Математическое моделирование конфликтов. Методы решения матричных игр

5.7. Краткие замечания к вопросу о выборочном контроле над вооружением
Мы уже говорили, что главная цель контроля состоит в том, чтобы проверять, соблюдает ли другая сторона соглашение о контроле над вооружением. Контроль может осуществляться путем наблюдения за производством и хранением военных материалов, движением транспорта с военными материалами, количеством оружия в определенных стратегических районах или наличием или отсутствием скрытых военных установок. При ядерных или каких-либо других испытаниях, запрещенных договором, наблюдатель должен искать определенные доказательства, которые могут ему помочь при интерпретации подозрительных сигналов .
Абсурдно и невозможно изучать все подозрительные события, чтобы выяснить, соблюдается ли соглашение. В промышленности давно установлено, что для контроля качества продукции вовсе не обязательно контролировать все изделия, достаточно проверять наудачу выбранные образцы. Стоимость выборочного, контроля может быть достаточно высока, даже если используются достоверные методы контроля качества.
Выборочные методы, применяемые к проблемам контроля над вооружением, могут различаться по сложности. В целом идеи и методы, столь полезные при изучении характеристик совокупности, применимы и полезны для исследования.
Нам нет необходимости вникать в детали различных типов выборочных методов, таких, как случайные, послойные, групповые, последовательные и др. Нам не надо также говорить о различных методах получения статистических выводов, которые используют корреляцию и регрессию, оценки и гипотезы о проведении испытаний. Об основных понятиях и применении упомянутых методов можно прочитать в широко распространенных книгах по статистике и ее приложениям. Здесь мы попытаемся обрисовать типичную ситуацию, в которой можно эффективно использовать выборочные методы для проверки соблюдения противником договора о контроле за вооружением.
Проблема выборочного контроля состоит из двух больших вопросов. Первый - определение размера выборки и типа выборочной процедуры, наиболее подходящей в конкретной оитуации. Второй- получение статистических выводов о всей совокупности на основании данных выборочного контроля, Оба эти вопроса должны быть решены так, чтобы выполнялись условия, накладываемые
Договором о разоружений, a также, чтобы они были согласованы с другими условиями, не зависящими от группы наблюдателей. Результаты выборочного контроля затем должны быть изложены в форме, удобной для лиц, принимающих решения. Областью, в которой выборочные методы могут быть полезны для контроля над вооружением, например, является анализ системы записей, в которых содержится информация о перевозках и производстве стратегических материалов. Однако использование таких записей для контроля требует больших затрат. Кроме того, может оказаться, что получить доступ к этим записям путем переговоров невозможно. Тем не менее, если такие записи поступят в распоряжение сторон в результате соглашения, надо предусмотреть возможность их использования. Контроль по отчетности имеет своей целью создание и функционирование системы отчетов и докладов, регистрации поступления и убытия, чтобы предотвратить рассеяние и потерю материалов из-за небрежности или, если утеря имела место, обеспечить отыскание утерянного и предотвращение подобных случаев в будущем.
При выборочном контроле таких нематериальных вещей, как записи, возникает множество необычных задач. Одна из них - это соответствие записей действительному положению вещей. Другая - состоятельность записей.
Если существующий уровень активности в сферах деятельности, охваченных договором, указан в документах заинтересованных сторон, то группа наблюдателей имеет основу для отыскания видов деятельности, уровень активности в которых не указан, С другой стороны, гораздо труднее выяснить, не превышает ли уровень активности в некоторой сфере деятельности установленный догово-
ром, так как поток материалов нельзя разДелйтЬ на черное и белое, он включает в себя и все оттенки серого. Поэтому от группы наблюдателей требуется внимательность и умение распутывать сложные вопросы. Естественно, небольшие нарушения не могут дать больших преимуществ нарушителю, я пооизводство вооружений для подготовки крупных военных операций предполагает широкий план нарушений.
Мы верим, что примерно такими должны быть методы, применимые на последних стадиях разоружения. Они будут служить инструментом, используемым в повседневной деятельности по проведению в жизнь договора о контроле над вооружением. Но задолго до этой стадии идеи, изложенные в первых пяти главах настоящей книги, будут играть важную роль в создании мер по действительному сокращению вооружений.
Краткое описание проблем, возникающих при выборочном контроле над вооружением, будет дано ниже. Выборочные процедуры мало используются при оценках свойств, сравнительно редко встречающихся у элементов совокупности. Если лишь немногие элементы обладают этим свойством, например, 1 из 10 тыс., то оценка будет очень приближенной при условии, что выборка не будет чрезвычайно велика (большие расходы). Например, если в маленькой выборке обнаружено искомое свойство, то оценка для всей совокупности будет сильно завышена. Никакое изменение выборочной процедуры не помогает избежать этого недостатка, и следует проявлять осторожность при отборе элементов выборки. То же самое можно сказать и о поисках нарушений при производстве изделий для небольшого количества оружия. Это все равно, что искать иголку в стоге сена.
Предположим, что мы должны проверить завбД, производящий детали к сельскохозяйственным машинам, но на котором можно изготовлять и некоторое количество деталей для военного оборудования. Допустим также, что количество машин, используемых в мирных целях, неизвестно и, следовательно, нельзя сказать, какое количество деталей данного типа предназначено для этой цели, Как можно установить, что производится избыточное количество деталей?
Мы можем установить нормы срока службы этих деталей и срока службы машин, в которых используются эти детали. Необходимо также определить количество выпускаемых машин на основе осмотра заводов, на которых они производятся. Используя случайные выборки из совокупности машин, мы можем оценить объем совокупности и потребность в данных деталях. Теперь мы имеем оценку числа деталей, необходимых для создания новой машины и для замены изношенных деталей в старых машинах. Наблюдая скорость изготовления данных деталей и оценивая максимальный объем продукции, мы можем подтвердить или опровергнуть подозрения, что эти детали тайно используются в военной продукции.
Статистика служит инструментом для измерения эффективности действий, предпринимаемых в процессе проведения политики. Эти меры или индексы служат критериями для оценки того, насколько точно выполняются соглашения. Например, средние уровни часто используются для того, чтобы показать, сколько операций закончено. Иногда мы можем использовать визуальный контроль для оценки степени выполнения требований. Однако, если надо проводить большое число проверок для обследования многих областей, необходимы статиСТические методы для получения единого критерия выполнения требований. Об эффективности действия можно судить по тому, насколько оно соответствует целям, которые преследует данная политика. Поэтому, кроме разработки состоятельных целей и стабильных линий поведения, должны быть предприняты действия (как выражение политики), которые обеспечивают эффективное выполнение этих требований.
Иногда бывает так, что не существует эффективных действий, которые можно было бы использовать для проведения некоторой политики. Таков, например, случай, когда две страны блокируют действия друг друга. Если государство не может действовать в соответствии со своими целями, то в стране возникают беспорядки. В гл. 6 будут рассмотрены общие понятия беспорядка, агрессии и факторы, влияющие на разрешение конфликтов.

Часть IV
ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ И ДОЛГОСРОЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ КОНТРОЛЯ НАД ВООРУЖЕНИЕМ -АНАЛИЗ РАЗРАСТАНИЯ КОНФЛИКТОВ, ИДЕИ И ПЕРСПЕКТИВЫ

ГЛАВА 6
ИССЛЕДОВАНИЕ КОНФЛИКТОВ

6.1. Введение
В этой, главе будут изложены некоторые вопросы, касающиеся причин возникновения конфликтов. Сначала мы опишем некоторые исследования эска-
лации на примерах конфликтов лабораторного типа и выясним, какие факторы определяют разрастание конфликтов. Затем будут приведены некоторые качественные рассуждения относительно войны и мира в истории человечества.
«Конфликт возникает в результате недовольства, а недовольство - в результате недостаточного удовлетворения потребностей» утверждают сторонники одной из идеологических школ . Война и мир кратко описываются как цепь расстройств и выздоровлений.
Другие школы (некоторые из них кратко упоминаются) считают, что войны порождаются агрессивными инстинктами, ненавистью, скукой, взаимным непониманием, различиями в уровне культуры, желанием объединить разделенную страну на основе ненависти к общему врагу, новыми научными открытиями, стремлением стимулировать рост экономики путем создания «искусственного» спроса, желанием захватить новые рынки, борьбой за выживание, расширением динамической цивилизации, стремлением к господству элиты военно-промышленного комплекса и т. п. Однако, как бы то ни было, теория, изложенная в разд. 2.4, дает возможность рационально решить вопрос о втягивании в конфликт.
Существующее положение выглядит не очень надежным. Поэтому делается попытка нарисовать картину будущего и показать реальные возможности установления прочного мира при условии, что нам удастся пережить настоящий момент. В последнем разделе описаны некоторые области исследования и действия, рекомендуемые в данный период (и в ближайшем будущем), которые могут помочь мирному разрешению конфликтов.

