Denklemleri kullanarak problem çözmenin genel teorisi

Belirli problem türlerine geçmeden önce, çeşitli problemleri denklemler kullanarak çözmeye yönelik genel bir teori sunuyoruz. Öncelikle ekonomi, geometri, fizik ve daha pek çok disiplindeki problemler denklemlere indirgenir. Denklemleri kullanarak problemleri çözmenin genel prosedürü aşağıdaki gibidir:

• Sorun koşullarından aradığımız tüm miktarlar ve yardımcı miktarlar bizim için uygun değişkenlerle gösterilir. Çoğu zaman bu değişkenler Latin alfabesinin son harfleridir.
• Verileri görevlerde kullanma sayısal değerler sözlü ilişkilerin yanı sıra bir veya daha fazla denklem derlenir (problemin koşullarına bağlı olarak).
• Ortaya çıkan denklemi veya sistemini çözüp “mantıksız” çözümleri atarlar. Örneğin, alanı bulmanız gerekiyorsa, negatif bir sayı açıkça yabancı bir kök olacaktır.
• Son cevabı alıyoruz.

Cebirde örnek problem

Burada herhangi bir spesifik alana bağlı kalmadan ikinci dereceden denkleme indirgenen bir problem örneği vereceğiz.

örnek 1

Bu tür iki irrasyonel sayıyı bulun, kareleri toplarken sonuç beş olacak ve her zamanki gibi bir araya getirildiklerinde üç elde edilecektir.

Bu sayıları $x$ ve $y$ harfleriyle gösterelim. Problemin koşullarına göre $x^2+y^2=5$ ve $x+y=3$ olmak üzere iki denklem oluşturmak oldukça kolaydır. Bir tanesinin kare olduğunu görüyoruz. Bir çözüm bulmak için sistemi çözmeniz gerekir:

$\cases(x^2+y^2=5,\\x+y=3.)$

İlk önce ikinci $x$'dan ifade ediyoruz

İlkine ikame etme ve temel dönüşümleri gerçekleştirme

$(3-y)^2 +y^2=5$

$9-6y+y^2+y^2=5$

İkinci dereceden denklemin çözümüne geçtik. Bunu formüller kullanarak yapalım. Diskriminantı bulalım:

İlk kök

$y=\frac(3+\sqrt(17))(2)$

İkinci kök

$y=\frac(3-\sqrt(17))(2)$

İkinci değişkeni bulalım.

İlk kök için:

$x=3-\frac(3+\sqrt(17))(2)=\frac(3-\sqrt(17))(2)$

İkinci kök için:

$x=3-\frac(3-\sqrt(17))(2)=\frac(3+\sqrt(17))(2)$

Sayıların sırası bizim için önemli olmadığından bir çift sayı elde ederiz.

Cevap: $\frac(3-\sqrt(17))(2)$ ve $\frac(3+\sqrt(17))(2)$.

Fizikteki bir problem örneği

Fizikte ikinci dereceden bir denklemin çözümüne yol açan bir problem örneğini ele alalım.

Örnek 2

Sakin havada düzgün bir şekilde uçan bir helikopterin hızı 250 $ km/saattir. Üssünden 70$ km uzakta bulunan yangının olduğu yere uçması ve geri dönmesi gerekiyor. Bu sırada üsse doğru esen rüzgar helikopterin ormana doğru hareketini yavaşlatıyordu. Bu nedenle üsse 1 saat erken döndü. Rüzgar hızını bulun.

Rüzgar hızını $v$ ile gösterelim. Daha sonra helikopterin $250-v$ gerçek hızıyla ormana doğru uçacağını ve geriye doğru gerçek hızının $250+v$ olacağını elde ederiz. Oraya gidiş ve dönüş yolculuğunun süresini hesaplayalım.

$t_1=\frac(70)(250-v)$

$t_2=\frac(70)(250+v)$

Helikopter üsse 1$ saat erken döndüğüne göre,

$\frac(70)(250-v)-\frac(70)(250+v)=1$

Sol tarafı ortak bir paydaya getirelim, orantı kuralını uygulayalım ve temel dönüşümleri gerçekleştirelim:

$\frac(17500+70v-17500+70v)((250-v)(250+v))=1$

$140v=62500-v^2$

$v^2+140v-62500=0$

Bu sorunu çözmek için ikinci dereceden bir denklem elde ettik. Hadi çözelim.

Bunu bir diskriminant kullanarak çözeceğiz:

$D=19600+250000=269600≈519^2$

Denklemin iki kökü vardır:

$v=\frac(-140-519)(2)=-329.5$ ve $v=\frac(-140+519)(2)=189.5$

Hızı aradığımız için (ki bu negatif olamaz), ilk kökün gereksiz olduğu açıktır.

