil 9).

Pirinç. 9. Eşkenar üçgen

Eşkenar üçgende tüm açılar eşittir. Eşkenar üçgenler Her zaman dar açılı.

Çeşitkenar üçgen, üç kenarın da birbirine eşit olduğu üçgendir farklı uzunluklar(Şekil 10).

Pirinç. 10. Çeşitkenar üçgen

Görevi tamamla. Bu üçgenleri üç gruba ayırın (Şekil 11).

Pirinç. 11. Görev için örnek resim

Öncelikle açıların büyüklüğüne göre dağıtalım.

Dar üçgenler: No. 1, No. 3.

Dik üçgenler: No. 2, No. 6.

Geniş üçgenler: No. 4, No. 5.

Aynı üçgenleri eşit kenar sayısına göre gruplara ayıracağız.

Çeşitkenar üçgenler: No. 4, No. 6.

İkizkenar üçgenler: No. 2, No. 3, No. 5.

Eşkenar üçgen: No. 1.

Resimlere bakmak.

Her üçgenin hangi tel parçasından yapıldığını düşünün (Şekil 12).

Pirinç. 12. Görev için örnek resim

Şöyle düşünebilirsiniz.

İlk tel parçası üç eşit parçaya bölünmüştür, böylece ondan bir eşkenar üçgen oluşturabilirsiniz. Resimde üçüncü olarak gösteriliyor.

İkinci tel parçası üç farklı parçaya bölünmüştür, böylece bir çeşitkenar üçgen oluşturmak için kullanılabilir. Resimde ilk olarak gösterilmektedir.

Üçüncü tel parçası, iki parçanın aynı uzunluğa sahip olduğu üç parçaya bölünmüştür, bu da ondan bir ikizkenar üçgen yapılabileceği anlamına gelir. Resimde ikinci sırada gösteriliyor.

Bugün sınıfta farklı üçgen türlerini öğrendik.

Kaynakça

1. Mİ. Moreau, MA Bantova ve diğerleri Matematik: Ders Kitabı. 3. sınıf: 2 bölüm, bölüm 1. - M .: “Aydınlanma”, 2012.
2. Mİ. Moreau, MA Bantova ve diğerleri Matematik: Ders Kitabı. 3. sınıf: 2 bölüm, bölüm 2. - M.: “Aydınlanma”, 2012.
3. Mİ. Moro. Matematik dersleri: Öğretmenler için metodolojik öneriler. 3. sınıf. - M.: Eğitim, 2012.
4. Düzenleyici belge. Öğrenme çıktılarının izlenmesi ve değerlendirilmesi. - M .: “Aydınlanma”, 2011.
5. “Rusya Okulu”: İlkokul programları. - M .: “Aydınlanma”, 2011.
6. Sİ. Volkova. Matematik: Test çalışması. 3. sınıf. - M.: Eğitim, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Testler. - M .: “Sınav”, 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Ev ödevi

1. İfadeleri tamamlayın.

a) Üçgen, aynı doğru üzerinde yer almayan ve bu noktaları çiftler halinde birleştiren ...lerden oluşan bir şekildir.

b) Noktalara denir … , segmentler - onun … . Üçgenin kenarları üçgenin köşelerinde oluşur ….

c) Açının büyüklüğüne göre üçgenler ... , ... , ... dir.

d) Eşit kenar sayısına göre üçgenler ... , ... , ... şeklindedir.

2. Beraberlik

a) dik üçgen;

b) dar üçgen;

c) geniş üçgen;

d) eşkenar üçgen;

e) çeşitkenar üçgen;

e) ikizkenar üçgen.

3. Arkadaşlarınız için dersin konusuyla ilgili bir ödev oluşturun.