6.2. Опыты с эскалацией конфликтов
Мы иногда ошибочно полагаем, что если народы понимают всю опасность ядерного оружия, то они стремятся разумно решать возникающие конфликты, в худшем случае используя обычное оружие. Однако, что вполне естественно, проигрывающая сторона может прибегнуть к угрозе использовать ядерное оружие, чтобы избежать поражения и даже восстановить утраченные позиции. Это может окончиться катастрофой. Кроме того, у некоторых народов понятие разумности отличается от нашего, особенно, если им нечего терять материально. До тех пор, пока процессы эскалации и методы управления ими не изучены полностью, маловероятно, что удастся удержать под контролем войну, ведущуюся обычными средствами. Осознание процессов эскалации и методов управления ими значительно увеличит надежды на ограничение ущерба в случае возникновения конфликта. Эта теория должна найти свое применение и к войне, которая ведется обычными средствами, если существуют указания, в каком направлении будет развиваться конфликт в случае тех или иных действий. Такие действия иногда направлены на деэскалацию путем подавления врага, но в действительности они только усиливают конфликт.
В течение последних нескольких лет Агенство по разоружению и контролю над вооружением совместно с Центром по исследованию операций в Пенсильванском университете проводило исследование условий, при которых происходит эскалация или деэскалация конфликтов, чтобы выяснить возможность воздействия на скорость эскалации или деэскалации путем управления условиями, определяющими взаимодействие сторон - участниц конфликта. Исследование включало в себя: а) анализ некоторых исторических конфликтов и изучение соответствующей литературы, б) проведение экспериментов с целью определения эффекта взаимодействия между различными переменными и в) разработку теории на базе экспериментальных данных и обобщение ее на реальные проблемы.
В результате анализа литературы было предложено несколько гипотез об эскалации и деэскалации, а затем в экспериментальных ситуациях были проверены: а) их общность и б) идентификация критических переменных. Примеры гипотез: а) при отсутствии коммуникаций вероятность эскалации возрастает, б) чем большую роль играют идеологические вопросы, тем вероятнее эскалация, в) эскалация зависит от экономического развития, г) эскалация более возможна, если конфликт развивается постепенно, д) эскалация более вероятна в присутствии многостороннего командования .
Была построена относительно сложная экспериментальная ситуация, так называемая «искусственная реальность» (или «богатая игра»), которая тем не менее была самой простой игрой, отвечающей следующим условиям:
1. Она достаточно «богата», чтобы можно было проверить многие гипотезы, высказанные об изучаемых явлениях, в данном случае речь идет о динамике крупных социальных конфликтов. (Очевидно, что такие эксперименты не могут подтвердить гипотезу о том или ином реальном явлении, но они могут определить пределы действия гипотезы или показать, в каком направлении ее можно или нужно обобщать.) Цель условий - создать экспериментальную ситуацию, достаточно реалистическую для того, чтобы большинство свойств реального конфликта было применимо к ней.
2. Должны существовать точные описания переменных и единицы для их измерения, кроме того, должны быть указаны упрощения (например, некоторая переменная полагается равной постоянной). Это дает нам возможность последовательно конструировать все более богатые экспериментальные ситуации путем введения усложнений.
3. Соответствующее поведение в экспериментальной ситуации должно быть выражено количественно.
4. Ситуация должна разлагаться на ряд более простых экспериментальных ситуаций и, если возможно, эти простые ситуации должны быть уже изучены или близки к уже изученным.
Экспериментальная ситуация, удовлетворяющая этим условиям, не является моделью реальности, а, скорее, может считаться первым шагом на пути создания количественных моделей реальной ситуации; поэтому мы называем ее «искусственной реальностью». Она используется для того, чтобы накопить опытные данные, для истолкования которых строится первая теория. Опыт накапливается при помощи богатой игры в процессе эксперимента, который поставлен с целью систематической проверки гипотезы о реальных конфликтах, которые описаны в оперативных и количественных терминах так, чтобы их можно было использовать в теоретических построениях.

Замечания о построении искусственной реальности
Искусственная реальность состоит из двух симметричных игр, в которых ходы делаются одновременно. Одна из них - это игра с положительной суммой - «дилемма заключенного», которая в какой-то степени изображает международную (две страны) экономику. Другая - игра с отрицательной суммой под названием «петухи», которая напоминает противостояние двух стран, когда они держат курс на столкновение в надежде, что противник пойдет на уступки.
KOHEЦ ФPAГMEHTA КНИГИ

Группа ученых под руководством сотрудника Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского Александра Петухова выявила параметры, которые нужны для управления системой, описывающей социальные конфликты. В случае полного контроля над этими характеристиками ученые смогут создавать условия для возникновения или предотвращения такого конфликта. Результаты изложены в журнале Simulation.

При математическом моделировании социальных и политических процессов нужно учитывать то, что они не могут быть строго заданными, поскольку подвержены постоянным изменениям. Часто социальный процесс сравнивают с броуновской частицей. Такие частицы двигаются по траектории, которая с одной стороны вполне определенна, но при близком рассмотрении оказывается очень извилистой, с множеством мелких изломов. Эти мелкие изменения (флуктуации) объясняются хаотическим движением других молекул. В социальных процессах флуктуации можно трактовать как проявления свободной воли его отдельных участников, а также случайными проявлениями внешней среды.

В физике такие процессы, как правило, описываются стохастическим диффузионным уравнением Ланжевена, которое относительно часто используется и для моделирования некоторых социальных процессов. Подход, основанный на подобных уравнениях, позволяет учесть проявления свободной воли его отдельных участников и случайные проявления внешней среды для социальной системы. Кроме того, благодаря этому подходу можно рассчитать поведение социальной системы как для единого целого, так и для отдельных индивидов-частиц; также он позволяет выявить характерные устойчивые режимы функционирования систем в зависимости от различных начальных условий. Наконец, с точки зрения численного моделирования диффузионные уравнения в достаточной степени апробированы и изучены.

В основе новой модели лежит идея о том, что индивиды взаимодействуют в обществе через поле коммуникации. Его создает каждый индивид в обществе, моделируя информационное взаимодействие между индивидами. Однако следует иметь в виду, что здесь речь идет о социуме, который отличается от объектов классической физики. По словам руководителя исследований Александра Петухова, с точки зрения переноса информации от индивида к индивиду, пространство в обществе сочетает как классические пространственные координаты, так и дополнительные специфические особенности. Это связанно с тем, что в современном мире для передачи информации не нужно находиться рядом с объектом воздействия.

«Таким образом, социум - это многомерное, социально-физическое пространство, отражающее возможность одного индивида "дотянуться" своим коммуникационным полем до другого, то есть повлиять на него, на его параметры и возможность перемещаться в данном пространстве», - отмечает Александр Петухов. Близкое расположение индивидов в данной модели говорит о том, что они регулярно обмениваются информацией. Для такой постановки проблемы конфликтом следует считать вариант взаимодействия индивидов или групп индивидов, в результате которого расстояние в этом многомерном пространстве между ними резко растет.

На основе такого подхода и разработанной модели ученые нашли следующие закономерности: они смогли установить конкретные граничные условия для возникновения социального конфликта и его усугубления; обнаружили характерную область устойчивости для социальной системы, в которой между объектами сохраняется достаточно малая социальная дистанция; определили зависимости, которые соответствуют некоторым современным этносоциальным конфликтам, что дает возможность использовать эту модель как инструмент при прогнозировании их динамики и формировании сценариев урегулирования.

Также в рамках данных исследований ученые доказали, что переход из устойчивого состояния в неустойчивое для многокомпонентной когнитивной системы распределенного типа представляет собой пороговый эффект. По словам Александра Петухова, выполненные эксперименты выявили конкретные параметры, необходимые для управления подобной системой: они определяют переход из устойчивого состояния в неустойчивое, что дает возможность, при полном их контроле, создавать условия для возникновения социального конфликта, или, напротив, - предотвращать. «Развивая данный подход в дальнейшем, мы получим возможность создать на его основе инструмент для полноценного прогнозирования социальных конфликтов», - подводит итог Александр Петухов.

Понравился материал? в «Мои источники» Яндекс.Новостей и читайте нас чаще.

Пресс-релизы о научных исследованиях, информацию о последних вышедших научных статьях и анонсы конференций, а также данные о выигранных грантах и премиях присылайте на адрес science@сайт.

Ключевые слова

КОНФЛИКТ / ФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИКА / ЭЛЕМЕНТЫ / ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ / ЗАКОНЫ ЛОГИКИ / ВЫСКАЗЫВАНИЕ / ДВУЗНАЧНАЯ ЛОГИКА / МНОГОЗНАЧНАЯ ЛОГИКА / CONFLICT / FORMAL LOGIC ELEMENTS / LOGIC OPERATIONS / LAWS OF LOGIC / STATEMENT / TWO-VALUED LOGIC / MANY-VALUED LOGIC

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы - Левин Виталий Ильич, Немкова Елена Анатольевна

Актуальность. В статье рассмотрена актуальная проблема адекватного математического моделирования поведения конфликтующих систем, применительно к системам, конфликты в которых не обязательно связаны с антагонистическим противоречием между участниками системы. Дана формальная постановка задачи логико-математического моделирования процесса взаимодействия конфликтующих участников системы. Эта задача заключается в построении алгебр двузначной и многозначной логики , моделирующих различные типы мышления, различие которых и является источником конфликта . Цель статьи. Целью статьи является изложение и детальный анализ двузначной и многозначной логик , с упором на выяснение фундаментальных различий законов этих логик, влекущих за собой существенные различия в мышлении индивидов, базирующихся на указанных логиках, и вытекающие из этого различия конфликты между носителями различных логик мышления. Метод. Для решения поставленной задачи используется традиционный метод построения логических систем, основанный на введении базовых постоянных элементов , основных операций над ними и выявлении законов, которым подчиняются эти операции. При этом основное внимание уделяется различиям элементов операций над ними и законов операций между двузначной и многозначной логиками . Новизна. Сформулировано положение, согласно которому существуют системы, конфликты между участниками которых вызываются не антагонистическими противоречиями их интересов, а различием их логик мышления, следствием которого является непонимание, провоцирующее подозрительность, а потом и агрессию. Это так называемое воображаемые конфликты , борьба с которыми требует специальных подходов. Результат. Разработана процедура построения алгебры логики различной значности, адекватно моделирующей процессы мышления. Описаны двузначная и многозначная логики мышления и их законы. Установлены фундаментальные различия двузначной и многозначной логик . Приведен пример анализа конфликта , вызванного различием логик мышления.