Cevap: 189,5$

Geometride örnek problem

Geometride ikinci dereceden bir denklemin çözümüne yol açan bir problem örneğini ele alalım.

Örnek 3

Alanı bul dik üçgen, tatmin edici aşağıdaki koşullar: Hipotenüsü $25$'a eşittir ve kenarları $4$ ila $3$ oranındadır.

Gerekli alanı bulmak için bacakları bulmamız gerekiyor. Bacağın bir kısmını $x$ üzerinden işaretleyelim. Daha sonra bacakları bu değişken aracılığıyla ifade edersek uzunluklarının $4x$ ve $3x$'a eşit olduğunu buluruz. Böylece Pisagor teoreminden aşağıdaki ikinci dereceden denklemi oluşturabiliriz:

$(4x)^2+(3x)^2=625$

(Bacak negatif olamayacağı için kök $x=-5$ göz ardı edilebilir)

Bacakların sırasıyla $20$ ve $15$'a eşit olduğunu bulduk, bu da alan anlamına gelir

$S=\frac(1)(2)\cdot 20\cdot 15=150$

İkinci dereceden denklemlere indirgenerek çözülebilecek çeşitli denklem sınıfları vardır. Böyle bir denklem iki ikinci dereceden denklemlerdir.

Biquadratic denklemler

Biquadratic denklemler formun denklemleridir a*x^4 + b*x^2 + c = 0, a'nın 0'a eşit olmadığı yer.

Biquadratic denklemler x^2 =t ikamesi kullanılarak çözülür. Böyle bir ikameden sonra t için ikinci dereceden bir denklem elde ederiz. a*t^2+b*t+c=0. Ortaya çıkan denklemi çözüyoruz ve genel durumda elimizde t1 ve t2 var. Bu aşamada negatif bir kök elde edilirse, t=x^2 aldığımızdan ve herhangi bir sayının karesi pozitif bir sayı olduğundan, bu çözümden çıkarılabilir.

Orijinal değişkenlere dönersek, x^2 =t1, x^2=t2 elde ederiz.

x1,2 = ±√(t1), x3,4=±√(t2).

Küçük bir örneğe bakalım:

9*x^4+5*x^2 - 4 = 0.

Şimdi t=x^2 değişimini tanıtalım. O zaman orijinal denklem aşağıdaki formu alacaktır:

9*t^2+5*t-4=0.

Bu ikinci dereceden denklemi bilinen yöntemlerden herhangi birini kullanarak çözeriz ve şunu buluruz:

t1=4/9, t2=-1.

-1 kökü uygun değildir çünkü x^2 = -1 denklemi mantıklı değildir.

İkinci kök 4/9 kalır. Başlangıç ​​değişkenlerine geçerek aşağıdaki denklemi elde ederiz:

x^2 = 4/9.

x1=-2/3, x2=2/3.

Bu denklemin çözümü olacaktır.

Cevap: x1=-2/3, x2=2/3.

İkinci dereceden denklemlere indirgenebilecek bir diğer denklem türü ise kesirli rasyonel denklemlerdir. Rasyonel denklemler, sol ve sağ tarafları rasyonel ifadeler olan denklemlerdir. Rasyonel bir denklemde sol veya sağ taraflar kesirli ifadelerse, böyle bir rasyonel denkleme kesirli denir.

Kesirli rasyonel denklemi çözme şeması

Kesirli bir rasyonel denklemi çözmek için genel şema.

1. Denklemde yer alan tüm kesirlerin ortak paydasını bulun.

2. Denklemin her iki tarafını ortak bir paydayla çarpın.

3. Ortaya çıkan denklemin tamamını çözün.

4. Kökleri kontrol edin ve ortak paydayı ortadan kaldıranları hariç tutun.

Bir örneğe bakalım:

Kesirli rasyonel denklemi çözün: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

sadık kalacağız genel şema. Önce tüm kesirlerin ortak paydasını bulalım.

x*(x-5) elde ederiz.

Her kesri ortak bir paydayla çarpın ve elde edilen denklemin tamamını yazın.

x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Ortaya çıkan denklemi basitleştirelim. Anlıyoruz,

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;

x^2+3*x-10=0;

Var basit indirgenmiş ikinci dereceden denklem. Bunu bilinen yöntemlerden herhangi biriyle çözersek, x=-2 ve x=5 köklerini elde ederiz. Şimdi elde edilen çözümleri kontrol ediyoruz. -2 ve 5 sayılarını ortak paydada değiştirin.

x=-2'de ortak payda x*(x-5) kaybolmaz, -2*(-2-5)=14. Bu, -2 sayısının orijinal kesirli rasyonel denklemin kökü olacağı anlamına gelir.

x=5'te ortak payda x*(x-5) sıfır olur. Dolayısıyla bu sayı orijinal kesirli rasyonel denklemin kökü değildir, çünkü sıfıra bölünme olacaktır.

