Trigonometrik fonksiyonların integralleri.
Çözüm örnekleri

Bu dersimizde trigonometrik fonksiyonların integrallerine bakacağız, yani integrallerin doldurulması çeşitli kombinasyonlarda sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant olacaktır. Tüm örnekler detaylı bir şekilde analiz edilecek, bir çaydanlık için bile erişilebilir ve anlaşılır olacaktır.

Trigonometrik fonksiyonların integrallerini başarılı bir şekilde incelemek için, en basit integralleri iyi anlamanızın yanı sıra bazı integral tekniklerinde uzman olmanız gerekir. Derslerde bu materyallerle tanışabilirsiniz. Belirsiz integral. Çözüm örnekleri Ve .

Ve şimdi ihtiyacımız var: İntegral tablosu, Türev tablosu Ve Trigonometrik formüller dizini. Tüm metodolojik kılavuzlar sayfada bulabilirsiniz Matematiksel formüller ve tablolar. Her şeyi yazdırmanızı öneririm. Özellikle trigonometrik formüllere odaklanıyorum. gözlerinin önünde olmalılar– bu olmadan iş verimliliği gözle görülür şekilde azalacaktır.

Ama önce bu makalede integrallerin ne olduğu hakkında HAYIR. Formun integrali yok, - kosinüs, sinüs, bir polinomla çarpılır (daha az sıklıkla teğet veya kotanjantlı bir şey). Bu tür integraller parçalara göre integral alınır ve yöntemi öğrenmek için Parçalara göre integral alma dersini ziyaret edin. Çözüm örnekleri Ayrıca burada "kemer" - arktanjant, ark sinüs vb. içeren integraller yoktur, bunlar çoğunlukla parçalar halinde entegre edilir.

Trigonometrik fonksiyonların integrallerini bulurken bir dizi yöntem kullanılır:

(4) Tablo formülünü kullanıyoruz tek fark, "X" yerine karmaşık bir ifadeye sahip olmamızdır.

Örnek 2

Örnek 3

Belirsiz integrali bulun.

Rekabette boğulanlar için türün bir klasiği. Muhtemelen fark ettiğiniz gibi, integral tablosunda teğet ve kotanjant integrali yoktur, ancak yine de bu tür integraller bulunabilir.

(1) Trigonometrik formülü kullanıyoruz

(2) Fonksiyonu diferansiyel işaret altına alıyoruz.

(3) Tablo integralini kullanıyoruz .

Örnek 4

Belirsiz integrali bulun.

Bu bağımsız bir çözüm örneğidir, tam çözüm ve cevap dersin sonundadır.

Örnek 5

Belirsiz integrali bulun.

Derecelerimiz yavaş yavaş artacak =).
Öncelikle çözüm:

(1) Formülü kullanıyoruz

(2) Ana trigonometrik özdeşliği kullanıyoruz , bundan şu sonuç çıkıyor .

(3) Payı payda terimine ve terime bölün.

(4) Belirsiz integralin doğrusallık özelliğini kullanıyoruz.

(5) Tabloyu kullanarak integral alıyoruz.

Örnek 6

Belirsiz integrali bulun.

Bu bağımsız bir çözüm örneğidir, tam çözüm ve cevap dersin sonundadır.

Ayrıca teğet ve kotanjantların integralleri de vardır; bunlar daha çok yüksek dereceler. Teğet küpün integrali derste tartışılıyor Düz bir şeklin alanı nasıl hesaplanır? Dördüncü ve beşinci kuvvetlere teğet (kotanjant) integralleri sayfada elde edilebilir. Karmaşık integraller.

İntegral derecesinin azaltılması

Bu teknik, integral fonksiyonları sinüs ve kosinüslerle doldurulduğunda işe yarar. eşit derece. Dereceyi azaltmak için trigonometrik formülleri kullanın , ve son formül genellikle ters yönde kullanılır: .

Örnek 7

Belirsiz integrali bulun.

Çözüm:

Prensip olarak burada formülü uygulamamız dışında yeni bir şey yok. (integrandın derecesi düşürülür). Lütfen çözümü kısalttığımı unutmayın. Deneyim kazandıkça, integrali sözlü olarak bulabilirsiniz; bu, zamandan tasarruf sağlar ve ödevleri bitirirken oldukça kabul edilebilirdir. Bu durumda kuralı açıklamamanız tavsiye edilir. Önce sözlü olarak 1'in, sonra da 'nin integralini alıyoruz.

Örnek 8

Belirsiz integrali bulun.

Bu bağımsız bir çözüm örneğidir, tam çözüm ve cevap dersin sonundadır.

Bu vaat edilen derece artışıdır:

Örnek 9

Belirsiz integrali bulun.

Önce çözüm, sonra yorumlar:

(1) Formülü uygulamak için integrali hazırlayın .

(2) Aslında formülü uyguluyoruz.