Текст научной работы на тему «Логико-математическое моделирование конфликтов»

Логико-математическое моделирование конфликтов

Левин В. И., Немкова Е. А.

Актуальность. В статье рассмотрена актуальная проблема адекватного математического моделирования поведения конфликтующих систем, применительно к системам, конфликты в которых не обязательно связаны с антагонистическим противоречием между участниками системы. Дана формальная постановка задачи логико-математического моделирования процесса взаимодействия конфликтующих участников системы. Эта задача заключается в построении алгебр двузначной и многозначной логики, моделирующих различные типы мышления, различие которых и является источником конфликта. Цель статьи. Целью статьи является изложение и детальный анализ двузначной и многозначной логик, с упором на выяснение фундаментальных различий законов этих логик, влекущих за собой существенные различия в мышлении индивидов, базирующихся на указанных логиках, и вытекающие из этого различия конфликты между носителями различных логик мышления. Метод. Для решения поставленной задачи используется традиционный метод построения логических систем, основанный на введении базовых постоянных элементов, основных операций над ними и выявлении законов, которым подчиняются эти операции. При этом основное внимание уделяется различиям элементов операций над ними и законов операций между двузначной и многозначной логиками. Новизна. Сформулировано положение, согласно которому существуют системы, конфликты между участниками которых вызываются не антагонистическими противоречиями их интересов, а различием их логик мышления, следствием которого является непонимание, провоцирующее подозрительность, а потом и агрессию. Это так называемое воображаемые конфликты, борьба с которыми требует специальных подходов. Результат. Разработана процедура построения алгебры логики различной значности, адекватно моделирующей процессы мышления. Описаны двузначная и многозначная логики мышления и их законы. Установлены фундаментальные различия двузначной и многозначной логик. Приведен пример анализа конфликта, вызванного различием логик мышления.

Ключевые слова: конфликт, формальная логика, элементы, логические операции, законы логики, высказывание, двузначная логика, многозначная логика.

Введение

Несомненна важность общей теории конфликта - науки, занимающейся расчетом, анализом, синтезом и разрешением общих моделей конфликтных ситуаций. В то же время ясно, что построение продуктивных моделей конфликта должно быть основано на привязке к наиболее важным конкретным классам конфликтующих систем. И самый большой интерес среди этих систем вызывает, конечно, человеческое общество.

Конфликтами в человеческом обществе с целью их практического разрешения в настоящее время занимается гуманитарная наука -конфликтология, являющаяся частью социологии. Однако эта наука не стремится вскрыть внутреннюю природу конфликтных ситуаций, а без этого невозможно построить соответствующие хорошие математические модели, позволяющие детально изучать такие ситуации.

Обычно считается, что источником человеческих конфликтов является противоречие между целями, которые различные люди ставят между собой . Однако не секрет, что большая (а возможно, и подавляющая) часть человечества - это люди, которые не ставят перед собой никаких особых целей.

№3. 2016

Sccs.intelgr.com

Но при этом они часто конфликтуют с другими людьми - как бесцельно существующими, подобными им, так и с вполне целеустремленными людьми. Этот факт побуждает предполагать, что в основе конфликтов между людьми лежит еще и какая-то другая особенность человеческой личности, не связанная напрямую с деятельностью человека и его целями, а присущая ему на генетическом уровне. В настоящей статье выдвигается и обосновывается гипотеза, согласно которой особенность человека, которая сильно, а иногда решающим образом влияет на возникновение (или отсутствие) его конфликтов с окружающими, это тип, а точнее - логика его мышления. С этой целью рассматриваются два существенно различных типа логики - двузначная и многозначная, а затем показывается, что основанные на них варианты человеческого мышления в значительной мере несовместимы. Эта несовместимость и приводит к взаимонепониманию между приверженцами двух указанных типов мышления и, в конечном счете, к конфликтам между ними.

1. Двузначная формальная логика

Двузначная формальная (иначе - математическая, символическая) логика высказываний, называемая еще классической, лежит в основе обычного человеческого мышления. Эта логика строится с помощью двух постоянных элементов: ИСТИНА (обозначение И) и ложь (обозначение Л); переменных, значениями которых служат значения истинности различных высказываний, и логических операций, которые можно выполнять над постоянными элементами. Высказывание - это утверждение, которое может быть либо истинным (И), либо ложным (Л). Поэтому логические операции можно выполнять и над высказываниями. Логические операции над постоянными элементами или высказываниями Р,Q следующие: отрицание Р (иначе «НЕ Р»), дизъюнкция Р V Q (иначе «Р ИЛИ Q»), конъюнкция Р л Q (иначе «Р И Q»), разделительная дизъюнкция Р 0 Q (иначе «ЛИБО Р, ЛИБО Q»), эквивалентность Р « Q (иначе « Р РАВНОСИЛЬНО Q»), импликация Р ® Q (иначе «ЕСЛИ Р, ТО Q»). Эти операции определены в таблицах истинности 1 и 2. Кроме высказываний, имеющих переменные значения истинности (И или Л), имеются два высказывания с постоянными значениями истинности: тождественно истинное высказывание или тавтология (обозначение Т) и тождественно ложное высказывание или противоречие (обозначение П).

Таблица 1 - Операция отрицания

Системы управления, связи и безопасности

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

Таблица 2 - Операции дизъюнкции, конъюнкции, разделительной дизъюнкции, эквивалентности и импликации

P Q P V Q P Ù Q P ® Q P « Q P ® Q

Л Л Л Л Л И И

И Л И Л И Л Л

Л И И Л И Л И

И И И И Л И И

Во введенной логике справедливы следующие законы:

Переместительный закон для дизъюнкции и конъюнкции

Р V Q = Q V Р, Р л Q = Q л Р; (1)

Сочетательный закон для дизъюнкции и конъюнкции

(Р V Q) V Я = Р V (£ V Я), (Р л Q) л Я = Р л (£ л Я). (2)

Распределительный закон для конъюнкции относительно дизъюнкции

(Р V Q) л Я = (Р л Я) V (д л Я); (3)

Распределительный закон для дизъюнкции относительно конъюнкции

(Р л Q) V Я = (Р V Я) л (д V Я); (4)

Закон де Моргана

Р V Q = Р л Q, Р л Q = Р V Q; (5)

закон тавтологии

Р V Р = Р, Р л Р = Р, (6)

Закон поглощения

Р л (Р V Q) = Р, Р V (Р л Q) = Р; (7)

Закон действия над высказываниями с постоянными значениями истинности

Р V П = Р, Р V T = ^ Р л T = Р, Р л П = П, (8)

Закон двойного отрицания

Закон исключенного третьего

Р V Р = Т; (10)

Закон противоречия

Р л Р = П; (11)

Закон преобразования импликации

(Р ® Q) = PV Q (12)

Для доказательства законов двузначной логики строятся таблицы истинности их обеих частей, подобные табл. 1, 2. Если оказывается, что таблицы для обеих частей совпадают, то закон справедлив. Логические законы позволяют заменять выражения логики высказываний эквивалентными, но более простыми (либо более удобными в каком-то смысле) выражениями.

Системы управления, связи и безопасности №3. 2016

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

Построенная логика высказываний позволяет формально описывать процесс человеческого мышления, используя формальную конструкцию

А1 л А2 л... л Ап ® В. (13)

Здесь А1,...,Ап - исходные высказывания (посылки), В - новое

высказывание (заключение). Сложное высказывание (13) называется логическим выводом. Логический вывод может быть истинным или ложным. Если он истинен при любых значениях истинности посылок и заключения (т.е. тождественно истинен), он считается верным. В остальных случаях логический вывод считается неверным. Для проверки верности логического вывода можно построить его таблицу истинности и убедиться, что он тождественно истинен либо преобразовать выражение (13) логического вывода с помощью подходящих логических законов и привести его к тождественно истинному высказыванию.

Приведем еще один логический закон - транзитивности импликации, важный для логического вывода

(Р ® 0л(0 ® Я) ® (Р ® Я). (14)

Закон (14) показывает, что операция импликации ® транзитивна, что позволяет осуществлять логический вывод как многоступенчатый (цепочечный) процесс.

Двузначная формальная логика и реализующие ее автоматы широко используются для математического моделирования многих классов систем. В частности, конфликтующих систем .

2. Многозначная формальная логика

Все основные черты многозначной логики проявляются, начиная со значности к = 3. Поэтому ограничимся трехзначной формальной логикой высказываний. Эта логика лежит в основе человеческого мышления, более сложного, чем обычное. Она строится с помощью тех же постоянных элементов, что и двузначная логика: И и Л, с добавлением постоянного элемента НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ (обозначение Н). Новый элемент является неопределенностью в том смысле, что он не истинен и не ложен. Как и в двузначной логике, в качестве переменных значений используется истинность различных высказываний. Эти значения теперь могут быть И, Л или Н. Логические операции можно выполнять над постоянными элементами И, Л и Н и над переменными (высказываниями), принимающими эти же значения И, Л и Н. В трехзначной логике имеются те же операции, что и в двузначной. Однако число возможных вариантов каждой операции значительно больше. В табл. 3-5 определены три наиболее употребительных варианта операции отрицания. В табл. 6 определены операции дизъюнкции Р V 0, конъюнкции Р л 0, разделительной дизъюнкции Р Ф 0, эквивалентности Р « 0, импликации Р ® 0 (по одному варианту для каждой операции). Кроме высказываний с переменными значениями истинности (И, Л или Н), имеются три высказывания с постоянными значениями истинности: И (называемое тавтологией Т), Л (называемое противоречием П) и Н (называемое неопределенностью Н).