Cevap: x=-2.

Biten işler

DERECE İŞLERİ

Çok şey geçti ve artık mezunsunuz, tabi ki tezinizi zamanında yazarsanız. Ama hayat öyle bir şey ki, öğrenci olmayı bıraktığınızda, çoğunu hiç denemediğiniz tüm öğrenci zevklerini kaybedeceğinizi, her şeyi erteleyeceğinizi ve daha sonraya erteleyeceğinizi ancak şimdi anlıyorsunuz. Şimdi de yetişmek yerine tezin üzerinde mi çalışıyorsun? Mükemmel bir çözüm var: İhtiyacınız olan tezi web sitemizden indirin - anında bol miktarda boş zamanınız olacak!
Tezler Kazakistan Cumhuriyeti'nin önde gelen üniversitelerinde başarıyla savunuldu.
İşin maliyeti 20.000 tenge'den başlıyor

DERS ÇALIŞMALARI

Kurs projesi ilk ciddi pratik çalışmadır. Diploma projelerinin geliştirilmesine yönelik hazırlık, derslerin yazılmasıyla başlar. Bir öğrenci bir ders projesindeki konunun içeriğini doğru bir şekilde sunmayı ve onu yetkin bir şekilde biçimlendirmeyi öğrenirse, gelecekte ne rapor yazmada ne de derlemede sorun yaşamayacaktır. tezler veya diğer pratik görevleri yerine getirirken. Aslında bu tür öğrenci çalışmalarının yazılmasında öğrencilere yardımcı olmak ve hazırlanması sırasında ortaya çıkan soruları açıklığa kavuşturmak için bu bilgi bölümü oluşturulmuştur.
İşin maliyeti 2.500 tenge'den başlıyor

YÜKSEK LİSANS TEZLERİ

Şu anda daha yüksek Eğitim Kurumları Kazakistan ve BDT ülkelerinde, lisans derecesini takip eden yüksek mesleki eğitim düzeyi çok yaygın bir düzeydir - yüksek lisans derecesi. Yüksek lisans programında öğrenciler, dünyanın birçok ülkesinde lisans derecesinden daha fazla tanınan ve yabancı işverenler tarafından da tanınan bir yüksek lisans derecesi elde etme hedefiyle öğrenim görmektedir. Yüksek lisans çalışmalarının sonucu yüksek lisans tezinin savunulmasıdır.
Size güncel analitik ve metinsel materyal sağlayacağız; fiyata 2 bilimsel makale ve bir özet dahildir.
İşin maliyeti 35.000 tenge'den başlıyor

UYGULAMA RAPORLARI

Her türlü öğrenci stajını (eğitim, endüstri, mezuniyet öncesi) tamamladıktan sonra bir rapor gereklidir. Bu belge onay olacaktır pratik işöğrenci ve uygulama için bir değerlendirme oluşturmanın temeli. Genellikle stajla ilgili bir rapor hazırlamak için işletme hakkında bilgi toplamak ve analiz etmek, stajın yapıldığı kuruluşun yapısını ve çalışma rutinini dikkate almak ve bunları derlemek gerekir. takvim planı ve pratik faaliyetlerinizi açıklayın.
Belirli bir işletmenin faaliyetlerinin özelliklerini dikkate alarak stajınız hakkında bir rapor yazmanıza yardımcı olacağız.

İkinci dereceden denklem veya ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem, dönüşümlerden sonra aşağıdaki forma indirgenebilen bir denklemdir:

balta 2 + bx + C = 0 - ikinci dereceden denklem

Nerede X- bu bilinmiyor, ama A, B Ve C- denklemin katsayıları. İkinci dereceden denklemlerde A birinci katsayı denir ( A ≠ 0), B ikinci katsayı denir ve C bilinen veya serbest üye denir.

Denklem:

balta 2 + bx + C = 0

isminde tamamlamak ikinci dereceden denklem. Katsayılardan biri ise B veya C sıfıra eşitse veya bu katsayıların her ikisi de sıfıra eşitse, denklem tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklem biçiminde sunulur.