(3) Paydanın karesini alırız ve integral işaretinden sabiti çıkarırız. Biraz farklı yapılabilirdi ama bence daha uygun oldu.

(4) Formülü kullanıyoruz

(5) Üçüncü dönemde dereceyi yine azaltıyoruz, ancak formülü kullanarak .

(6) Benzer terimler sunuyoruz (burada terimi terime böldüm) ve eklemeyi yaptım).

(7) Aslında integrali, doğrusallık kuralını alıyoruz ve bir fonksiyonu diferansiyel işaret altına alma yöntemi sözlü olarak gerçekleştirilir.

(8) Cevabı taramak.

! Belirsiz bir integralde cevap genellikle birkaç şekilde yazılabilir.

Az önce ele alınan örnekte, son cevap farklı şekilde yazılabilirdi - parantezleri açmak ve hatta bunu ifadeyi entegre etmeden önce yapmak, yani örneğe aşağıdaki son vermek oldukça kabul edilebilir:

Bu seçeneğin daha da uygun olması oldukça olası, bunu kendim çözmeye alışkın olduğum şekilde açıkladım). Bağımsız bir çözüm için başka bir tipik örnek:

Örnek 10

Belirsiz integrali bulun.

Bu örnek iki şekilde çözülebilir ve başarılı olabilirsiniz. tamamen farklı iki cevap(daha doğrusu, tamamen farklı görünecekler, ancak matematiksel açıdan eşdeğer olacaklar). Büyük olasılıkla, en rasyonel yöntemi göremeyeceksiniz ve parantezleri açmaktan ve diğer trigonometrik formülleri kullanmaktan sıkıntı çekeceksiniz. En etkili çözüm dersin sonunda verilir.

Paragrafı özetlemek için şu sonuca varıyoruz: formun herhangi bir integrali , Nerede ve - eşit sayılar, integralin derecesini azaltma yöntemiyle çözülür.
Pratikte 8 ve 10 dereceli integrallerle karşılaştım ve bunların korkunç karmaşasını dereceyi birkaç kez düşürerek çözmek zorunda kaldım, bu da uzun, uzun cevaplarla sonuçlandı.

Değişken Değiştirme Yöntemi

Makalede belirtildiği gibi Belirsiz integralde değişken değişim yöntemi yerine koyma yöntemini kullanmanın temel ön koşulu, integralde belirli bir fonksiyonun ve onun türevinin bulunmasıdır:
(fonksiyonların mutlaka üründe olması gerekmez)

Örnek 11

Belirsiz integrali bulun.

Türev tablosuna bakıyoruz ve formüllere dikkat ediyoruz, yani integralimizde bir fonksiyon ve onun türevi var. Ancak farklılaşma sırasında kosinüs ve sinüsün karşılıklı olarak birbirine dönüştüğünü görüyoruz ve şu soru ortaya çıkıyor: Değişken değişimi nasıl yapılır ve sinüs veya kosinüs ile neyi kastediyoruz?! Soru bilimsel dürtmeyle çözülebilir: Değiştirmeyi yanlış yaparsak, bundan iyi bir şey çıkmaz.

Genel bir kural: Benzer durumlarda paydadaki fonksiyonu belirtmeniz gerekir.

Çözümü keseriz ve yenisini yaparız

Paydada her şey yolunda, her şey yalnızca ona bağlı, şimdi neye dönüşeceğini bulmak kalıyor.
Bunu yapmak için diferansiyeli buluyoruz:

Veya kısaca:
Ortaya çıkan eşitlikten orantı kuralını kullanarak ihtiyacımız olan ifadeyi ifade ederiz:

Bu yüzden:

Artık tüm integrandımız yalnızca buna bağlı ve çözmeye devam edebiliriz

Hazır. Değiştirmenin amacının integrali basitleştirmek olduğunu hatırlatayım; bu durumda her şey güç fonksiyonunu tabloya göre entegre etmeye geldi.

Bu örneği bu kadar detaylı anlatmam tesadüf değil, ders materyallerinin tekrarı ve pekiştirilmesi amacıyla yaptım. Belirsiz integralde değişken değişim yöntemi.

Ve şimdi kendi çözümünüz için iki örnek:

Örnek 12

Belirsiz integrali bulun.

Örnek 13

Belirsiz integrali bulun.

Dersin sonunda çözümleri ve cevapları tamamlayın.

Örnek 14

Belirsiz integrali bulun.

Burada yine integralde sinüs ve kosinüs (türevli bir fonksiyon) vardır, ancak çarpımda bir ikilem ortaya çıkar - sinüs veya kosinüs ile neyi kastediyoruz?

Bilimsel yöntemi kullanarak değiştirmeyi deneyebilirsiniz ve hiçbir şey işe yaramazsa, onu başka bir işlev olarak atayabilirsiniz, ancak şu var:

Genel kural: mecazi anlamda "rahatsız edici bir konumda" olan işlevi belirlemeniz gerekir.