Системы управления, связи и безопасности №3. 2016

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

Первые две совпадают с соответствующими в двузначной логике, третье является новым высказыванием с постоянным значением истинности.

Таблица 3 - Зеркальное отрицание

Таблица 4 - Левое циклическое отрицание

Таблица 5 - Правое циклическое отрицание

Таблица 6 - Операции дизъюнкции, конъюнкции, разделительной дизъюнкции, эквивалентности и импликации

P Q P v Q P A Q P ® Q P « Q P ® Q

Л Л Л Л Л И И

Л Н Н Л Н Н И

Л И И Л И Л И

Н Л Н Л Н Н Н

Н Н Н Н Н Н Н

Н И И Н Н Н И

И Л И Л И Л Л

И Н И Н Н Н Н

И И И И Л И И

Во введенной трехзначной логике остаются справедливы законы двузначной логики, не содержащие операции отрицания. Это законы переместительный, сочетательный и распределительный (1)-(4), тавтологии, поглощения и действий с постоянными (6)-(8), транзитивности (14). Однако появляются новые законы действий над высказываниями с постоянным значением истинности Н

Н V Л = Н, Н V И = И, Н л Л = Л, Н л И = Н. (15)

Главное же отличие трехзначной логики от двузначной состоит в существенном изменении законов, содержащих операцию отрицания. Конкретный вид этих законов зависит от выбранного варианта операции отрицания. Если это операция зеркального отрицания (табл. 3), то остаются

Системы управления, связи и безопасности

Systems of Control, Communication and Security

sccs.intelgr.com

справедливыми законы де Моргана, двойного отрицания и преобразования импликации (5), (9), и (12) двузначной логики, однако закон исключенного третьего (10) переходит в следующий закон «частично исключенного третьего»

Р V Р = Т"(Р), где Т"(Р) = {И, при Р = И или Л; (16)

[И, при Р = Н; у 7

а закон противоречия (11) - в следующий закон «частичного противоречия»

Р л Р = П"(Р), где П"(Р) = {Л, при Р = И или Л; (17)

[И, при Р = И. у 7

Для операций левого и правого циклического отрицания (табл. 4 и 5) все законы двузначной логики, содержащие отрицание, трансформируется в соответствующие новые, более сложные законы трехзначной логики. Так, законы двойного отрицания (9), исключенного третьего (10) и противоречия (11) трансформируется в соответствующие законы - закон тройного отрицания

закон исключенного четвертого

Р V Р V Р = Т (19)

и закон полного противоречия

Р л Р л Р = П, (20)

а законы де Моргана (5) и преобразования импликации (12) - в соответствующие более сложные законы, форма которых уже зависит от того, какое циклическое отрицание использовано - левое или правое. В связи с обсуждаемой проблемой логики мышления особое значение имеет конкретизация закона (18) в виде

Р ф Р, "Р; (21)

закона (19) в виде закона «частично исключенного третьего»

ГИ, при Р = И или Л, Р V Р = Тл(Р), где Тл(Р) = { " р

[И, при Р = И,

П п ГИ, при Р = И или И, Р V Р = Тп(Р), где Тп (Р) = { " р

[И, при Р = Л,

для правого циклического отрицания; и закона (20) в виде закона «частичного противоречия»

- „ Г Л, при Р = Л или И, Р л Р = Пл (Р), где Пл (Р) = { " р _ тя

[И, при Р = И,

для левого циклического отрицания;

П п Г Л, при Р = Л или И, Р л Р = Пп (Р), где Пп (Р) = { " р

[И, при Р = И,

для правого циклического отрицания.

Как видно из (21), в трехзначной логике с операцией циклического отрицания не действует закон двойного отрицания. Далее, из (22) следует, что в этой логике не действует закон исключенного третьего - он трансформируется

Системы управления, связи и безопасности №3. 2016

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

в закон «частично исключенного третьего», конкретная форма которого зависит от варианта операции циклического отрицания (правое или левое). Аналогично, из (23) следует, что в этой логике не действует закон противоречия - он трансформируется в закон «частичного противоречия», конкретная форма которого также зависит от варианта операции циклического отрицания.

3. Логика и конфликты

Каждый мыслящий индивидуум в своей мыслительной деятельности всегда использует сознательно или интуитивно тот или иной вариант логики. Выше мы видели, что между двузначной и многозначной логиками есть существенные различия. Поэтому всех индивидуумов, по используемому в их мышлении преимущественного варианту логики, можно разделить на двузначных и многозначных мыслителей. Их основные различия заключаются в том, что для двузначного мыслителя любое высказывание может иметь только два значения истинности: истинно и ложно, причем отрицание одного дает другое, в то время как для многозначного мыслителя любое высказывание имеет, как минимум, три значения истинности: истинно, ложно и неопределенно. При этом операция отрицания может быть определена по-разному, так что отрицание любого значения истинности в общем случае может дать любое другое значение истинности.

Ввиду указанных глубоких различий между двузначными и многозначными мыслителями возникает сложная проблема их взаимоотношений. Сущность этой проблемы в том, что в рамках двузначного мышления трудно понять явно многозначную природу мира (с точки зрения современной науки). Такое постоянное недопонимание ведет к подозрительности и страху. В итоге двузначный мыслитель начинает конфликтовать с многозначным, склоняясь к силовому решению.

Рассмотрим простейший характерный пример. На банкете, во время застолья, художник, уже изрядно навеселе обращается к ученому: «Ты что не пьешь?» - Тот отвечает: «Не могу!». Художник продолжает настаивать: «Пей!». Ученый возражает: «Не буду!». Тогда художник заявляет громогласно: «Значит, ты собираешься написать на нас донос!». Наш художник, конечно типичный двузначный мыслитель, для которого существует лишь два варианта: пить и потому быть не способным донести и не пить и потому быть способным написать донос. Ему не приходит в голову, что есть и другие варианты, очевидные для ученого - многозначного мыслителя. Например, напиться до беспамятства, а потом донести о том чего не было, или вообще не пить и при этом не доносить из нравственных соображений.

Реальная версия этой полу фантастической истории произошла в 1938 году на правительственной даче в Кунцево, под Москвой, когда во время очередного банкета, устроенного И.В. Сталиным, ему не удалось заставить пить наркома кинематографии СССР Бориса Шумяцкого. После чего по приказу двузначного мыслителя Сталина подозрительный многозначный мыслитель Шумяцкий был расстрелян.

Системы управления, связи и безопасности №3. 2016

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

Изложенные в данном разделе соображения могут быть положены в основу нового многозначно-логического подхода к моделированию конфликтов, отличного от двузначно-логического подхода, основанного на математическом аппарате, рассмотренном в работе . Такой новый подход открывает новые перспективы моделирования конфликтов. В частности, он позволит увеличить число градаций взаимодействия конфликтующих систем и тем самым сделает анализ этого взаимодействия более тонким. Подробное изложение данного подхода предполагается в отдельной статье.

Заключение

В статье показано, что двузначная и многозначная логики подчиняются существенно различным законам, благодаря чему могут быть использованы для моделирования различных типов мышления. Выявлено, что источником человеческих конфликтов может быть не только противоречие между целями, которые различные люди ставят перед собой, но и человеческое взаимонепонимание, вызванное различием типов мышления. Достоинство описываемого подхода к изучению конфликтов заключается в возможности более тонкого проникновения в суть развития конфликтных ситуаций.

Литература

1. Дмитриев А. В. Конфликтология. - М.: ИИФРА-М, 2009. - 336 с.

2. Сысоев В. В. Конфликт. Сотрудничество. Иезависимость: системное взаимодействие в структурно-параметрическом представлении. - Москва: МАЭиП, 1999. - 151 с.

3. Светлов В. А. Аналитика конфликта. - СПб: Росток, 2001. - 512 с.

4. Левин В. И. Математическое моделирование систем с помощью динамических автоматов // Информационные технологии. 1997. № 9. С. 15-24.

5. Левин В. И. Математическое моделирование с помощью автоматов // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 1997. Т. 2. № 2. С. 67-72.

6. Левин В. И. Автоматная модель определения возможного времени проведения коллективных мероприятий // Известия РАИ. Теория и системы управления. 1997. № 3. С. 85-96.

7. Левин В. И. Математическое моделирование библии. Характеристический автоматный подход // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 1999. Т. 4. № 3. С. 353-363.

8. Левин В. И. Автоматное моделирование коллективных мероприятий // Автоматика и телемеханика. 1999. № 12. С. 78-89.

9. Левин В. И. Математическое моделирование библейской легенды о Вавилонском столпотворении // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. 2001. Т. 6. № 2. С. 123-138.

10. Левин В. И. Автоматное моделирование исторических процессов на примере войн // Радиоэлектроника. Информатика. Управление. 2002. № 12. С. 93-101.

11. Левин В. И. Автоматное моделирование процессов возникновения и распада коллектива // Кибернетика и системный анализ. 2003. № 3. С. 92-101.