Azaltılmış ikinci dereceden denklem

İkinci dereceden denklemin tamamı, tüm terimleri şu şekilde bölünerek daha uygun bir forma indirgenebilir: A yani birinci katsayı için:

Denklem X 2 + piksel + Q= 0'a indirgenmiş ikinci dereceden denklem denir. Bu nedenle, birinci katsayının 1'e eşit olduğu herhangi bir ikinci dereceden denklem indirgenmiş olarak adlandırılabilir.

Örneğin, denklem:

X 2 + 10X - 5 = 0

azaltılır ve denklem:

3X 2 + 9X - 12 = 0

tüm terimleri -3'e bölünen yukarıdaki denklemle değiştirilebilir:

X 2 - 3X + 4 = 0

İkinci Dereceden Denklemleri Çözme

İkinci dereceden bir denklemi çözmek için onu aşağıdaki formlardan birine indirgemeniz gerekir:

balta 2 + bx + C = 0

balta 2 + 2kx + C = 0

X 2 + piksel + Q = 0

Her denklem türü için kökleri bulmak için kendi formülü vardır:

Denkleme dikkat edin:

balta 2 + 2kx + C = 0

bu dönüştürülmüş denklem balta 2 + bx + C= 0, burada katsayı B- bile, bu onu tip 2 ile değiştirmenize olanak sağlar k. Bu nedenle, bu denklemin köklerini bulma formülü, yerine 2 konularak basitleştirilebilir. k yerine B:

Örnek 1. Denklemi çözün:

3X 2 + 7X + 2 = 0

Denklemde ikinci katsayı çift sayı olmadığından ve birinci katsayı da bire eşit sonra ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için genel formül adı verilen ilk formülü kullanarak kökleri arayacağız. Başta

A = 3, B = 7, C = 2

Şimdi denklemin köklerini bulmak için katsayıların değerlerini formülde yerine koyarız:

X 1 =	-2	= -	1	, X 2 =	-12	= -2
	6		3		6

Cevap: -	1	, -2.
	3

Örnek 2:

X 2 - 4X - 60 = 0

Katsayıların ne olduğunu belirleyelim:

A = 1, B = -4, C = -60

Denklemdeki ikinci katsayı çift sayı olduğundan, çift ikinci katsayılı ikinci dereceden denklemler için formülü kullanacağız:

X 1 = 2 + 8 = 10, X 2 = 2 - 8 = -6

Cevap: 10, -6.

Örnek 3.

sen 2 + 11sen = sen - 25

Denklemi genel şekline getirelim:

sen 2 + 11sen = sen - 25

sen 2 + 11sen - sen + 25 = 0

sen 2 + 10sen + 25 = 0

Katsayıların ne olduğunu belirleyelim:

A = 1, P = 10, Q = 25

İlk katsayı 1'e eşit olduğundan, yukarıdaki denklemlerin formülünü kullanarak çift ikinci katsayılı kökleri arayacağız:

Cevap: -5.

Örnek 4.

X 2 - 7X + 6 = 0

Katsayıların ne olduğunu belirleyelim:

A = 1, P = -7, Q = 6

İlk katsayı 1'e eşit olduğundan, yukarıdaki denklemlerin formülünü kullanarak tek ikinci katsayılı kökleri arayacağız:

X 1 = (7 + 5) : 2 = 6, X 2 = (7 - 5) : 2 = 1

BELEDİYE EĞİTİM KURUMU TUMANOVSKAYA MOSKALENSKY BELEDİYE BÖLGESİ OMSK BÖLGESİ ORTAOKULU

Ders konusu: KAREYE İNDİRİLEBİLİR DENKLEMLER

Tumanovskaya ortaokulunda matematik ve fizik öğretmeni tarafından geliştirildi BIRIKH TATYANA VIKTOROVNA

2008

Dersin amacı: 1) ikinci dereceden denklemlere indirgenebilen denklemleri çözmenin yollarını düşünün; Bu tür denklemlerin nasıl çözüleceğini öğretin. 2) öğrencilerin konuşmasını ve düşünmesini, dikkatini ve mantıksal düşünmesini geliştirin. 3) matematiğe ilgi uyandırmak,

Ders türü: Yeni materyal öğrenme dersi

Ders planı: 1. organizasyon aşaması
2. sözlü çalışma
3. pratik çalışma
4. dersin özetlenmesi