Bu örnekte öğrenci kosinüsünün dereceden "zarar gördüğünü" ve sinüsün kendi başına serbestçe oturduğunu görüyoruz.

Bu nedenle, bir değişiklik yapalım:

Bir değişkeni değiştirme ve diferansiyeli bulma algoritmasında hala zorluk yaşayan biri varsa, o zaman derse dönmelisiniz. Belirsiz integralde değişken değişim yöntemi.

Örnek 15

Belirsiz integrali bulun.

İntegrali analiz edelim, ne ile gösterilmeli?
Kurallarımızı hatırlayalım:
1) Fonksiyon büyük olasılıkla paydadadır;
2) Fonksiyon “uygunsuz bir konumdadır”.

Bu arada, bu kurallar yalnızca trigonometrik fonksiyonlar için geçerli değildir.

Sinüs her iki kritere de (özellikle ikincisine) uyuyor, bu nedenle bir değiştirme kendini öneriyor. Prensip olarak, değiştirme zaten gerçekleştirilebilir, ancak önce ne yapacağınızı bulmak güzel olur mu? İlk olarak, bir kosinüsü "sıkıştırıyoruz":

“Gelecekteki” farkımız için ayırıyoruz

Ve bunu temel trigonometrik özdeşliği kullanarak sinüs yoluyla ifade ederiz:

Şimdi değiştirme şu:

Genel kural: İntegralde trigonometrik fonksiyonlardan biri (sinüs veya kosinüs) varsa garip derece, o zaman bir işlevi tek dereceden "ısırmanız" ve onun arkasında başka bir işlev belirlemeniz gerekir. Sadece kosinüs ve sinüslerin olduğu integrallerden bahsediyoruz.

Ele alınan örnekte, tek kuvvette bir kosinüsümüz vardı, bu nedenle kuvvetten bir kosinüs aldık ve onu sinüs olarak belirledik.

Örnek 16

Belirsiz integrali bulun.

Dereceler yükseliyor =).
Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Evrensel trigonometrik ikame

Evrensel trigonometrik ikame, değişken değiştirme yönteminin yaygın bir örneğidir. “Ne yapacağınızı bilemediğinizde” bunu kullanmayı deneyebilirsiniz. Ama aslında uygulanması için bazı kurallar var. Evrensel trigonometrik ikamenin uygulanması gereken tipik integraller aşağıdaki integrallerdir: , , , vesaire.

Örnek 17

Belirsiz integrali bulun.

Bu durumda evrensel trigonometrik ikame şu şekilde uygulanır. Değiştirelim: . Harfi kullanmıyorum ama harf, bu bir tür kural değil, sadece yine söylüyorum, işleri bu şekilde çözmeye alışkınım.

Burada diferansiyeli bulmak daha uygundur; bunun için eşitlikten şunu ifade ediyorum:
Her iki parçaya da bir arktanjant ekliyorum:

Arktanjant ve teğet birbirini iptal eder:

Böylece:

Pratikte, bunu bu kadar ayrıntılı bir şekilde açıklamanıza gerek yoktur, sadece bitmiş sonucu kullanın:

! İfade yalnızca sinüs ve kosinüslerin altında integral için yalnızca "X" varsa geçerlidir (buna daha sonra değineceğiz) her şey biraz farklı olacak!

Değiştirirken sinüsler ve kosinüsler aşağıdaki kesirlere dönüşür:
, , bu eşitlikler iyi bilinen trigonometrik formüllere dayanmaktadır: ,

Yani son tasarım şöyle görünebilir:

Evrensel bir trigonometrik değişiklik yapalım:

Antiderivatifler tablosu ("integraller"). İntegral tablosu. Tablosal belirsiz integraller. (En basit integraller ve parametreli integraller). Parçalara göre entegrasyon formülleri. Newton-Leibniz formülü.

Antiderivatifler tablosu ("integraller"). Tablosal belirsiz integraller. (En basit integraller ve parametreli integraller).
Bir güç fonksiyonunun integrali.	Bir güç fonksiyonunun integrali.
X'in diferansiyel işareti altında sürülmesi durumunda bir güç fonksiyonunun integraline indirgenen bir integral.
	a'nın sabit bir sayı olduğu bir üstel sayının integrali.
Karmaşık bir üstel fonksiyonun integrali.	Üstel bir fonksiyonun integrali.
Doğal logaritmaya eşit bir integral.	İntegral: "Uzun logaritma".
	İntegral: "Uzun logaritma".
İntegral: "Yüksek logaritma".	Paydaki x'in diferansiyel işaretin altına yerleştirildiği bir integral (işaretin altındaki sabit toplanabilir veya çıkarılabilir), sonuçta doğal logaritmaya eşit bir integrale benzer.
İntegral: "Yüksek logaritma".
Kosinüs integrali.	Sinüs integrali.
Teğete eşit integral.	Kotanjanta eşit integral.
Hem arksinüs hem de arkkosinüsün integrali
Hem ark sinüs hem de ark kosinüse eşit bir integral.	Hem arktanjanta hem arkkotanjanta eşit bir integral.
Kosekantın integrali.	Sekanta eşit integral.
Arsekantın integrali.	Arkosekanta eşit integral.
Arsekantın integrali.	Arsekantın integrali.
Hiperbolik sinüsün integrali.	Hiperbolik kosinüsün integrali.
İntegral, hiperbolik sinüse eşittir; burada sinhx, İngilizce versiyonda hiperbolik sinüstür.	İntegral, hiperbolik kosinüse eşittir; burada sinhx, İngilizce versiyonda hiperbolik sinüstür.
Hiperbolik tanjanta eşit integral.	Hiperbolik kotanjanta eşit integral.
Hiperbolik sekantın integrali.	Hiperbolik kosekantın integrali.