Системы управления, связи и безопасности №3. 2016

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

12. Левин В. И. Логико-алгебраический подход к моделированию конфликтов // Системы управления, связи и безопасности. 2015. № 4. С. 69-87. URL: http://sccs.intelgr.com/archive/2015-04/03-Levin.pdf (дата обращения 01.08.2016).

1. Dmitriev A .V. Konfliktologiia . Moscow, INFRA-M Publ., 2009. 336 p. (in Russian).

2. Sysoev V. V. Konflikt. Sotrudnichestvo. Nezavisimost": sistemnoe vzaimodeistvie v strukturno-parametricheskom predstavlenii . Moscow, MAEP Publ., 1999. - 151 p. (in Russian).

3. Svetlov V. A. Analitika konflikta . Saint-Petersburg, Burgeon Publ., 2001. 512 p. (in Russian).

4. Levin V. I. Mathematical modeling of systems with dynamic machines. Information technologies, 1997, no. 9, pp. 15-24 (in Russian).

5. Levin V. I. Mathematical modeling using automata. Bulletin of the University of Tambov. Series: Natural and Technical Sciences, 1997, vol. 2, no. 2, pp. 67-72. (in Russian).

6. Levin V. I. Automaton model determine the possible time of the collective actions. Izvestiya RAS. Theory and control systems, 1997, no. 3, pp. 85-96. (in Russian).

7. Levin V. I. Mathematical modeling of the Bible. Characteristic automata approach. Bulletin of the University of Tambov. Series: Natural and Technical Sciences, 1999, vol. 4, no. 3, pp. 353-363 (in Russian).

8. Levin V. I. Automatic modeling of collective actions. Automation and Remote Control, 1999, no. 12, pp. 78-89 (in Russian).

9. Levin V. I. Mathematical modeling of the biblical legend of the Tower of Babel. Bulletin of the University of Tambov. Series: Natural and Technical Sciences, 2001, vol. 6, no 2, pp. 123-138 (in Russian).

10. Levin V. I. Automatic modeling of historical processes on the example of the wars. Electronics. Computer science. Control, 2002, no. 12, pp. 93-101 (in Russian).

11. Levin V. I. Automatic modeling of processes of emergence and collapse of collective // Cybernetics and Systems Analysis, 2003, no. 3, pp. 92-101 (in Russian).

12. Levin V. I. Logical-Algebraic Approach to Conflicts Modeling. Systems of Control, Communication and Security, 2015, no. 4, pp. 69-87. Available at: http://sccs.intelgr.com/archive/2015-04/03-Levin.pdf (accessed 01 Aug 2016) (in Russian).

Левин Виталий Ильич - доктор технических наук, профессор, PhD, Full Professor. Заслуженный деятель науки РФ. Пензенский государственный технологический университет. Область научных интересов: логика;

Системы управления, связи и безопасности №3. 2016

Systems of Control, Communication and Security sccs.intelgr.com

математическое моделирование в технике, экономике, социологии, истории; принятие решений; оптимизация; теория автоматов; теория надежности; распознавание; история науки; проблемы образования. E-mail: [email protected]

Немкова Елена Анатольевна - кандидат технических наук, доцент кафедры «Математика». Пензенский государственный технологический университет. Область научных интересов: логика; математическое моделирование в технике и экономике. E-mail: [email protected]

Адрес: 440039, Россия, г. Пенза, пр. Байдукова/ул. Гагарина, д. 1 а/11.

Logical-Mathematical Modelling of Conflicts

V. I. Levin, E. A. Nemkova

Relevance. In the article the actual problem of adequate mathematical modeling of the behavior of the conflicting systems in relation to systems, conflicts are not necessarily related to the contradiction between the participants in the system. An exact statement of the problem of logical and mathematical modeling of the interaction between the conflicting parties of the system. The task is to build a two-valued algebra and multi-valued logic, simulating different types of thinking, and that difference is a source of conflict. The purpose of the article. The aim of the article is a summary and a detailed analysis of the two-valued and multi-valued logic, with a focus on finding the fundamental differences of the laws of logic, entailing significant differences in the thinking of individuals, based on these logics and the resulting differences in conflicts between carriers of different logics of thinking. Method. To solve this problem, we use the traditional method of construction of logical systems based on the introduction of basic elements of permanent, major operations on them and identify the laws that govern these operations. The main attention is paid to the differences of elements of operations on them and transactions between the laws of two-valued and multi-valued logic. Novelty. Formulated provision according to which there are systems, conflicts between the parties which are not caused by the contradictions of their interests and the difference of their logic thinking, the result of which is a misunderstanding, provoking suspicion, and then aggression. This so-called imaginary conflicts, the fight against which requires special approaches. Result. The procedure of constructing the algebra of logic different valence, adequately modeling the processes of thinking. We describe the two-valued and multi-valued logic thinking and their laws. Established the fundamental differences of two-valued and multi-valued logic. An example of the analysis of the conflict caused by the difference logic thinking.

Keywords: conflict, formal logic elements, logic operations, the laws of logic, statement, the two-valued logic, many-valued logic.

Information about Authors

Vitaly Ilyich Levin - the Doctor of Engineering Sciences, Professor, PhD, Full Professor. Honored worker of science of the Russian Federation. Penza State Technological University. Field of Research: logic; mathematical modeling in technics, economy, sociology, history; decision-making; optimization; automata theory; theory of reliability; history of science; problems of education. E-mail: [email protected]

Elena Anatolyevna Nemkova - Ph.D. of Engineering Sciences, Associate Professor at the Department of "Mathematics". Penza State Technological University. Field of Research: logic; mathematical modeling in technics, economy. E-mail:: elenem5 8 @mail. ru

Address: 440039, Russia, Penza, pr. Baydukova / Gagarin st., 1a/11.

Обобщение. Состоит в исследовании свойств, связей и отношений конфликта, которые характеризуют не отдельно взятый конфликт, а целый класс однородных в данном отношении конфликтов. При обобщении важно уметь выделять единичное, то, что свойственно только этой конфликтной ситуации, и общее, что присуще целому ряду конфликтов. Данный метод применяется в большинстве научных дисциплин, изучающих конфликт.

Сравнительный метод. Предполагает сопоставление ряда аспектов конфликта и выяснение сходства или различия их проявлений в различных конфликтах. В результате сравнения устанавливаются различия в параметрах конфликта, что позволяет дифференцированно управлять конфликтными процессами.

Математическое моделирование конфликтов

В последнее время для исследования межгрупповых и межгосударственных конфликтов все чаще применяется метод математического моделирования. Его значимость связана с тем, что экспериментальные исследования таких конфликтов достаточно трудоемки и сложны. Наличие модельных описаний позволяет изучить возможное развитие ситуации с целью выбора оптимального варианта их регулирования.

Математическое моделирование с привлечением современных средств вычислительной техники дает возможность перейти от простого накопления и анализа фактов к прогнозированию и оценке событий в реальном масштабе времени их развития. Если методы наблюдения и анализа межгруппового конфликта позволяют получать единичное решение конфликтного события, то математическое моделирование конфликтных явлений с использованием ЭВМ позволяет просчитывать различные варианты их развития с прогнозированием вероятного исхода и влияния на результат.

Математическое моделирование межгрушювых конфликтов позволяет заменить непосредственный анализ конфликтов анализом свойств и характеристик их математических моделей.

Математическая модель конфликта представляет собой систему формализованных соотношений между характеристиками конфликта, разделяемыми на параметры и переменные. Параметры модели отражают внешние условия и слабо меняющиеся характеристики конфликта, переменные составляющие - основные для данного исследования характеристики.

Изменение этих значений конфликта представляет главную цель моделирования. Содержательная и операциональная объясняемость используемых переменных и параметров - необходимое условие эффективности моделирования.

Использование математического моделирования конфликтов началось в середине XX в., чему способствовало появление электронно-вычислительной техники и большое количество прикладных исследований конфликта. Пока трудно дать четкую классификацию математических моделей, используемых в конфликтологии. В основание классификации моделей можно положить применяемый математический аппарат (дифференциальные уравнения, вероятностные распределения, математическое программирование и т. п.) и объектымоделирования (межличностные конфликты, межгосударственные конфликты, конфликты в животном мире и т. д.). Можно выделить типичные математические модели, используемые в конфликтологии:

вероятностные распределения представляют собой простейший способ описания переменных через указание доли элементов совокупности с данным значением переменной;

статистические исследования зависимостей - класс моделей, широко применяемый для изучения социальных явлений. Это прежде всего регрессионные модели, представляющие связь зависимых и независимых переменных в виде функциональных отношений;

марковские цепи описывают такие механизмы динамики распределений, где будущее состояние определяется не всей предысторией конфликта, а только «настоящим». Основным параметром конечной цепи Маркова является вероятность перехода статистического индивида (в нашем случае оппонента) из одного состояния в другое за фиксированный промежуток времени. Каждое действие приносит частный выигрыш (проигрыш); из них складывается результирующий выигрыш (проигрыш);

модели целенаправленного поведения представляют собой использование целевых функций для анализа, прогнозирования и планирования социальных процессов. Эти модели обычно имеют вид задачи математического программирования с заданными целевой функцией и ограничениями. В настоящее время это направление ориентировано на моделирование процессов взаимодействия целенаправленных социальных объектов, в том числе и определение вероятности возникновения конфликта между ними;

теоретические модели предназначены для логического анализа тех или иных содержательных концепций, когда затруднена возможность измерения основных параметров и переменных (возможные межгосударственные конфликты и др.);

имитационные модели представляют собой класс моделей, реализованных в виде алгоритмов и программ для ЭВМ и отражающих сложные зависимости, не поддающиеся содержательному анализу. Имитационные модели - это средство машинного эксперимента. Оно может использоваться как для теоретических, так и для практических целей. Этот способ моделирования применяется для исследования развития уже идущих конфликтов.