DERSLER SIRASINDA
Bugün derste “İkinci dereceden indirgenebilir denklemler” konusuyla tanışacağız. Her öğrenci denklemleri doğru ve rasyonel bir şekilde çözebilmeli, uygulamayı öğrenmelidir. çeşitli yollar Verilen ikinci dereceden denklemleri çözerken.
1. Sözlü çalışma 1. -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 sayılarından hangisi denklemin kökleridir: a) x 3 – x = 0; b) y3 – 9y = 0; c) y3 + 4y = 0? - Üçüncü dereceden bir denklemin kaç çözümü olabilir? - Bu denklemleri çözmek için hangi yöntemi kullandınız?2. Denklemin çözümünü kontrol edin: x 3 - 3x 2 + 4x – 12 = 0 x 2 (x - 3) + 4 (x - 3) = 0(x - 3) (x 2 + 4) = 0 (x - 3) (x - 2) (x + 2) = 0 Cevap: x = 3, x = -2, x = 2 Öğrenciler yaptıkları hatayı açıklarlar. Sözlü çalışmayı özetliyorum. Böylece önerilen üç denklemi sözlü olarak çözebildiniz ve dördüncü denklemi çözerken yapılan hatayı bulabildiniz. Denklemleri sözlü olarak çözerken şu iki yöntem kullanıldı: ortak faktörü parantez işaretinin dışına yerleştirmek ve çarpanlara ayırmak. Şimdi yazılı çalışma yaparken bu yöntemleri uygulamaya çalışalım.
2. Pratik çalışma 1. Bir öğrenci tahtadaki denklemi çözer 25x3 – 50x2 – x + 2 = 0 Çözerken ikinci parantezdeki işaretlerin değişmesine özellikle dikkat eder. Çözümün tamamını okur ve denklemin köklerini bulur.2. Daha güçlü öğrencilerin x 3 – x 2 – 4(x - 1) 2 = 0 denklemini çözmelerini öneriyorum. Bir çözümü kontrol ederken öğrencilerin özellikle dikkatini en önemli noktalara çekerim.3. Tahta üzerinde çalışın. Denklemi çözün (x 2 + 2x) 2 – 2(x 2 + 2x) – 3 = 0 Bu denklemi çözerken öğrenciler “yeni” bir yöntem kullanmanın, yeni bir değişken tanıtmanın gerekli olduğunu keşfederler.Bunu y = x 2 + 2x değişkeniyle gösterelim ve bunu bu denklemde yerine koyalım. y2 – 2y – 3 = 0. Y değişkeni için ikinci dereceden denklemi çözelim. Daha sonra x değişkeninin değerini buluyoruz.4 . Denklemi düşünün (x 2 – x + 1) (x 2 – x - 7) = 65. Soruları cevaplayalım:- bu denklemin derecesi nedir?- Bunu çözmek için hangi çözüm yöntemini kullanmak en mantıklıdır?- hangi yeni değişken tanıtılmalıdır? (x 2 – x + 1) (x 2 – x - 7) = 65 y = x 2 – x (y + 1) (y – 7) = 65 olduğunu gösterelim.Daha sonra sınıf denklemi bağımsız olarak çözer. Denklemin çözümlerini tahtada kontrol ediyoruz.5. Güçlü öğrenciler için denklemi çözmeyi öneririm x 6 – 3x 4 – x 2 – 3 = 0 Cevap: -1, 1 6. Denklem (2x 2 + 7x - 8) (2x 2 + 7x - 3) – 6 = 0 sınıfı şu şekilde çözmeyi önerir: en güçlü öğrenciler - bağımsız olarak çözerler; geri kalanına tahtadaki öğrencilerden biri karar verir.Çözüm: 2x 2 + 7x = y(y - 8) (y - 3) – 6 = 0 Buluyoruz: y1 = 2, y2 = 9 Denklemimizde yerine koyarız ve x'in değerlerini buluruz, bunun için denklemleri çözeriz:2x2 + 7x = 2 2x2 + 7x = 9İki denklemin çözülmesi sonucunda bu denklemin kökleri olan x'in dört değerini buluyoruz.7. Dersin sonunda x 6 – 1 = 0 denklemini sözlü olarak çözmeyi öneriyorum. Çözerken kareler farkı formülünü uygulamak gerekir; kökleri kolayca bulabiliriz.(x 3) 2 – 1 = 0 (x 3 - 1) (x 3 + 1) = 0 Cevap: -1, 1.
3. Dersi özetlemek İkinci dereceden denklemlere indirgenmiş denklemlerin çözümünde kullanılan yöntemlere bir kez daha öğrencilerin dikkatini çekiyorum. Öğrencilerin dersteki çalışmaları değerlendirilir, notlarla ilgili yorum yaparım ve yapılan hataları belirtirim. Ödevlerimizi yazıyoruz. Kural olarak ders hızlı ilerliyor ve öğrencilerin performansı yüksek. İyi çalışmalar için hepinize çok teşekkür ederim.