Parçalara göre entegrasyon formülleri. Entegrasyon kuralları.

Parçalara göre entegrasyon formülleri. Newton-Leibniz formülü İntegral kuralları.
Bir ürünü (fonksiyonu) bir sabitle entegre etmek:
Fonksiyonların toplamının integrali:
belirsiz integraller:
Parçalara göre entegrasyon formülü belirli integraller:
Newton-Leibniz formülü belirli integraller:	Burada F(a),F(b), sırasıyla b ve a noktalarındaki antiderivatiflerin değerleridir.

Türev tablosu. Tablosal türevler. Ürünün türevi. Bölümün türevi. Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

Eğer x bağımsız bir değişken ise:

Türev tablosu. Tablo türevleri."tablo türevi" - evet, maalesef internette tam olarak bu şekilde aranıyorlar
	Bir güç fonksiyonunun türevi
	Üssün türevi
Karmaşık bir üstel fonksiyonun türevi	Üstel fonksiyonun türevi
Logaritmik bir fonksiyonun türevi	Doğal logaritmanın türevi
	Bir fonksiyonun doğal logaritmasının türevi
Sinüs türevi	Kosinüs türevi
Kosekantın türevi	Bir sekantın türevi
Arsin türevi	Ark kosinüsün türevi
Arsin türevi	Ark kosinüsün türevi
Teğet türev	Kotanjantın türevi
Arktanjantın türevi	Ark kotanjantının türevi
Arktanjantın türevi	Ark kotanjantının türevi
Arsekantın türevi	Arccosekantın türevi
Arsekantın türevi	Arccosekantın türevi
Hiperbolik sinüsün türevi İngilizce versiyonda hiperbolik sinüsün türevi	Hiperbolik kosinüsün türevi İngilizce versiyonda hiperbolik kosinüsün türevi
Hiperbolik tanjantın türevi	Hiperbolik kotanjantın türevi
Hiperbolik sekantın türevi	Hiperbolik kosekantın türevi

Farklılaşma kuralları. Ürünün türevi. Bölümün türevi. Karmaşık bir fonksiyonun türevi.
Bir ürünün (fonksiyonun) bir sabite göre türevi:
Toplamın türevi (fonksiyonlar):
Ürünün türevi (fonksiyonlar):
Bölümün (fonksiyonların) türevi:
Karmaşık bir fonksiyonun türevi:

Logaritmanın özellikleri. Logaritmalar için temel formüller. Ondalık sayı (lg) ve doğal logaritmalar (ln).

Temel logaritmik kimlik
a b formundaki herhangi bir fonksiyonun nasıl üstel hale getirilebileceğini gösterelim. e x formundaki bir fonksiyon üstel olarak adlandırıldığından, o zaman
a b formundaki herhangi bir fonksiyon on'un kuvveti olarak temsil edilebilir

Doğal logaritma ln (e tabanına göre logaritma = 2,718281828459045...) ln(e)=1; ln(1)=0

Taylor serisi. Bir fonksiyonun Taylor serisi açılımı.

Çoğunluğun olduğu ortaya çıktı pratikte karşılaşılan Matematiksel fonksiyonlar, bir değişkenin kuvvetlerini artan sırada içeren güç serileri şeklinde belirli bir nokta civarında herhangi bir doğrulukla temsil edilebilir. Örneğin x=1 noktasının yakınında:

Çağrılan seriyi kullanırken Taylor'ın satırları cebirsel, trigonometrik ve üstel fonksiyonları içeren karma fonksiyonlar, tamamen cebirsel fonksiyonlar olarak ifade edilebilir. Serileri kullanarak genellikle hızlı bir şekilde farklılaştırma ve entegrasyon gerçekleştirebilirsiniz.

a noktasının yakınındaki Taylor serisi şu şekildedir:

1) burada f(x), x = a noktasında tüm mertebelerden türevleri olan bir fonksiyondur. R n - Taylor serisindeki kalan terim şu ifadeyle belirlenir:

2)

Serinin k-th katsayısı (x k'de) aşağıdaki formülle belirlenir:

3) Taylor serisinin özel bir durumu Maclaurin (=McLaren) serisidir (genişleme a=0 noktası etrafında meydana gelir)

a=0'da

serinin üyeleri formülle belirlenir

Taylor serisini kullanma koşulları.