Тема 10. Предупреждение конфликтов

1. Особенности профилактики и прогнозирования конфликтов. Объективные и организационно-управленческие условия, способствующие профилактике деструктивных конфликтов.

2. Технология предупреждения конфликта. Изменение своего отношения к ситуации и поведения в ней. Способы и приемы воздействия на поведение оппонента. Психология конструктивной критики.

3. Факторы препятствующие возникновению конфликтов.

4. Методы психокоррекции конфликтного поведения: социально-психологический тренинг; индивидуально-психологическое консультирование; аутогенную тренировку; посредническую деятельность психолога (социального работника); самоанализ конфликтного поведения.

Прогнозирование возникновения конфликтов является главной предпосылкой эффективной деятельности по их предупреждению. Прогнозирование и профилактика конфликтов выступают направлениями управленческой деятельности по регулированию социальных противоречий.

Особенности управления конфликтами во многом определяется их спецификой как сложного социального явления.

Важным принципом управления конфликтом является принцип компетентности.

Вмешательство в естественное развитие конфликтной ситуации должно осуществляться компетентными людьми.

Во-первых, - люди, вмешивающиеся в развитие конфликтной ситуации, должны обладать общими знаниями о характере возникновения, развития и завершения конфликтов вообще.

Во-вторых, - необходимо собрать максимально разностороннюю, подробную содержательную информацию о конкретной ситуации.

Еще один принцип .

Регулирование конфликтов требует, не блокировать, а стремиться разрешить его неконфликтными способами.

Лучше все же дать возможность людям защищать свои интересы, но добиться, что бы они делали это путем сотрудничества, компромисса, избегания конфронтации.

Рассмотрим содержание такого понятия как управление конфликтом.

Управление конфликтом – это сознательная деятельность по отношению к нему, осуществляемая на всех этапах его возникновения, развития и завершения участниками конфликта или третьей стороной.

Управление конфликтом включает: диагностику, прогнозирование, профилактику, предупреждение, ослабление, урегулирование, разрешение.

Управление конфликтами более эффективно, если оно осуществляется на ранних этапах возникновения социальных противоречий. Заблаговременное обнаружение социальных противоречий, развитие которых может привести к конфликтам, обеспечивается прогнозированием.

Прогнозирование конфликтов – заключается в обоснованном предположении об их возможном будущем возникновении или развитии.

Прежде чем прогнозировать конфликты, наука должна пройти два этапа в их познании.

Во-первых, - необходима разработка описательных моделей различных видов конфликтов. Необходимо определить сущность конфликтов, дать их классификацию, вскрыть структуру, функции, описать эволюцию и динамику.

Во-вторых, - должны быть разработаны объяснительные модели конфликтов.

Признаки социальной напряженности могут быть выявлены методом обычного наблюдения. Возможны следующие способы прогнозирования " зреющего" конфликта:

1. стихийные мини-собрания (беседы нескольких человек);

2. увеличение числа неявок на работу;

3. увеличение числа локальных конфликтов;

4. снижение производительности труда;

5. повышенный эмоционально-психологический фон;

6. массовое увольнение по собственному желанию;

7. распространению слухов;

8. стихийные митинги и забастовки;

9. рост эмоциональной напряженности.

Выявление источников социальной напряженности и прогнозирование конфликта на ранней стадии его развития значительно снижает затраты и уменьшает возможность негативных последствий. Важным способом управления конфликтами является их профилактика.

Профилактика конфликтов - заключается в такой организации жизнедеятельности субъектов социального взаимодействия, которая исключает или сводит к минимуму вероятность возникновения конфликтов между ними. Профилактика конфликтов – это их предупреждение в широком смысле слова. Предупредить конфликты гораздо легче, чем конструктивно разрешить их. Профилактика конфликтов не менее важна, чем умение конструктивно их разрешить. Она требует меньше затрат сил, средств и времени.

Функ Максим

Актуальность данной работы заключается в возможности расширить собственные представления о применении математики, показать ее возможности в сфере общественных наук, которые по своей природе описывают поведение, как отдельных личностей, так и групп. Математическое изучение конфликтов дает возможность не только рассмотреть действия человека в сложившейся ситуации, но и определить их последствия, особенно, когда они зависят от сочетания стратегий, используемых участниками данной ситуации.В работе показано как математика и шахматы приходят на помощь друг другу в разных ситуациях.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Математические модели конфликтных ситуаций с использованием шахмат Выполнил: Функ Максим, ученик 5 класса А МБОУ «СОШ №71» Руководитель: Сенаторова Л.Г., учитель математики. г. Новокузнецк, 2017 г.

В том-то и состоят шахматы. Сегодня ты даешь сопернику урок, а завтра он тебе. Роберт Фишер, 11-й чемпион мира по шахматам

Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов

Актуальность данного исследования: * расширить собственные представления о применении математики и шахматных знаний; * рассмотреть путем математического изучения конфликтов не только возможные действия человека, но и определить их последствия.

О бъект исследования – математические модели конфликтных ситуаций. Цель исследования – рассмотреть основные понятия теории игр и их применение в конкретных ситуациях. Гипотеза – математические модели с применением шахмат помогают разрешать конфликтные ситуации.

Игра Сенет Игра Урских царей

Формирование теории игр началось в 17 веке и продолжалось до середины 20 века

Джон фон Нейман (1903 –1957) венгеро-американский математик еврейского происхождения, сделавший важный вклад в квантовую физику, квантовую логику, функциональный анализ, теорию множеств, информатику, экономику и другие отрасли науки

Легенда о четырех алмазах

Координаты. От широты и долготы к абсциссе и ординате

Просыпаясь утром, спроси себя: «Что я должен сделать?» Вечером, прежде чем заснуть: «Что я сделал?» Пифагор

Выигрыш и проигрыш на шахматной доске Выигрыш белых. Мат Проигрыш белых. Мат

Давайте играть!

Никто не пожалеет о времени, отданном шахматам, ибо они помогут в любой профессии... Тигран Петросян, 9-й чемпион мира по шахматам Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели. А. Маркушевич, математик

Интернет-ресурсы: https:// ru.wikipedia.org http:// chessmaestro.ru http:// life-prog.ru http:// www.magichess.uz http:// stuki-druki.com http:// home.onego.ru https://www.google.ru

Предварительный просмотр:

Введение 3

1. История возникновения и развития теории игр 5

2. Основные понятия теории игр 7

3. Шахматы и математика 8

4. Система координат 11

5. Теорема Пифагора на шахматной доске 13

6. Заключение 15

7. Список литературы 16

Введение

Я выбрал эту тему потому, что с четырех лет занимаюсь шахматами, а математика один из самых моих любимых школьных предметов. Тем более, что у математики и шахмат много общего. Выдающийся математик Годфри Харди, проводя параллель между двумя этими видами человеческой деятельности, заметил как-то, что «решение проблем шахматной игры есть не что иное, как математическое упражнение, а сами шахматы – насвистывание математических мелодий». Существует даже понятие шахматная математика.

Немного поразмыслив, я понял, что данная связь может помочь в овладении и шахматными, и математическими знаниями. В математике есть задачи, которые можно решить, создав математическую модель, и при игре в шахматы постоянно возникают конфликтные ситуации, которые можно разрешить, создав модель.

Я работал по такому плану:

1. Изучить теорию игр.

2. Разобраться, как с помощью шахматных знаний можно разрешить сложные ситуации в математике.

3. Рассмотреть примеры.

4. Сделать вывод.

Теория игр - раздел математики, который изучает главным образом принятие решений. Теория игр применима во многих ситуациях, в которых присутствует конфликт, когда стороны должны принять оптимальное решение, исходя из своих интересов, ничего не зная о решении оппонентов. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу - в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учетом представлений о других участниках, их ресурсах и возможных поступках.

Актуальность данного исследования заключается в возможности расширить собственные представления о применении математики, показать ее возможности в сфере общественных наук, которые по своей природе описывают поведение, как отдельных личностей, так и групп. Математическое изучение конфликтов дает возможность не только рассмотреть действия человека в сложившейся ситуации, но и определить их последствия, особенно, когда они зависят от сочетания стратегий, используемых участниками данной ситуации.

Таким образом, объект данного исследования – математические модели конфликтных ситуаций.

Цель исследования – рассмотреть основные понятия теории игр и их применение в конкретных ситуациях.

Для достижения цели решались следующие задачи:

изучить теорию игры и ее основные понятия;
изучить алгоритм построения математической модели конфликтных ситуаций на примере шахматной игры;
рассмотреть методику построения шахматной игры.

Гипотеза – математические модели с применением шахмат помогают разрешать конфликтные ситуации.

При выполнение работы использовались следующие методы :

поисковый метод; моделирование; метод анализа.

1. История возникновения и развития теории игр

С древнейших времен история математики полна упоминаний об играх и занимательных задачах. С момента появления игр и вплоть до 19 века серьезную и занимательную математику нельзя отделить друг от друга, так как они тесно переплетались. Уже в двух великих цивилизациях древности, вавилонской и египетской, где математика носила только практический характер, встречаются настольные игры и занимательные задачи: игра «Сенет», настольная игра Урских царей.