1. f(x) fonksiyonunun (-R;R) aralığında bir Taylor serisine genişletilebilmesi için, bunun için Taylor (Maclaurin (=McLaren)) formülündeki kalan terimin olması gerekli ve yeterlidir. fonksiyon belirtilen aralıkta (-R;R) k →∞ kadar sıfıra yönelir.

2. Taylor serisini oluşturacağımız yakın çevrede verilen bir fonksiyonun türevlerinin olması gerekir.

Taylor serisinin özellikleri.

Eğer f analitik bir fonksiyon ise, bu durumda f'nin tanım alanındaki herhangi bir a noktasındaki Taylor serisi, a'nın bazı komşuluklarında f'ye yakınsar.

Taylor serileri yakınsak olan fakat aynı zamanda a'nın herhangi bir komşuluğundaki fonksiyondan farklı olan sonsuz türevlenebilir fonksiyonlar vardır. Örneğin:

Taylor serileri, bir fonksiyonun polinomlarla yaklaşımında (yaklaşım, bazı nesnelerin başkalarıyla, bir anlamda orijinallerine yakın, ancak daha basit olarak değiştirilmesinden oluşan bilimsel bir yöntemdir) kullanılır. Özellikle, doğrusallaştırma ((doğrusallıktan - doğrusal), doğrusal olmayan bir sistemin çalışmasının, bir anlamda orijinaline eşdeğer olan doğrusal bir sistemin analizi ile değiştirildiği, kapalı doğrusal olmayan sistemlerin yaklaşık temsil yöntemlerinden biri .) denklemleri Taylor serisine genişletilerek ve birinci derecenin üzerindeki tüm terimlerin kesilmesiyle oluşur.

Böylece hemen hemen her fonksiyon belirli bir doğrulukla bir polinom olarak temsil edilebilir.

Maclaurin serisindeki (=McLaren, Taylor 0 noktası civarında) ve Taylor 1 noktası civarındaki güç fonksiyonlarının bazı ortak açılımlarına örnekler. Taylor ve McLaren serilerinde ana fonksiyonların açılımlarının ilk terimleri.

Maclaurin serisindeki güç fonksiyonlarının bazı yaygın açılımlarına örnekler (=McLaren, Taylor 0 noktası civarında)

1. nokta civarındaki bazı yaygın Taylor serisi açılımlarına örnekler

Temel trigonometrik formüller ve temel ikameler sunulmaktadır. Trigonometrik fonksiyonların entegrasyonuna yönelik yöntemler özetlenmiştir - entegrasyon rasyonel fonksiyonlar, sin x ve cos x'in güç fonksiyonlarının çarpımı, bir polinomun çarpımı, üstel ve sinüs veya kosinüs, ters trigonometrik fonksiyonların entegrasyonu. Standart dışı yöntemler etkilenir.

İçerik

Trigonometrik fonksiyonların entegrasyonu için standart yöntemler

Genel yaklaşım

İlk olarak, gerekirse, trigonometrik fonksiyonların entegrasyon değişkeniyle aynı olan tek bir argümana bağlı olması için integralin dönüştürülmesi gerekir.

Örneğin, eğer integral şunlara bağlıysa günah(x+a) Ve çünkü(x+b), o zaman dönüşümü gerçekleştirmelisiniz:
çünkü (x+b) = çünkü (x+a - (a-b)) = çünkü (x+a) çünkü (b-a) + günah ( x+a ) günah (b-a).
Daha sonra yerine z = x+a yapın. Sonuç olarak trigonometrik fonksiyonlar yalnızca z integral değişkenine bağlı olacaktır.

Trigonometrik fonksiyonlar, integral değişkeniyle çakışan bir argümana bağlı olduğunda (diyelim ki z olsun), yani integral yalnızca aşağıdaki gibi işlevlerden oluşur: günah z, çünkü z, tg z, ctg z, o zaman bir değişiklik yapmanız gerekir
.
Böyle bir ikame, rasyonel veya irrasyonel fonksiyonların (kökler varsa) entegrasyonuna yol açar ve temel fonksiyonlara entegre edilmişse integralin hesaplanmasına olanak tanır.

Bununla birlikte, integralin özelliklerine göre integrali daha kısa bir şekilde değerlendirmenize olanak tanıyan başka yöntemler de sıklıkla bulabilirsiniz. Aşağıda bu tür ana yöntemlerin bir özeti bulunmaktadır.

Sin x ve cos x'in rasyonel fonksiyonlarını entegre etme yöntemleri

Rasyonel fonksiyonlar günah x Ve çünkü x fonksiyonlar aşağıdakilerden oluşur günah x, çünkü x ve toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve bir tamsayıya yükseltme işlemlerini kullanan herhangi bir sabit. Bunlar aşağıdaki şekilde belirlenir: R (günah x, çünkü x). Bu aynı zamanda sinüsü kosinüs ve sinüsün kosinüse bölünmesiyle oluşturulduğundan teğetleri ve kotanjantları da içerebilir.
Rasyonel fonksiyonların integralleri şu şekildedir:
.

Rasyonel trigonometrik fonksiyonların entegrasyonuna yönelik yöntemler aşağıdaki gibidir.
1) Değiştirme her zaman rasyonel bir kesrin integraline yol açar. Ancak bazı durumlarda daha kısa hesaplamalara yol açan değişiklikler (bunlar aşağıda sunulmuştur) vardır.
2) Eğer R (günah x, çünkü x) çünkü x → - çünkü x günah x.
3) Eğer R (günah x, çünkü x) değiştirirken -1 ile çarpılır günah x → - günah x, o zaman ikame t = çünkü x.
4) Eğer R (günah x, çünkü x) eşzamanlı değiştirmede olduğu gibi değişmez çünkü x → - çünkü x, Ve günah x → - günah x, o zaman ikame t = tgx veya t = ctgx.

Örnekler:
, , .

cos x ve sin x'in güç fonksiyonlarının çarpımı

Formun integralleri

rasyonel trigonometrik fonksiyonların integralleridir. Bu nedenle önceki bölümde özetlenen yöntemler bunlara uygulanabilir. Bu tür integrallerin özelliklerine dayanan yöntemler aşağıda tartışılmaktadır.

Eğer m ve n rasyonel sayılar ise, o zaman ikamelerden biri t = günah x veya t = çünkü x integral diferansiyel binomun integraline indirgenir.

M ve n tam sayılarsa entegrasyon, azaltma formülleri kullanılarak gerçekleştirilir:

;
;
;
.

Örnek:
.

Bir polinom ile sinüs veya kosinüs ürününün integralleri

Formun integralleri:
, ,
burada P(x), x'te bir polinomdur ve parçalar halinde entegre edilmiştir. Bu, aşağıdaki formülleri verir:

;
.

Örnekler:
, .

Bir polinom, üstel ve sinüs veya kosinüs çarpımının integralleri

Formun integralleri:
, ,
burada P(x) Euler formülü kullanılarak entegre edilen x cinsinden bir polinomdur
e iax = çünkü balta + isin balta(burada ben 2 = - 1 ).
Bunu yapmak için önceki paragrafta özetlenen yöntemi kullanarak integrali hesaplayın
.
Sonuçtan gerçek ve sanal kısımlar ayrılarak orijinal integraller elde edilir.

Örnek:
.

Trigonometrik fonksiyonların entegrasyonu için standart olmayan yöntemler

Aşağıda trigonometrik fonksiyonların entegrasyonunu gerçekleştirmenize veya basitleştirmenize olanak tanıyan bir dizi standart dışı yöntem bulunmaktadır.

Bağımlılık (a günah x + b cos x)

İntegral yalnızca bir a'ya bağlıysa günah x + b çünkü x ise şu formülü uygulamakta fayda var:
,
Nerede .

Örneğin

Kesirleri sinüs ve kosinüslerden daha basit kesirlere ayırma

İntegrali düşünün
.
En basit entegrasyon yöntemi, aşağıdaki dönüşümü kullanarak kesri daha basit parçalara ayırmaktır:
sin(a - b) = sin(x + a - (x + b)) = sin(x+a) cos(x+b) - cos(x+a) sin(x+b)

Birinci dereceden kesirlerin integrali

İntegrali hesaplarken
,
kesrin tamsayı kısmını ve paydanın türevini izole etmek uygundur
A 1 günah x + b 1 çünkü x = A (a günah x + b çünkü x) + B (a günah x + b çünkü x)' .
A ve B sabitleri sol ve sağ tarafları karşılaştırarak bulunur.

Referanslar:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Yüksek matematikte problemlerin toplanması, “Lan”, 2003.

Ayrıca bakınız:

İntegrallerin parçalara göre çözüm örnekleri ayrıntılı olarak ele alınır; bunların integrali, bir üstel (e üzeri x) veya sinüs (sin x) veya kosinüs (cos x) ile bir polinomun ürünüdür.

İçerik

Ayrıca bakınız: Parçalara göre entegrasyon yöntemi
Belirsiz integral tablosu
Belirsiz integralleri hesaplama yöntemleri
Temel temel fonksiyonlar ve özellikleri

Parçalara göre entegrasyon formülü

Bu bölümdeki örnekleri çözerken parçalara göre entegrasyon formülü kullanılır:
;
.