Серьезная и занимательная математика сосуществовали бок о бок с древнейших времен, но в начале 17 века появляется особое направление, посвященное анализу игр. В 1612 году опубликована первая книга, посвященная только занимательной математике. Ее автор – Клод Гаспар Баше де Мезириак. В этой книге даны описания задач о волке, козе и капусте, магических квадратах, задачи о взвешиваниях.

Начиная с этого момента появляется множество похожих книг. А в 17 веке Христиан Г. Юйгенс (1629-1695) и Готфрид В. Лейбниц (1646–1716) предложили создать дисциплину, в которой бы использовались научные методы для изучения человеческих конфликтов и взаимодействий при помощи игр. На протяжении всего 18 века не было написано практически ни одной работы по анализу игр, которая бы имела подобную цель. В 19 веке многие экономисты создавали простые математические модели для анализа простейших конкурентных ситуаций. Среди них выделяется работа французского экономиста Антуана Огюста Курно «Исследование математических принципов теории богатства» (1838). Тем не менее теория игр как фундаментальная математическая теория появилась лишь в первой половине 20 века.

В начале 20 века начала складываться теоретическая основа современной теории игр, окончательно оформившаяся в середине столетия. Авторство первой теоремы принадлежит логику Эрнсту Цермело (1871– 1956). Он сформулировал и доказал ее в 1912 году. Эта теорема подтверждает, что любая конечная игра с полной информацией (например, шашки или шахматы) имеет оптимальное решение в чистых стратегиях, то есть в отсутствие элемента неопределенности. Но эта теорема не описывает, как можно найти подобные стратегии.

Примерно в 1920 году великий математик Эмиль Борель заинтересовался бурно развивающейся теорией и представил идею о смешанной стратегии (в которой фигурирует элемент случайности). Вскоре над этой темой начал работать Джон фон Нейман.

Джон фон Нейман, известный по работам во множестве областей, является одним из наиболее выдающихся математиков 20 века. Он внес существенный вклад во многие сферы науки. Одно из важнейших его достижений, относящее к прикладной математике в экономике, - создание первой книги с системным изложением теории игр и подхода к анализу экономических проблем под названием «Теория игр и экономическое поведение». В 1943 г. Нейман написал её вместе с Оскаром Моргенштерном. Этот труд считается фундаментальным в теории игр. Он ознаменовал создание теории игр, которая уже через несколько лет, начиная с 1950-х годов, стала находить применение в анализе множества реальных ситуаций.

Основные вопросы, которыми занимались специалисты по теории игр в 1950-60-е, были связаны в том числе и с внешней политикой, в частности ядерными сдерживанием и гонкой вооружений.

В России теорией игр занимаются в основном математики – Ольга Бондарева, Елена Яновская, Сергей Печерский, Виктория Крепс, Виктор Доманский, Левон Петросян в Петербурге, Виктор Васильев в Новосибирске, Николай Кукушкин и Владимир Данилов в Москве.

2. Основные понятия теории игр

Ситуации, в которых сталкиваются интересы двух сторон и результат любой операции, осуществляемой одной из сторон, зависит от действий другой стороны, называются конфликтными .

Конфликтная ситуация, взятая из реальной жизни, как правило, довольно сложна. К тому же ее изучение затруднено наличием разных обстоятельств, часть из которых не оказывает существенного влияния ни на развитие конфликта, ни на его исход. Поэтому для того чтобы анализ конфликтной ситуации оказался возможным, мне обходимо отвлечение от этих второстепенных факторов. Я буду говорить о конфликтной ситуации с общепринятой точки зрения, где формализованная модель конфликта называется игрой (шашки, шахматы, карты и т.д.). От реальной конфликтной ситуации игра отличается тем, что в игре противники действуют по строго определенным правилам.

Отсюда терминология теории игр: конфликтующие стороны называются игроками , одно осуществление игры - партией , исход игры - выигрышем или проигрышем.

Типичный конфликт характеризуется тремя основными составляющими:

заинтересованными сторонами,
возможными действиями этих сторон,
интересами сторон.

Действия, которые выполняют игроки называются стратегиями . Когда оптимальная стратегия содержит элемент неопределенности и должна держаться в секрете, такую стратегию называют смешанной . Если оптимальная стратегия не содержит элемент случайности, то ее называют чистой.

Игры можно классифицировать различными способами в зависимости от выбранного критерия: место для игры, число участников, длительность партии, уровень сложности и т.д. Применительно к математике игры можно разделить на две большие группы в зависимости от того, присутствуют в них случайные события или нет. Случайные события могут фигурировать как в начальных условиях игры, так и при совершении ходов. Например, в большинстве карточных игр карты раздаются игроками случайном образом. Так же происходит и в домино.

Стратегическими называются игры, в которых никогда не происходит случайных событий. Все определяет только решение игроков. Благодаря отсутствию случайности, игры этого типа можно проанализировать и найти способ победить (шахматы).

3. Шахматы и математика

Шахматы – это игра, которая тесным образом связана с математикой и разрешением конфликтных ситуаций. Поэтому предлагаю вам рассмотреть шахматную доску.

Рис.1

Шахматная доска – это не просто 64 клетки. На ней есть и координаты, и симметрия, и геометрия (рис.1). В математических задачах и головоломках на шахматной доске дело, как правило, не обходится без участия фигур. Однако доска сама по себе также представляет достаточно интересный математический объект. Четкость и правильность линий напоминает, что разрешение конфликта должно вестись корректно, разумно, с соблюдением правил, которые не навредят оппонентам. Рассмотрим ситуации, которые можно разрешить с помощью шахмат.

Мне хотелось бы напомнить вам одну старинную легенду о происхождении шахмат, связанную с арифметическим расчетом на доске.

Когда индийский царь впервые познакомился с шахматами, он был восхищен их своеобразием и обилием красивых комбинаций. Узнав, что мудрец, который изобрел игру, является его подданным, царь позвал его, чтобы лично наградить за гениальную выдумку. Властелин пообещал выполнить любую просьбу мудреца, и был удивлен его скромностью, когда тот пожелал получить в награду пшеничные зерна. На первое поле шахматной доски - одно зерно, на второе - два, и так далее, на каждое последующее вдвое больше зерен, чем на предыдущее. Царь приказал побыстрее выдать изобретателю шахмат его ничтожную награду. Однако на следующий день придворные математики сообщили своему повелителю, что не в состоянии исполнить желание хитроумного мудреца. Оказалось, что для этого не хватит пшеницы, хранящейся не только в амбарах всего царства, но и во всех амбарах мира. Мудрец скромно потребовал

1+2+2 2 + … +2 63 =2 64 − 1

зерен. Это число записывается двадцатью цифрами и является фантастически большим. Подсчет показывает, что амбар для хранения необходимого зерна с площадью основания 80 м 2 должен простираться от Земли до Солнца.

Это количество зерна примерно в 1800 раз превышает мировой урожай пшеницы за год, то есть превышает весь урожай пшеницы, собранный за всю историю человечества.

S = 18 446 744 073 709 551 615

Восемнадцать квинтиллионов четыреста сорок шесть квадриллионов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать.

Конечно, связь с математикой здесь несколько условна, однако неожиданная развязка истории наглядно иллюстрирует грандиозные математические возможности, скрывающиеся в шахматной игре.

Уместно привести одну гипотезу, использующую некоторые математические свойства доски. Согласно этой гипотезе шахматы произошли из так называемых магических квадратов.

Магический квадрат порядка n представляет собой квадратную таблицу n × n, заполненную целыми числами от 1 до n 2 и обладающую следующим свойством: сумма чисел каждой строки, каждого столбца, а также двух главных диагоналей одна и та же. Для магических квадратов порядка 8 она равна 260 (рис. 2).

Рис. 2. Альмуджаннах 1 и магический квадрат

Закономерность расположения чисел в магических квадратах придает им волшебную силу искусства. Недаром выдающийся немецкий художник А. Дюрер был настолько очарован этими математическими объектами, что воспроизвел магический квадрат в своей знаменитой гравюре “Меланхолия”.

Подобные примеры (число их можно увеличить) и позволяют высказать гипотезу о связи магических квадратов с шахматами. А исчезновение следов этой связи можно объяснить тем, что в далекую эпоху суеверий и мистики древние индусы и арабы приписывали числовым сочетаниям магических квадратов таинственные свойства, и эти квадраты тщательно скрывались. Может быть, поэтому и была выдумана легенда о мудреце, который изобрел шахматы.

Среди математических задач и головоломок о шахматной доске наиболее популярны задачи на разрезание доски. Первая из них также связана с легендой.

Альмуджаннах 1 - старинная дебютная табия (начальное расположение фигур)

Рис. 3. Легенда о четырех алмазах

Один восточный властелин был таким искусным игроком, что за всю жизнь потерпел всего четыре поражения. В честь своих победителей, четырех мудрецов, он приказал вставить в его шахматную доску четыре алмаза - на те поля, на которых был заматован его король (см. рис. 3, где вместо алмазов изображены кони).

После смерти властелина его сын, слабый игрок и жестокий деспот, решил отомстить мудрецам, обыгравшим его отца. Он велел разделить им шахматную доску с алмазами на четыре одинаковые по форме части так, чтобы каждая заключала в себе по одному алмазу. Хотя мудрецы выполнили требование нового властелина, он все равно лишил их жизни, причем, как гласит легенда, для казни каждого мудреца использовал его часть доски с алмазом.

Эта задача о разрезании доски часто встречается в занимательной литературе.