Bir polinom ile sin x, cos x veya e x'in çarpımını içeren integral örnekleri

İşte bu tür integrallerin örnekleri:
, , .

Bu tür integrallerin integralini almak için polinom u ile, geri kalan kısım ise v dx ile gösterilir. Daha sonra parçalara göre entegrasyon formülünü uygulayın.

Aşağıda bu örneklerin ayrıntılı bir çözümü bulunmaktadır.

İntegral çözme örnekleri

Üslü örnek, e üzeri x'in kuvveti

İntegrali belirleyin:
.

Diferansiyel işaretinin altındaki üssü tanıtalım:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).

Parçalara göre integral alalım.

Burada
.
Kalan integrali de parçalara ayırıyoruz.
.
.
.
Sonunda elimizde:
.

Sinüs ile integral tanımlamaya bir örnek

İntegrali hesaplayın:
.

Diferansiyel işaretinin altındaki sinüsü tanıtalım:

Parçalara göre integral alalım.

burada u = x 2 , v = cos(2x+3), du = ( x 2 )′ dx

Kalan integrali de parçalara ayırıyoruz. Bunu yapmak için kosinüsü diferansiyel işaretin altına ekleyin.


burada u = x, v = günah(2 x+3), du = dx

Sonunda elimizde:

Bir polinom ve kosinüsün çarpımına örnek

İntegrali hesaplayın:
.

Diferansiyel işaretinin altındaki kosinüsü tanıtalım:

Parçalara göre integral alalım.

burada u = x 2 + 3 x + 5, v = günah 2 x, du = ( x 2 + 3 x + 5 )′ dx

Ayrıca kendi başınıza çözebileceğiniz, cevaplarını görebileceğiniz problemler de olacaktır.

İntegral, trigonometrik fonksiyonların çarpımından toplama dönüştürülebilir

İntegralin, x'in birinci derecesinin sinüs ve kosinüslerinin farklı faktörlerle çarpımı olduğu integralleri, yani formun integrallerini ele alalım.

İyi bilinen trigonometrik formüllerin kullanılması

(2)
(3)
(4)
(31) formundaki integrallerin her bir ürünü cebirsel toplama dönüştürülebilir ve formüllere göre entegre edilebilir

(5)

(6)

Örnek 1. Bulmak

Çözüm. Formül (2)'ye göre

Örnek 2. Bulmak trigonometrik bir fonksiyonun integrali

Çözüm. Formül (3)'e göre

Örnek 3. Bulmak trigonometrik bir fonksiyonun integrali

Çözüm. Formül (4)'e göre integralin aşağıdaki dönüşümünü elde ederiz:

Formül (6)'yı uygulayarak şunu elde ederiz:

Aynı argümanın sinüs ve kosinüs kuvvetlerinin çarpımının integrali

Şimdi aynı argümanın sinüs ve kosinüs kuvvetlerinin çarpımı olan fonksiyonların integrallerini ele alalım;

(7)

Özel durumlarda göstergelerden biri ( M veya N) sıfır olabilir.

Bu tür fonksiyonları entegre ederken, kosinüsün eşit gücünün sinüs yoluyla ifade edilebileceği ve sinüs diferansiyelinin cos'a eşit olduğu kullanılır. x dx(veya hatta sinüsün gücü kosinüs cinsinden ifade edilebilir ve kosinüsün diferansiyeli şuna eşittir: - sin x dx ) .

İki durum birbirinden ayrılmalıdır: 1) göstergelerden en az biri M Ve N garip; 2) her iki gösterge de eşit.

İlk durumun, yani göstergenin gerçekleşmesine izin verin N = 2k+ 1 - tek. Sonra, buna göre

İntegral, bir kısmı yalnızca sinüsün bir fonksiyonu, diğeri ise sinüsün diferansiyeli olacak şekilde sunulur. Şimdi değişken değiştirme kullanılıyor T= günah Xçözüm, polinomun şuna göre entegrasyonuna indirgenir: T. Eğer sadece derece M tuhafsa, günah faktörünü izole ederek aynısını yaparlar X, integralin geri kalanını cos cinsinden ifade etmek X ve inanmak T=çünkü X. Bu teknik şu durumlarda da kullanılabilir: sinüs ve kosinüsün bölüm güçlerinin entegrasyonu , Ne zaman göstergelerden en az biri tuhaf . Bütün mesele şu ki sinüs ve kosinüsün kuvvetlerinin bölümü, bunların çarpımının özel bir durumudur : Trigonometrik bir fonksiyon bir integralin paydasında olduğunda derecesi negatiftir. Ancak kuvvetlerinin yalnızca çift olduğu kısmi trigonometrik fonksiyonlar da vardır. Onlar hakkında - bir sonraki paragrafta.

Her iki gösterge de M Ve N– hatta trigonometrik formülleri kullanarak

sinüs ve kosinüs üslerini azaltın, ardından yukarıdakiyle aynı türde bir integral elde edin. Bu nedenle entegrasyonun aynı şemaya göre sürdürülmesi gerekmektedir. Çift üslerden biri negatifse, yani sinüs ve kosinüsün çift güçlerinin bölümü dikkate alınırsa, bu şema uygun değildir. . Daha sonra integralin nasıl dönüştürülebileceğine bağlı olarak bir değişken değişikliği kullanılır. Böyle bir durum bir sonraki paragrafta ele alınacaktır.

Örnek 4. Bulmak trigonometrik bir fonksiyonun integrali

Çözüm. Kosinüs üssü tektir. Bu nedenle hayal edelim

T= günah X(Daha sonra dt=çünkü X dx ). Sonra alırız

Eski değişkene dönersek sonunda şunu bulduk:

Örnek 5. Bulmak trigonometrik bir fonksiyonun integrali

.

Çözüm. Kosinüs üssü önceki örnekte olduğu gibi tektir ancak daha büyüktür. Hayal edelim

ve değişkende değişiklik yapın T= günah X(Daha sonra dt=çünkü X dx ). Sonra alırız

Parantezleri açalım

ve alıyoruz

Eski değişkene dönersek çözüme ulaşırız

Örnek 6. Bulmak trigonometrik bir fonksiyonun integrali

Çözüm. Sinüs ve kosinüs üsleri çifttir. Bu nedenle integrand fonksiyonunu şu şekilde dönüştürüyoruz:

Sonra alırız

İkinci integralde değişken değişikliği yapıyoruz, ayarlıyoruz T= günah2 X. Daha sonra (1/2)dt= cos2 X dx . Buradan,

Sonunda elde ettik

Değişken Değiştirme Yöntemini Kullanmak

Değişken Değiştirme Yöntemi Trigonometrik fonksiyonları entegre ederken, integralin yalnızca sinüs veya yalnızca kosinüs, sinüs ve kosinüs çarpımı, sinüs veya kosinüsün birinci derecede, teğet veya kotanjant olduğu ve ayrıca bölümü içerdiği durumlarda kullanılabilir. bir ve aynı argümanın sinüs ve kosinüslerinin çift kuvvetleri. Bu durumda sadece günah işlemekle kalmayıp permütasyon da yapmak mümkündür. X = T ve günah X = T, ama aynı zamanda tg X = T ve ctg X = T .

Örnek 8. Bulmak trigonometrik bir fonksiyonun integrali

.

Çözüm. Değişkeni değiştirelim: , sonra . Ortaya çıkan integral, integral tablosu kullanılarak kolayca entegre edilebilir:

.

Örnek 9. Bulmak trigonometrik bir fonksiyonun integrali

Çözüm. Tanjantı sinüs ve kosinüs oranına dönüştürelim:

Değişkeni değiştirelim: , sonra . Ortaya çıkan integral: masa integrali eksi işaretiyle:

.

Orijinal değişkene dönersek sonunda şunu elde ederiz:

.

Örnek 10. Bulmak trigonometrik bir fonksiyonun integrali

Çözüm. Değişkeni değiştirelim: , sonra .

Trigonometrik özdeşliği uygulamak için integrali dönüştürelim :

İntegralin önüne eksi işareti koymayı unutmadan değişkeni değiştiriyoruz (yukarıya bakın, neye eşittir) dt). Daha sonra integrali çarpanlara ayırıyoruz ve tabloya göre integral alıyoruz:

Orijinal değişkene dönersek sonunda şunu elde ederiz:

.

Trigonometrik bir fonksiyonun integralini kendiniz bulun ve ardından çözüme bakın

Evrensel trigonometrik ikame

Evrensel trigonometrik ikame İntegralin önceki paragraflarda tartışılan durumların kapsamına girmediği durumlarda kullanılabilir. Temel olarak, sinüs veya kosinüs (veya her ikisi de) bir kesrin paydasında olduğunda. Sinüs ve kosinüsün, orijinal açının yarısının tanjantını içeren başka bir ifadeyle değiştirilebileceği aşağıdaki gibi kanıtlanmıştır:

Ancak evrensel trigonometrik ikamenin genellikle oldukça karmaşık cebirsel dönüşümler gerektirdiğini unutmayın; bu nedenle, başka hiçbir yöntemin işe yaramadığı durumlarda kullanılması en iyisidir. Evrensel trigonometrik ikame ile birlikte diferansiyel işaret altında ikame ve belirsiz katsayılar yönteminin kullanıldığı örneklere bakalım.

Örnek 12. Bulmak trigonometrik bir fonksiyonun integrali

.

Çözüm. Çözüm. Haydi yararlanalım evrensel trigonometrik ikame. Daha sonra
.

Pay ve paydadaki kesirleri ile çarpıp ikisini çıkarıp integral işaretinin önüne yerleştiriyoruz. Daha sonra