Разрезать доску на четыре одинаковые части (совпадающие при наложении) так, чтобы на каждой из них оказалось по одному коню. Предполагается, что разрезы проходят только по границам между вертикалями и горизонталями доски.

Одно из решений задачи представлено на рис. 3. Располагая четырех коней на различных полях доски, мы получаем множество задач о разрезании. Интерес в них представляет не только нахождение одного необходимого разреза, но и подсчет числа всех способов разрезать доску на четыре одинаковые части, содержащие по одному коню. Установлено, что наибольшее число решений - 800 - при расположении коней в углах доски.

Как мы можем с вами видеть, достойно из данных шахматных ситуаций выходят мудрецы, т.е. люди, обладающие знанием и верящие в него. В общении друг с другом возникают ситуации, требующие согласованности действий и проявления доброжелательного отношения к соперникам, умения отказаться от личных желаний ради достижения общих целей, а порой истины. К сожалению, не все и не всегда, даже за шахматной доской, способны достойно выйти из сложившейся ситуации. Это нелегкий, каждодневный труд. И шахматы этому учат.

В нашей школе в параллели 5-х классов обучаются 78 учеников, 25 из них (21%) занимаются шахматами и учатся на «4» и «5».

Нетрудно сделать вывод. Шахматы не просто игра, а вид спорта, тренирующий и развивающий мыслительные процессы. Связь между обучением и игрой неоспорима.

4. Система координат

Более чем за 100 лет до н.э. греческий ученый Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами и ввести хорошо теперь известные географические координаты: широту и долготу – и обозначить их числами.

В ХIVв. французский математик Н. Оресм ввел, по аналогии с географическими, координаты на плоскости. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называть широтой и долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой.

Это нововведение оказалось чрезвычайно продуктивным. На его основе возник метод координат, связавший геометрию с алгеброй. Основная заслуга в создании метода координат принадлежит французскому математику Р. Декарту.

Декартовая система координат на плоскости задается взаимно перпендикулярными координатными прямыми с общим началом в точке О и одинаковым масштабом . Точка О называется началом координат. Горизонтальная прямая называется осью абсцисс или осью х , вертикальная – осью ординат или осью у. Координатную плоскость обозначают хОу.

Пусть точка Р лежит на плоскости хОу. Опустим из этой точки перпендикуляры на координатные оси; основание перпендикуляров обозначим Р х и Р у . Абсциссой точки Р называется координата х точки Р х на оси Ох , ординатой – координата у точки Р у на оси Оу .

Рис.4

Расстояние между двумя точками Р 1 (х 1 ;у 1 ) и Р 2 (х 2 ;у 2 ) на плоскости определяется с помощью теоремы Пифагора. Об этом я буду говорить далее.

Рис. 5

На рисунках мы видим билеты в цирк и театр. На каждом из них дано описание того, где находится место владельца данного билета: номер ряда и номер места в этом ряду.

Описание того, где расположен тот или иной объект (предмет, место), называют его координатами . Так на билете в цирк номер ряда и номер места в ряду - координаты этого места.

На шахматной доске тоже есть координаты. При профессиональной игре, обычно, ведут записи (обозначение фигур и координаты этих фигур).

На рисунке 6 мы видим, некий алгоритм определения координат чёрного короля.

(Кр. c2)

Рис.6

Система координат используется не только в шахматах, но и в других играх (Морской бой, настольные игры, Биатлон, рисование по точкам, графические диктанты и т.д.)

Я думаю, что если бы большинство людей играло в подобные игры (в семье, с друзьями), то огромного количества бытовых конфликтов можно было бы избежать. Потому что игра – это один из способов победить разногласия. А умение решать маленькие конфликты путем компромисса будет совершенствоваться, значит и более серьезные проблемы тоже можно решить.

5. Теорема Пифагора на шахматной доске.

Все мы знаем известную теорему Пифагора «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов» .

Рис.7

Пусть АВС – данный прямоугольный треугольник с прямым углом С . Проведем высоту СD из вершины прямого угла С . АС 2 + ВС 2 = АВ 2 .

Эту теорему уже несколько сотен лет изучают школьники. С её помощью решают задачи, ею пользуются инженеры, архитекторы, проектировщики, модельеры. Теорема Пифагора широко используется и в повседневной жизни.

Рассмотрим доказательство этой теоремы на шахматной доске.

Рис.8 Рис.9

Разобьем доску на квадрат и четыре одинаковых прямоугольных треугольника (Рис.8). На рис.9 изображены те же четыре треугольника и два квадрата. Треугольники в обоих случаях занимают одну и ту же площадь, и, следовательно, одну и ту же площадь занимают оставшиеся части доски без треугольников (на рис.8-один квадрат, а на рис.9-два). Поскольку большой квадрат построен на гипотенузе прямоугольного треугольника, а маленькие – на его катетах, то знаменитая теорема Пифагора доказана!

Можно доказать теорему следующим образом:

Рис.10

В центре шахматной доски нарисовать треугольник АВС (рис.10). На катетах и гипотенузе этого треугольника построить квадраты, причем квадрат, построенный на гипотенузе, состоит из квадратов, входящих в разбиения квадратов, построенных на катетах.

Квадраты 1 и 2 состоят из восьми маленьких квадратиков, в сумме получаем количество квадратиков, из которых состоит квадрат 3 построенный на гипотенузе.

Если вы внимательно посмотрите на данный рисунок, то увидите красивый дом. Такие обычно рисуем мы – дети. В таком доме точно нет конфликтов, потому что все просчитано и построено с помощью древнейшей игры – шахматы и одной из древнейших наук – математики. В таком доме уютно и комфортно.

6. Заключение

В самом начале своей работы я ставил цель - рассмотреть разрешение конфликтных ситуаций в математике с помощью шахмат, и считаю, что выполнил поставленную задачу. На примерах я разобрал применение шахмат для решения и математических задач.

Вывод: математика помогает шахматистам играть и выигрывать. А шахматы в свою очередь помогают нам решать как простейшие, так и самые сложные математические задачи, помогают развивать логику, внимание и отлично знать математику, строить логические цепочки, даже разрешать конфликты.

Дух соперничества в игре, в решении задач помогает развиваться, думать, находить правильные решения, а в случае проигрыша не сдаваться, а искать и побеждать.

Мой тренер, подарив мне книгу о шахматах, написал: «Цель в жизни не главное. Главное, как ты её достиг!»

Я уверен, что научившись игре в шахматы и освоив математику, смогу находить правильные решения в конфликтных ситуациях. В дальнейшем, я планирую продолжать играть в шахматы и постараюсь разобраться в том, что осталось для меня загадкой.

7. Список литературы

Гарднер, М. Математические чудеса и тайны / М. Гарднер. – Москва: Наука, 1978. – 127 с.
Гик, Е. Я. Математика на шахматной доске / Е. Я. Гик. – Москва: Мир энциклопедий Аванта+, Астрель, 2009. – 317с; ил. – (Библиотека Аванты+).
Гик, Е. Я. Шахматы и математика / Е. Я. Гик. - Москва: Наука, 1983. - 173 с.
Гик, Е. Я. Занимательные математические игры / Е. Я. Гик. – Москва: Знание, 1982. – 143 с.
Гусев, В. А. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах: методическое пособие / В. А. Гусев, А. И. Орлов, А. Л. Розенталь. – Москва: Просвещение, 1984.
Гусев, В.А. Математика – справочные материалы / В.А. Гусев, А.Г. Мордкович. – Москва: Просвещение, 1986.- 271с.
Игнатьев, Е. И. В царстве смекалки / Е. И. Игнатьев. - Москва: Наука, 1984. – 189 с.
Лойд, С. Математическая мозаика / С. Лойд. – Москва: Мир, 1984. – 311 с.
Саати, Т. Л. Математические модели конфликтных ситуаций / Т. Л. Саати. - Москва: Советское радио, 1977. - 300 с.
Савин, А. П. Энциклопедический словарь юного математика / А. П. Савин. – Москва: Педагогика, 1989.- 349 с.
Сейраван, Я. Партии-бриллианты: шахматный учебник / Яссер Сейраван; пер. с англ А. Н. Елькова. - Москва: Астрель, 2007. - 259 с.: ил. – (Беспроигрышные шахматы).

Все про здоровый сон

Математическое моделирование конфликтов. Методы решения матричных игр

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы - Левин Виталий Ильич, Немкова Елена Анатольевна

Похожие темы научных работ по математике, автор научной работы - Левин Виталий Ильич, Немкова Елена Анатольевна

Текст научной работы на тему «Логико-математическое моделирование конфликтов»

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Предварительный просмотр:

Почему домашний рассол помогает от симптомов похмелья Почему от похмелья помогает рассол

Чистка стиральной машины уксусом от накипи и плесени в домашних условиях Уксус для очищения стиральной машины

Советы по посадке и уходу за вербеной

Виды и основные характеристики толпы Что толпа людей

Итальянские супы Готовим вкусный итальянский овощной суп

Гречневая диета: меню для похудения и результаты 3 х дневная диета на гречке

Горбуша - запеченная в духовке и жареная на сковороде Жирная ли горбуша

Вертикальные сверлильно-пазовальные станки - деревообрабатывающие станки Техническая характеристика многошпиндельных станков

Можно ли роллы беременным, и какие лучше всего выбрать: стоит ли есть горячие роллы на ранних сроках с сыром филадельфия или с креветками на поздних сроках, в чем

Трактор К744 “Кировец” – Технические характеристики